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| Autor |
  Einen Term umformen |
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Mathbrain
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Dabei seit: 23.03.2023
Mitteilungen: 22
Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2023-03-26
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Eine Frage an alle, die es lieben Terme umzuformen.
Und zwar diese Gleichung:
(q^(n+1)-q^(-1))/(q^n*(q-1)) = q/(q-1)-1/(q^(n+1)(q-1)) = (q^(n+2)-1)/(q^(n+1)(q-1))
Ich weiß, warum das Ergebnis so ist, wie es ist, wenn ich es ausrechne. Ich kann den Beweis auch selbst führen. Nur mit dieser Art der Umformung sieht es so elegant aus und ist in Induktionsbeweisen oft notwendig. 🤗
Wie kann ich selbst so einen Term umformen, damit es aus zwei Summen besteht. In dem Fall wie (1/q) - 1/(q^(n+1)(q-1))
Gibt es dafür einen "Trick" oder eine bestimmte Herangehensweise?
Bin für jeden Tipp dankbar.
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dietmar0609
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Dabei seit: 29.06.2007
Mitteilungen: 3195
Wohnort: Oldenburg , Deutschland
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-26
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um vom ersten auf den dritten Term zu kommen, erweiterst du den Bruch einfach mit q.
Um vom ersten auf den zweiten Term zu kommen, schreibst du einfach den ersten Term als Differenz zweier Brüche.
Das ist kein Zauberwerk sondern elementare Bruchrechnung.
Gruß Dietmar
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2568
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-26
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Huhu,
das ist doch einfache Bruchrechnung. Ich sehe überhaupt nicht was der Mittelteil soll?! Wenn du links einfach mit \(q\) erweiterst, dann kommst du doch gleich nach rechts. Ansonsten:
\(\displaystyle \frac{q^{n+1}-q^{-1}}{q^n(q-1)}=\frac{q^{n+1}}{q^n(q-1)}-\frac{q^{-1}}{q^n(q-1)}=\ldots\)
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Mathbrain
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Dabei seit: 23.03.2023
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-26
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Wie gesagt, ich verstehe wie ich von ganz links nach ganz rechts komme. Ich komme nur durch einfache Bruchrechnung dorthin. Mir geht es genau um den Mittelteil. Wie komme ich selbst darauf, so einen Term "immer" als Differenz zweier Brüche aufzuschreiben.
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nzimme10
Senior
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Mitteilungen: 2226
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-26
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Der Mittelteil ist einfach
$$
\frac{a-b}{c}=\frac{a}{c}-\frac{b}{c}
$$
und dann eben minimal vereinfachen, wie in #2 bereits angedeutet.
LG Nico\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2568
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-26
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\quoteon(2023-03-26 16:35 - Mathbrain in Beitrag No. 3)
Mir geht es genau um den Mittelteil. Wie komme ich selbst darauf, so einen Term "immer" als Differenz zweier Brüche aufzuschreiben.
\quoteoff
Wer sagt denn, dass du das immer machen sollst? Was ist denn überhaupt hier die Aufgabe?
Gruß,
Küstenkind
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Mathbrain
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Dabei seit: 23.03.2023
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Wohnort: Wien
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-26
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Ich denke, dass ich mich unpräzise ausgedrückt habe...
Wollte wissen, wie ich einen Term, in dem Fall diesen Term als Differenz zweier Brüche aufschreiben kann. Das ist ein Term aus einem Induktionsbeweis, den ich gelöst habe. Nur habe ich, statt den Term als Differenz aufzuschreiben und im Anschluss die rechte Seite zu zeigen, es ausgerechnet und dann ausgeklammert und bin so auf die rechte Seite gekommen.
In meinem Fall war es mehr rechnen bzw. hat nicht so schön ausgesehen wie in diesem Thread.
Die Formeln für die Brüche kenne ich, hat mir leider nicht in diesem Fall geholfen. Ich denke, man muss ein Gefühl dafür entwickeln...
