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  Meine Notizen zur Binomialverteilung |
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Pippen
Aktiv 
Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 97
 |  Themenstart: 2023-03-28
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Ich habe mir das Wichtigste zur sog. Binomialverteilung herausgeschrieben. Mich würde interessieren, ob ich etwas Wichtiges vergessen oder irgendwelche Fehler gemacht habe. Insbesondere würde mich interessieren, ob mein Beispiel korrekt ist, vor allem die Anwendung der Zufallsvariablen. Das verwirrt mich leider immer wieder.
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Diophant
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Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10685
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-28
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Hallo,
einen Fehler kann ich nicht entdecken. Etwas elementares hast du auch nicht vergessen, ansonsten ist deine erste Frage (ob du etwas wichtiges vergessen hast), so ohne Kontext schwierig zu beantworten.
Gruß, Diophant
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zippy
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Mitteilungen: 4626
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-03-28
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Es gibt ein paar Formalitäten, die nicht stimmen:
1. Bei der Bernoulli-Verteilung: Ereignisse wie $A$ und $A^c$ sind keine Elemente von $\Omega$, sondern Teilmengen.
Du musst $\Omega$ auch gar nicht im Detail kennenn, wenn du über die Bernoulli-Verteilung sprechen wilst. Es reicht, mit $A$ und $A^c$ zu arbeiten. Wenn du doch ein konkretes $\Omega$ vor Augen haben willst, setze $\Omega=\{a,b\}$ und dann $A=\{a\}$ und $A^c=\{b\}$.
2. "$x_1=1$ gdw. $x_1=$Zahl" ergibt keinen Sinn. Gib einfach den in den $n$ Versuchen auftretenden Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen Namen, sagen wir $X_1$, $\ldots$,$X_n$, und betrachte $\Omega=\{\text{Kopf},\text{Zahl}\}^n$. Du hast dann$$
X_i(\omega)=\begin{cases}1&\text{falls}\;\omega_i=\text{Zahl}\\
0&\text{sonst}\end{cases} \qquad\text{und}\qquad
P(X_i=x)=\begin{cases}p&\text{falls}\;x=1\\
1-p&\text{falls}\;x=0\\
0&\text{sonst}\end{cases}$$ und die binomialverteilte Zufallsvariable $X$ ist mit diesen Bezeichnungen die Summe $X=X_1+\cdots+X_n$.
3. $P(X)$ für eine Zufallsvariable $X$ ergibt keinen Sinn.
4. In der Tabelle ergeben $X=(x_1)_k$ und $P\bigl(X=(x_1)_k\bigr)$ keinen Sinn. Schreibe einfach $x$ und $P(X=x)$.
--zippy
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Pippen
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-28
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Hi zippy,
ich habe deine Änderungsvorschläge verwertet. Der erste mit A und A-Komplement sollte passen. Aber bei der Zufallsvariablen stocke ich immer noch. Ist das so wirklich korrekt, ich würde denken, dass irgendwo noch ein n und ein k auftauchen müssen. Könntest du vielleicht einmal bis zur Beschriftung der Tabelle genau aufschreiben, was da stehen würde, wenn man es schulmäßig und ungekürzt hinschreiben würde?
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zippy
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-03-28
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\quoteon(2023-03-28 22:28 - Pippen in Beitrag No. 3)
Der erste mit A und A-Komplement sollte passen.
\quoteoff
Fast. Es müsste eigentlich $P(\{a\})$ und $P(\{b\})$ statt $P(a)$ und $P(b)$ heißen, denn $P$ ordnet einem Ereignis, also einer Menge von Ergebnissen, eine Wahrscheinlichkeit zu.
\quoteon(2023-03-28 22:28 - Pippen in Beitrag No. 3)
ich würde denken, dass irgendwo noch ein n und ein k auftauchen müssen.
\quoteoff
Du kannst die Werte, die $X$ annimmt, auch $k$ statt $x$ nennen und dann die Tabellenzeilen mit $k$ und $P(X=k)$ bezeichnen.
Der Wert von $n$ taucht tatsächlich in der Tabelle nicht auf, aber das gilt genauso für den Wert von $p$. Das ist aber kein Problem, denn du hast ja bereits gesagt, dass $X$ $B(5,0.5)$-verteilt sein soll.
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luis52
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Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 994
 | Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-29
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Zusaetzlich zu den Anmerkungen von zippy moechte auch ich noch meinen Senf dazu geben.
Bei der Behandlung der BernV fehlt mir der Bezug zur Zufallsvariablen, die in deinem Beispiel spaeter gewissermassen vom Himmel faellt. Auch das Wort Bernoulli-Experiment fehlt. Ein Bernoulli-Experiment zeichnet sich dadurch aus, dass sein Ausgang aus zwei sich gegenseitig ausschliessenden Ereignissen $A,A^c\subset\Omega$ besteht. Ist bspw. $\Omega=\{a,b\}$, so koennte $A=\{a\}$ und $A^c=\{b\}$ sein. Ist bspw. $\Omega=\{\text{Zahl},\text{Kopf}\}$, so koennte $A=\{\text{Zahl}\}$ und $A^c=\{\text{Kopf}\}$ sein, usw.
