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  Herausheben bzw. Faktorisieren von n+1 in Induktionsbeweisen |
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Mathbrain
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Wohnort: Wien
 |  Themenstart: 2023-03-27
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Hallo!
Ich habe ein Problem, welches das Herausheben bzw. Faktorisieren von Termen in Induktionsbeweisen betrifft. Ich habe den Beweis auch selbst geführt und verstehe alle Schritte. Mein Problem liegt im Herausheben bzw. Faktorisieren von n+1 in der Gleichung No.1 auf No.2 und im Anschluss auf das Herausheben von n+2 in der Gleichung No.2 auf No.3, damit ich genau auf den rechten Ausdruck in der Induktionsbehauptung mit n+1 für jedes n komme.
Ich selbst habe es gemacht, indem ich zweimal eine Polynomdivision gemacht habe. Einmal mit n+1 bei der Gleichung No.1 (nachdem ich alles ausgerechnet habe)
Und einmal mit n+2 bei der Gleichung No.2.
Beim Schritt von Gleichung No.3 auf No.4 konnte ich die binomische Formel etc. mit "freiem" Auge sehen.
Muss ich immer eine Polynomdivision durchführen, wenn es mir auf den ersten Blick oder nach mehrmaligen hinsehen nicht auffällt oder gibt es andere Techniken dafür? Wie würdet ihr die n+1 bzw. n+2 in diesem Fall ausklammern, wenn ihr genau das Gleiche da stehen haben wolltet?
Danke im voraus!
Liebe Grüße,
Tarik
Die Aufgabenstellung:
Es gelte für alle n>=1
sum(k^3+k,k=1,n) = (n(n+1)(n^2+n+2))/4
Induktionsschritt n-> n+1
sum(k^3+k,k=1,n+1)
= sum((k^3+k)+(n+1)^3+(n+1),k=1,n) = (n(n+1)(n^2+n+2))/4 + (n+1)^3+(n+1)
1) = (n(n+1)(n^2+n+2)+4*(n+1)^3+4*(n+1))/4
2) = ((n+1)(n^3+3n^2+4n+2n^2+6n+8))/4
3) = ((n+1)(n+2)(n^2+2n+1+n+1+2))/4
4) = ((n+1)(n+2)((n+1)^2+(n+1)+2))/4
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Kuestenkind
Senior 
Dabei seit: 12.04.2016
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|  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-27
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Moin Tarik,
es ist bei einem Induktionsbeweis nicht verboten rückwärts zu rechnen. Du weißt ja wo du hin willst. Das nimmst du als Anfang und rechnest einfach los:
\(\displaystyle (n+2)((n+1)^2+(n+1)+2)=(n+2)(n^2+2n+1+n+1+2)=(n+2)(n^2+3n+4)=n^3+3n^2+4n+2n^2+6n+8=n^3+5n^2+10n+8\)
Wenn du es jetzt von rechts nach links liest hast du deine Faktorisierung.
Gruß,
Küstenkind
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Mathbrain
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-28
|
Ja klar! Das ist so einfach, dass ich gar nicht daran gedacht habe. 😂
Gibt es andere Möglichkeiten für Fälle, bei welchem man eventuell noch nicht genau weiß, wohin man möchte?
Und eine Frage zu diesem Beweis hätte ich noch, dann könnte man das Thema abschließen.
Und zwar habe ich einen alternativen Beweis zu dieser Aufgabe, und zwar ohne Induktion.
1) sum((1)/(k(k-1)),k=2,n) = 2) sum((1)/(k-1)-(1)/(k),k=1,n) = 3) 1-1/n = 4) (n-1)/n
Weshalb ist das hier der Fall. Ich verstehe, dass das eine Teleskopsumme ist. Aber wie kommt er hier von 2) auf 3)? Von 1) auf 2) und 3) auf 4) ist mir selbstverständlich klar.
Liebe Grüße,
Tarik
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nzimme10
Senior
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-28
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-03-28 15:46 - Mathbrain in Beitrag No. 2)
Ich verstehe, dass das eine Teleskopsumme ist.
\quoteoff
Damit hast du dir deine Frage eigentlich selbst beantwortet. Achte aber darauf, dass die Summe nicht bei $k=1$ beginnen kann und, dass du Klammern setzen solltest.