LG,
Tarik
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-26
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-03-26 16:59 - Mathbrain in Beitrag No. 6)
Ich denke, dass ich mich unpräzise ausgedrückt habe...
Wollte wissen, wie ich einen Term, in dem Fall diesen Term als Differenz zweier Brüche aufschreiben kann...
\quoteoff
Das ist unpräzise. Du kannst jede Zahl irgendwie als Differenz schreiben, also auch jeden Bruch. Zur Not einfach so:
\[\frac{1}{n}=\frac{2}{n}-\frac{1}{n}\]
Für geschickte Termumformungen gibt es letztendlich kein Patentrezept. Man muss "scharf hinsehen", wie man so schön sagt, und man sollte sich immer im Klaren darüber sein, was man eigentlich erreichen möchte. Beides in Kombination liefert meistens die eine oder andere Idee für eine zielführende Umformung.
Und es wurde ja schon gesagt, aber noch nicht von jedem (😉): die Differenz ist so, ohne Kontext, hier kropfunnötig.
Wenn das irgendeinen tieferen Sinn hat, dann musst du uns den Kontext schon verraten, um das nachvollziehen zu können.
Gruß, Diophant \(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-26
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Moin Tarik,
\quoteon(2023-03-26 16:59 - Mathbrain in Beitrag No. 6)
Nur habe ich, statt den Term als Differenz aufzuschreiben und im Anschluss die rechte Seite zu zeigen, es ausgerechnet und dann ausgeklammert und bin so auf die rechte Seite gekommen.
\quoteoff
magst du mal zeigen, was du gemacht hast? Mir ist unklar, was du mit "es ausgerechnet" meinst.
Wenn es tatsächlich nur um die Gleichheit in \(\frac{q^{n+1}-q^{-1}}{q^n(q-1)}\stackrel{?}{=}\frac{q^{n+2}-1}{q^{n+1}(q-1)}\) geht, dann zeigt doch schon der Nenner, dass nur noch ein Faktor \(q\) fehlt. Also:
\( \displaystyle \frac{q^{n+1}-q^{-1}}{q^n(q-1)}=\frac{q(q^{n+1}-q^{-1})}{q q^n(q-1)}=\frac{q^{n+2}-1}{q^{n+1}(q-1)}\).
Mir ist also weiterhin unklar, wieso du nun diese Differenz hier so abfeierst.
Gruß,
Küstenkind
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Mathbrain
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Dabei seit: 23.03.2023
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-26
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Verstehe, danke für die ausführliche Antwort und Geduld 🤗
Der "Kontext":
Beweisen Sie die folgenden Identitäten für alle natürlichen n>=1:
sum(q^(-k),k=0,n) = (q^(n+1)-1)/(q^n(q-1)), q!=1
Dann den Beweis mit I.A. begonnen, dann es gelte...
und dann I.S.: n-->n+1
sum(q^(-k),k=0,n+1) = sum(q^(-k),k=1,n)+ q^(-n-1)
1) = (q^(n+1) - 1)/(q^n(q-1))+q^(-n-1)
2) = (q^(n+1)-1+q^(-1)(q-1))/(q^n(q-1)
3) =(q^(n+1)-1+q^0-q^(-1))/(q^n(q-1)
4) =(q)/(q-1)-(1)/(q^(n+1)(q-1))
5) = (q^(n+2)-1)/(q^(n+1)(q-1))
Statt wie hier von der 3. Gleichung auf die 4. durch die Bildung der Differenz zu kommen, habe ich die 3. Gleichung einfach ausgerechnet, indem ich q^(-1) umschrieb als 1/q und danach den Doppelbruch ausrechnete. Dann durch Faktorisierung auf die 5. Gleichung gekommen.
LG,
Tarik
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
|  Beitrag No.10, eingetragen 2023-03-26
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Hallo,
der Schritt von der 3. zur 4. Gleichung ist völlig unnötig.
Das ist getreu dem Motto: "warum einfach, wenn es auch umständlich geht"...
PS: und die obige Summendarstellung per vollst. Induktion zu beweisen, ist ein schlechter Witz. Siehe dazu diesen MP-Artikel:
Vollständige Indoktrination.
