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 Ist Q separabel und ist Q dicht in Q? |
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JoMu02
Junior 
Dabei seit: 24.03.2023
Mitteilungen: 14
 |  Themenstart: 2023-03-24
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Die reellen Zahlen bilden einen separablen metrischen Raum. Jeder Unterraum ist wieder separabel. Also müsste auch Q separabel sein?
Aber was wäre dann, wenn Q separabel ist, eine abzählbare und dicht in Q liegende Teilmenge, denn Q selbst liegt ja nicht dicht in Q, oder?
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 Profil
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Student10023
Aktiv 
Dabei seit: 22.11.2020
Mitteilungen: 195
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-24
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Warum sollten die rationalen Zahlen nicht dicht in den rationalen Zahlen liegen? bzw. allgemeiner Wenn (X,d) ein metrischer Raum ist, ist dann X dicht in X (Beweis/Gegenbeispiel). Was ist überhaupt die Definition einer dichten Teilmenge?
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Profil
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2242
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Mittlerweile ist es fast (m)eine alte Leier: Die Begriffe beziehen sich immer auf eine Topologie und sind keine Eigenschaften einer Menge allein.
Wenn ich $\mathbb R$ mit der Standardtopologie versehe (das ist die, die von der Metrik $d(x,y)=|x-y|$ erzeugt wird), dann ist $\mathbb Q$ (aufgefasst als Teilmenge von $\mathbb R$) eine abzählbare Teilmenge, deren Abschluss bezüglich der Topologie auf $\mathbb R$ der gesamte Raum ist, i.e. $\opn{cl}_{\mathbb R}(\mathbb Q)=\mathbb R$.
Nun kann ich $\mathbb Q\subseteq \mathbb R$ mit der Teilraumtopologie versehen und dann ist $\mathbb Q$ mit dieser Topologie selbstverständlich separabel - $\mathbb Q$ ist ja selbst schon abzählbar.
LG Nico
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Topologie' von nzimme10]\(\endgroup\)
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2840
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-24
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Das hat nichts mit metrischen Räumen zu tun, sondern ist noch allgemeiner.
\quoteon(2023-03-24 18:13 - JoMu02 im Themenstart)
Aber was wäre dann, wenn Q separabel ist, eine abzählbare und dicht in Q liegende Teilmenge, denn Q selbst liegt ja nicht dicht in Q, oder?
\quoteoff
Wie kommst du darauf?
Sei $(X,\tau)$ ein topologischer Raum. Eine Teilmenge $Y$ von $X$ ist dicht (in $(X,\tau)$), wenn der Abschluss $\overline{Y}$ von $Y$ (bezüglich der Topologie $\tau$) gleich $X$ ist.
Betrachten wir nun $X$ selbst. Es gilt $\overline{X}=X$, denn $X$ ist abgeschlossen in $X$ (weil $X\setminus X = \emptyset\in\tau$). Also ist $X$ dicht in $(X,\tau)$.
Insbesondere gilt das für $\mathbb Q$, ausgestattet z.B. mit der Spurtopologie $\tau'$ induziert durch die Standardtopologie von $\mathbb R$. Da $\mathbb Q$ auch abzählbar ist, ist $(\mathbb Q,\tau')$ damit separabel.
Grüße,
PhysikRabe
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
[Verschoben aus Forum 'Topologie' in Forum 'Mengentheoretische Topologie' von PhysikRabe]
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