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Funktionentheorie » Holomorphie » Existenz eines holomorphen Logarithmus zeigen
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Universität/Hochschule Existenz eines holomorphen Logarithmus zeigen
nitram999
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  Themenstart: 2023-03-24

Hallo, ich sitze an folgender Aufgabe: https://matheplanet.at/matheplanet/nuke/html/uploads/c/51196_log.JPG Ich habe direkt an den holomorphen Logarithmus gedacht, aber weiß nicht, wie man dort hin kommt. Nach den Sätzen der Vorlesung bräuchte man ja ein einfach zusammenhängendes Gebiet. LG nitram999


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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-24

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\) Hallo, betrachten wir $f\colon G\to \mathbb C$ gegeben durch $f(z)=\frac{z-1}{z+1}$. $f$ ist auf $G$ nullstellenfrei und es gilt dort $$ \frac{f'(z)}{f(z)}=\frac{2}{z^2-1}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z+1}. $$ Was kannst du nun über $$ \oint_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} \dd z $$ für eine stückweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve $\gamma$ in $G$ aussagen? LG Nico\(\endgroup\)


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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-28

Danke für die Antwort! Eine geschlossene Kurve in G ist entweder nullhomolog oder umläuft beide Definitionslücken. Mit Residuensatz bzgl. f'/f ergibt sich im zweiten Fall, dass auch hier das geschlossene Kurvenintegral 0 (einmal Residuum ist +1 und einmal -1) ist. Nach dem komplexen HDI hat f'/f also eine Stammfunktion und damit ex. ein holomorpher Logarithmus. Ist der Gedankengang korrekt? LG nitram999


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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-28

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\) Hallo, also das ist prinzipiell der Gedankengang, den ich dir vorschlagen wollte. Die Details kann man natürlich noch füllen (i.e. wie man dann genau von solch einer Stammfunktion zu einem holomorphen Logarithmus kommt etc.)🙂 Das zentrale Resultat ist hier also folgender Satz:
Satz. Sei $G\subseteq \mathbb C$ ein Gebiet und $f\colon G\to \mathbb C\setminus\lbrace 0\rbrace$ eine holomorphe Funktion. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: $(\mathrm i)$ Für jede stückweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve $\gamma$ in $G$ gilt $$ \oint_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} \dd z=0. $$ $(\mathrm{ii})$ Es gibt eine holomorphe Funktion $\ell\colon G\to \mathbb C$ mit $$ \exp(\ell(z))=f(z) $$ für alle $z\in G$.
Der Zusammenhang zu "einfach zusammenhängend" ist ein wenig anders. Wenn $G$ einfach zusammenhängend ist, dann gilt (i) immer und daher auch (ii). Wenn es für jede solche Funktion $f$ einen holomorphen Logarithmus gibt, dann folgt auch, dass $G$ einfach zusammenhängend ist. Aber, wie deine Aufgabenstellung zeigt, braucht man "einfach zusammenhängend" nicht unbedingt, wenn man sich nur für eine konkrete Funktion interessiert. LG Nico
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