Gruß, Diophant
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2568
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-26
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Ich verstehe auch immer noch nicht wirklich, was du mit "Doppelbruch ausgerechnet" meinst, wenn du schreibst, dass du auch noch faktorisiert hast. Wenn du es als Doppelbruch schreibst, dann erhältst du doch:
\(\displaystyle \frac{q^{n+1}-q^{-1}}{q^n(q-1)}= \frac{q^{n+1}-\frac{1}{q}}{q^n(q-1)}=\frac{\frac{q^{n+2}-1}{q}}{q^n(q-1)}=\frac{q^{n+2}-1}{qq^n(q-1)}=\frac{q^{n+2}-1}{q^{n+1}(q-1)}\).
Gruß,
Küstenkind
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Mathbrain
Aktiv
Dabei seit: 23.03.2023
Mitteilungen: 22
Wohnort: Wien
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-26
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@Küstenkind
Genau so habe ich es gemacht. Und es stimmt natürlich auch.
Auch wenn es umständlich oder unnötig ist, wollte ich lernen, wie man in diesem Fall die Differenz bildet, weil ich es irgendwie noch nicht kann.
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Caban
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Dabei seit: 06.09.2018
Mitteilungen: 2962
Wohnort: Brennpunkt einer Parabel
 | Beitrag No.13, eingetragen 2023-03-26
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Hallo
Die Anleitung für die Differenz stenht doch in Beitrg 4.
Gruß Caban
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2568
| Beitrag No.14, eingetragen 2023-03-26
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Ist dir das denn jetzt klar? Es ist wirklich nur die Regel, die Nico dir in #4 aufgeschrieben hat - und die du in der 6. Klasse gelernt hast. Das hatte ich dir in #2 ja auch schon aufgeschrieben:
\(\displaystyle \frac{q^{n+1}-q^{-1}}{q^n(q-1)}=\frac{q^{n+1}}{q^n(q-1)}-\frac{q^{-1}}{q^n(q-1)}\)
Danach wird im 1. Summanden dann eben mit \(q^n\) gekürzt und im 2. Summanden mit \(q\) erweitert (oder einfach dividiert, wie man es halt sehen möchte).
\(\displaystyle \frac{q^{n+1}-q^{-1}}{q^n(q-1)}=\frac{q^{n+1}}{q^n(q-1)}-\frac{q^{-1}}{q^n(q-1)}=\frac{q}{q-1}-\frac{1}{q^{n+1}(q-1)}\)
Um nun zu (5) zu gelangen, müsste man wieder auf den Hauptnenner erweitern. Ich sehe deinen Weg also überhaupt nicht als "umständlicher" oder weniger "elegant". Aber das habe ich ja meine ich schon zum Ausdruck gebracht.
Ich kann dir abschließend nun noch die schwierige Aufgabe stellen \(\frac{x-2}{x^2}\) als Differenz zu schreiben. Der Anspruch dieser Übungsaufgabe hält sich aber in Grenzen.
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.12 begonnen.]
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Mathbrain
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Dabei seit: 23.03.2023
Mitteilungen: 22
Wohnort: Wien
| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-26
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Ich habe ursprünglich die Beweisführung ja nachvollziehen können und den Beweis auch selbst richtig geführt. Auch die Formeln für die Brüche sind mir klar. Weshalb die Umformung so richtig ist, natürlich auch. Mir ging es eigentlich darum, wie ihr an solch eine Umformung rangehen würdet.
Aber der Herr Diophant hat es schon für mich klar gemacht, dass es kein Patentrezept dafür gibt und man einfach "scharf" hinsehen und wissen muss, wohin man eigentlich möchte.
Alles in allem möchte ich euch allen danken, dass Ihr euch die Zeit genommen habt, um mir behilflich zu sein. Bin neu hier und kann schon sagen, dass das echt eine bereichernde Community ist.
@Kuestenkind: Die "Aufgabe" nehme ich als ein gelungener Scherz zur Kenntnis 😉
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