LG Nico\(\endgroup\)
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-28
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo zusammen,
nur der Vollständigkeit halber:
\quoteon(2023-03-28 15:46 - Mathbrain in Beitrag No. 2)
1) sum((1)/(k(k-1)),k=2,n) = 2) sum((1)/(k-1)-(1)/(k),k=1,n) = 3) 1-1/n = 4) (n-1)/n
\quoteoff
Das steckt ein Fehler drin, denn die zweite Summe muss natürlich ebenfalls mit \(k=2\) starten.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-28
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Moin Tarik,
\quoteon(2023-03-28 15:46 - Mathbrain in Beitrag No. 2)
Ja klar! Das ist so einfach, dass ich gar nicht daran gedacht habe. 😂
\quoteoff
das trifft auf einige zu. Die oben ausgeführte Rechnung ist denn natürlich auf ein Schmierblatt zu schreiben und bei der präsentierten Lösung rückwärts aufzuschreiben. Reaktion des (unerfahrenen) Lesers: "Genial! Wie ist bloß auf diese Zerlegung gekommen? Ich werde wohl nie in der Lage sein so geschickt zu faktorisieren...". Merke: Nicht alles, was du von links nach rechts gelesen hast, ist sicherlich auch von links nach rechts gerechnet wurden.
\quoteon(2023-03-28 15:46 - Mathbrain in Beitrag No. 2)
Gibt es andere Möglichkeiten für Fälle, bei welchem man eventuell noch nicht genau weiß, wohin man möchte?
\quoteoff
Nun - faktorisieren ist ja eine Termumformung. Da trifft dann sicherlich das zu, was Diophant in deinem anderen Thread erwähnt hat. Erfahrung und ein "geschultes" Auge sind sicherlich hilfreich. Ansonsten hilft natürlich eine Nullstellenbestimmung, was ja aber nicht immer so einfach ist.
\quoteon(2023-03-28 15:46 - Mathbrain in Beitrag No. 2)
Weshalb ist das hier der Fall. Ich verstehe, dass das eine Teleskopsumme ist. Aber wie kommt er hier von 2) auf 3)? Von 1) auf 2) und 3) auf 4) ist mir selbstverständlich klar.
\quoteoff
Da ich ihn vor kurzer Zeit erst verlinkt habe, lege ich dir auch nochmal nahe diesen Beitrag zu lesen:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=238162&start=0#p1733790
Versuche doch mal es so sauber aufzuschreiben.
Gruß,
Küstenkind
edit sagt noch: Eine kleine nette Übungsaufgabe zum Thema "Faktorisieren": Man finde alle reellen \((x,y)\), welche die Gleichung \(2x^2+y^2+7=2(x+1)(y+1)\) erfüllen.
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Mathbrain
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-28
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\quoteon(2023-03-28 15:52 - Diophant in Beitrag No. 4)
Hallo zusammen,
Das teckt ein Fehler drin, denn die zweite Summe muss natürlich ebenfalls mit \(k=2\) starten.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Ist ein Tippfehler von mir. Gerechnet habe ich es mit dem richtigen Startindex. Aber danke für die Aufmerksamkeit!
\quoteon(2023-03-28 15:48 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Damit hast du dir deine Frage eigentlich selbst beantwortet. Achte aber darauf, dass die Summe nicht bei $k=1$ beginnen kann und, dass du Klammern setzen solltest.
LG Nico
\quoteoff
Wo fehlen noch die Klammern?
\quoteon(2023-03-28 16:19 - Kuestenkind in Beitrag No. 5)
Moin Tarik,
Versuche doch mal es so sauber aufzuschreiben.
Gruß,
Küstenkind
edit sagt noch: Eine kleine nette Übungsaufgabe zum Thema "Faktorisieren": Man finde alle reellen \((x,y)\), welche die Gleichung \(2x^2+y^2+7=2(x+1)(y+1)\) erfüllen.
\quoteoff
Danke für den Link! Werde es mir heute noch genauer studieren.
Ich habe es jetzt mehrmals probiert, aber irgendwie bekomme ich es nicht hin... Könntest du es mir vielleicht vorrechnen? Und danke für die Übungsaufgabe!
Liebe Grüße,
Tarik
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Mathbrain
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-28
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Ok ich habe es jetzt so gerechnet. Ist das so gemeint bzw. richtig?
(1)/(k-1) - (1)/(k) = ((k+1)-(k+1)+1)/(k-1) - 1/k
= ((k+1)-(k+2))/(k-1) - 1/k
= (k-1)/(k-1) - 1/k
Der Rest ist klar...
Liebe Grüße,
Tarik
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Diophant
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-28
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Hallo nochmals,
\quoteon(2023-03-28 17:34 - Mathbrain in Beitrag No. 7)
Ok ich habe es jetzt so gerechnet. Ist das so gemeint bzw. richtig?
(1)/(k-1) - (1)/(k) = ((k+1)-(k+1)+1)/(k-1) - 1/k
= ((k+1)-(k+2))/(k-1) - 1/k
= (k-1)/(k-1) - 1/k
\quoteoff
Hm, da ist der letzte Schritt falsch, und davor kann man nicht so ganz den Sinn und Zweck ersehen.
