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Mathematik » Numerik & Optimierung » Matrixnormen
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Universität/Hochschule Matrixnormen
StieltjesOP
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.11.2022
Mitteilungen: 8
  Themenstart: 2023-03-25

Gibt es einen Beweis für folgende Aussage: $\|AB\| < 1 \implies \left\|A\right\|\cdot\left\|B\right\| < 1$ Oder gibts dazu ein Gegenbeispiel? Mir fällt jetzt nicht ein, wie man das beweisen könnte. Danke für eure Hilfe

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Buri
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 02.08.2003
Mitteilungen: 46791
Wohnort: Dresden
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-25

Hi, es gibt Gegenbeispiele, z. B. A=(2,0;0,1/2), B=(1/3,0;0,1). Gruß Buri

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StieltjesOP
Junior Letzter Besuch: im letzten Quartal
Dabei seit: 12.11.2022
Mitteilungen: 8
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-25

Wie erklärt man sich dann, dass hier der Nenner des Bruchs nicht negativ oder 0 wird? Danke😃! Link zum Bild: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55952_Bildschirm_foto_2023-03-25_um_11.32.16.png

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PhysikRabe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2840
Wohnort: Rabennest
  Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-25

Die Matrixnorm auf $\mathbb R^{n\times n}$ ist submultiplikativ, also $\|A\cdot B\|\leq\|A\|\cdot \|B\|$. Die Bedingung $\|A^{-1} \Delta_A\|<1$ genügt daher nicht, um $1-\|A^{-1}\|\cdot\|\Delta_A\|>0$ zu garantieren. Vielleicht ist das ein Tippfehler, und es sollte $\|A^{-1}\|\cdot\|\Delta_A\|<1$ lauten? Das würde erstens an eine Bedingung an die Kondition erinnern, und zweitens aufgrund der Submultiplikativität $\|A^{-1} \Delta_A\|<1$ implizieren. Grüße, PhysikRabe

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