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Mathematik » Numerik & Optimierung » Ganzzahlige Optimallösung Äquivalenz
Autor
Universität/Hochschule J Ganzzahlige Optimallösung Äquivalenz
MalibuRazz
Aktiv Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 05.04.2019
Mitteilungen: 183
  Themenstart: 2023-03-25

Hallo, ich verstehe eine Äquivalenz in einem Beweis nicht: Sei $A \in \mathbb{Z}^{m×n}$ total unimodular und $b \in \mathbb{Z}^m$. Dann besitzt $\min\{c^T x: Ax \leq b\}$ eine ganzzahlige Optimallösung (falls eine existiert). In dem Beweis wird das zum ganzzahligen Problem $\min\{c^T x: Ax \leq b\}$ äquivalente Problem $$\min\left\{c^Tx_1−c^Tx_2+0s: [A − A I] \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\s \end{pmatrix}= b, x_1 \geq 0, x_2 \geq 0, s \geq 0\right\}$$ betrachtet wegen der Gleichheitsnebenbedingung. Warum sind beide Probleme äquivalent? Danke für jede Hilfe!

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zippy
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4644
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-26

\quoteon(2023-03-25 16:29 - MalibuRazz im Themenstart) Warum sind beide Probleme äquivalent? \quoteoff 1. $x$ lässt sich schreiben als $x=x_1-x_2$ mit $x_1\ge0$, $x_2\ge0$. 2. $Ax\le b$ ist äquivalent zur Existenz von $s\ge0$ mit $Ax+s=b$. Und Einsetzen von 1. in 2. liefert$$ b = Ax_1-Ax_2+s = [A,-A,I]\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\s\end{pmatrix} $$--zippy

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