Was hast du denn hier vor?
Gruß, Diophant
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Kuestenkind
Senior
Dabei seit: 12.04.2016
Mitteilungen: 2568
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-28
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Ich meinte du sollst es sauber mit Summen und einer Indexverschiebung aufschreiben:
\(\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k-1}-\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}= 1+\sum_{k=3}^n \frac{1}{k-1}-\sum_{k=2}^n\frac{1}{k}=1+ \sum_{k=2}^{n-1} \frac{1}{k}-\left(\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{k}+\frac{1}{n}\right)\)
Falls du dich mal mit Diskreter Mathematik und Finite Calculus beschäftigst, kannst du die Summe auch so berechnen:
\(\displaystyle \sum_{k=2}^n \frac{1}{k(k-1)}=\sum_{k=2}^{n+1} \frac{1}{k(k-1)}\delta k=\sum_{k=0}^{n-1} k^{\underline{-2}}\,\delta k=-k^{\underline{-1}}\bigg|_0^{n-1}=-\frac{1}{k+1}\bigg|_0^{n-1}=-\frac{1}{n}+1\)
Dies nur als Alternative.
Ich werde mich nun erstmal wieder der (niederen) Schulmathematik widmen. Dir einen schönen Abend!
Gruß,
Küstenkind
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
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Mathbrain
Aktiv
Dabei seit: 23.03.2023
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-28
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\quoteon(2023-03-28 17:49 - Kuestenkind in [Die Antwort wurde nach Beitrag No.7 begonnen.]
\quoteoff
Alles klar, danke für deine Zeit!
\quoteon(2023-03-28 17:47 - Diophant in Beitrag No. 8)
Was hast du denn hier vor?
\quoteoff
Ich habe eine 0 addiert und ausgeklammert und möchte dann zeigen,
dass
(1)/(k-1) - (1)/(k) = ((k+1)-(k+1)+1)/(k-1) - 1/k
= ((k+1)-(k+2))/(k-1) - 1/k
= (k-1)/(k-1) - 1/k
= 1- 1/n
und das wiederum, (n-1)/n ist.
Was genau ist falsch?
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-03-28 17:23 - Mathbrain in Beitrag No. 6)
Wo fehlen noch die Klammern?
\quoteoff
Man sollte am besten
$$
\sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)
$$
und nicht
$$
\sum_{k=2}^n \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}
$$
schreiben.
LG Nico\(\endgroup\)
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.12, eingetragen 2023-03-28
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-03-28 18:20 - Mathbrain in Beitrag No. 10)
Was genau ist falsch?
\quoteoff
Bei dir ist \(k-k=k\), da kann doch etwas nicht stimmen?
Und den Wert der Teleskopsumme bekommst du nicht, indem du das allgemeine Reihenglied umformst. Sondern indem du den "Teleskopeffekt" ausnutzt, was so viel bedeutet wie: die Summe von \(k=1\) bis \(k=n\) in Gedanken komplett ausschreiben, feststellen, dass fast alle Summanden sich gegenseitig aufheben, bis auf den ersten und letzten.
Bei deiner obigen Rechnung sollte jedoch im Idealfall einfach wieder das Reihenglied in der Form \(\frac{1}{k(k-1)}\) herauskommen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Mathbrain
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-29
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\quoteon(2023-03-28 18:34 - nzimme10 in Beitrag No. 11)
Man sollte am besten
$$
\sum_{k=2}^n \left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)
$$
und nicht
$$
\sum_{k=2}^n \frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}
$$
\quoteoff
Ah ja, das stimmt. Merke ich mir!
\quoteon(2023-03-28 20:20 - Diophant in Beitrag No. 12)
Bei dir ist \(k-k=k\), da kann doch etwas nicht stimmen
Und den Wert der Teleskopsumme bekommst du nicht, indem du das allgemeine Reihenglied umformst. Sondern indem du den "Teleskopeffekt" ausnutzt, was so viel bedeutet wie: die Summe von \(k=1\) bis \(k=n\) in Gedanken komplett ausschreiben, feststellen, dass fast alle Summanden sich gegenseitig aufheben, bis auf den ersten und letzten.
Bei deiner obigen Rechnung sollte jedoch im Idealfall einfach wieder das Reihenglied in der Form \(\frac{1}{k(k-1)}\) herauskommen.
Gruß, Diophant
\quoteoff
Genau... habe zu schnell gerechnet und zu hastig gepostet...
Jetzt verstehe ich es! Es ist keine Termumformung, sondern eine Schlussfolgerung.
Mir ist jetzt alles klar und konnte sehr viel dazulernen! Danke an alle, die sich an diesem Beitrag beteiligt haben. Ihr seid wahrlich eine große Hilfe!
Liebe Grüße,
Tarik
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