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Universität/Hochschule Chinesischer Restsatz
elenmel
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  Themenstart: 2023-03-24

Hallo, ich hab ne Frage. In der Aufgabe mussten wir alle Kongruenzklassen \alpha aus \IZ/144\IZ mit \alpha \equiv -1 mod 6 \alpha^2 \equiv 1 mod 9 lösen In den Lösungen stand: Das es eine Abbildung gibt mit \phi: \IZ / 144\IZ -> \IZ/16\IZ x \IZ/9\IZ, z+144\IZ \mapsto (z+16\IZ,z+9\IZ), s.d. \IZ/144\IZ ~= \IZ/16\IZ x \IZ/9\IZ Das kann man machen nach dem chinesischen Restsatz für kommutative Ringe, da 16\IZ und 9\IZ teilerfremde Ideale sind, da ggt(9,16)=1. Das ggt kann man mit dem euklidischen Algorithmus rechnen das ersparen ich, wenn man aber den euklidischen Algorithmus Rückwärtseinsetzt bekommt man 1 = 4*16-7*9. Dann ist 4*16-7*9 \equiv 1 mod 9 4*16-7*9 \equiv 1 mod 16 Insbesondere 64 \equiv 1 mod 9 (Warum gilt, das?) -63 \equiv 1 mod 16 (Warum gilt, das?) Mit dem chinesischen Restsatz gibt es einen Urbild: \phi^(-1)((1,0))=-63 und \phi^(-1)((0,1))=64 (Wie kommt man auf (1,0) und (0,1)?) Wir nehmen die Urbilder von (-1,-1),(-1,1), das sind die einzigen Bilder. (Wie komme ich auf die?) Den Rest lass ich mal. Vielen Dank im Voraus Gruß Eli

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