Mit den Ereignissen ist eine Zufallsvariable $X:\Omega\to\IR$ verknuepft mit
\[\begin{equation*}
X(\omega)=
\begin{cases}
1 ,& \text{$\omega\in A$;} \\
0 ,& \text{$\omega\in A^c$.} \\
\end{cases}
\end{equation*}\]
Beachte, dass dann $(X=0)=A^c$ und $(X=1)=A$ gilt, woraus dann $P(X=0)=1-p$ und $P(X=1)=:p\in[0,1]$ folgt. Jede Zufallsvariable $X$ mit dieser Verteilung heisst Bernoulli-verteilt, $B(1,p)$.
Der Hintergrund der Binomialverteilung ist eine feste Anzahl $n$ von Bernoulli-Experimenten. Dieses uebergeordnete Experiment hat folgende Eigenschaften:
1) Alle Experimente werden unabhaengig durchgefuehrt.
2) Die Wahrscheinlichkeit $p$ ist in allen Durchgaengen identisch.
In deinen Notizen fehlen mir die Woerter fest und unabhaengig. Es gibt aehnliche Verteilungen wie die Binomialverteilung, bei der die Anzahl der Bernoulli-Experimente nicht fest ist (z.B. bei der geometrischen Verteilung) oder wo $p$ nicht konstant ist (z.B. bei der hypergeometrischen Verteilung).
Vllt kannst du dir noch aufschreiben, dass $n-X$ $B(n,1-p)$-verteilt ist, wenn $X$ $B(n,p)$-verteilt ist (Warum?).
Fuer meinen Geschmack ist es uebertrieben, die BV als "Mutter aller W-Verteilungen" zu bezeichnen. Ich denke, diese Ehre gehoert eher der Normalverteilung.
Just my 2¢.
vg Luis \(\endgroup\)
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Pippen
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-30
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Kann ich auch schreiben:
Sei X(w$_{n}$) = 1 falls w$_{n}$ = Zahl, sonst 0.
Sei die W-Funktion P(X = k) = 0.5 falls k = 1, 0.5 falls k = 0, sonst 0.
…
Dann hätte ich erstens n drin und zweitens irritiert mich X$_i$, weil es für mich eine Zufallsvariable X gibt, der dann mehrere Zahlen zugeordnet werden und diese Zahlen stammen wiederum aus verschiedenen Realisationen, so dass dort (und nicht bei der Zufallsvariablen) Indices Sinn machen (für mich).
Aber da ist noch ein weiteres Problem: k kann ja auch 2 oder 3 bis hin zu 5 sein. Nach dieser W-Funktion wäre dann P(X = 5) = 0 und das ist falsch.
Da werde ich gleich noch etwas ändern und hier reinstellen.
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Pippen
Aktiv
Dabei seit: 06.07.2021
Mitteilungen: 97
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-30
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So, nochmal die entscheidenw Stelle. So würde es für mich Sinn machen, das Rote erklärt, was ich darunter verstehe. Daran sieht man, dass ich ganz exakt noch mehr definieren müsste, aber das sind ja vor allem Aufzeichnungen für spätere Wdh. und das Verständnis. Was meint ihr? Geht das so oder sind gerade hier wieder Fehler/Unzulänglichkeiten drin?
https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/54816_PNG-Bild_3.png
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luis52
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Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 994
| Beitrag No.8, eingetragen 2023-03-30
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
%****************************************************************
\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
Dein Beispiel ist immer noch nicht stimmig. Ist dir nicht aufgefallen, dass du $X$ zwei verschiedene Bedeutungen gibst? Implizit willst du mit der Symbolik $\omega_i$ anscheinend auf das Richtige hinaus, aber der Widerspruch bleibt.
Ich mache mal einen Vorschlag.
1. Definition des eines Bernoulli-Experiments: Werfen eines fairen Wuerfels. Setze $\Omega=\{\text{Zahl},\text{Kopf}\}$ und betrachte $X:\Omega\to\IR$ mit
\[X(\omega)=\begin{cases}1&\text{falls}\;\omega=\text{Zahl}\\
0&\text{falls}\;\omega=\text{Kopf}\end{cases}
\]
Setzen wir $P(\{\text{Zahl}\})=:p\in[0,1]$, so gilt
\[
P(X=x)=\begin{cases}p&\text{falls}\;x=1\\
1-p&\text{falls}\;x=0\\
0&\text{sonst.}\end{cases}
\]
$X$ kann als die Zufallsvariable Anzahl der Haeufigkeit von "Zahl" bei dem Bernoulli-Experiment interpretiert werden, und $X$ heisst Bernoulli-verteilt, $B(1,p)$.
2. Der Wuerfel wird fuenfmal geworfen. Das bedeutet, dass das obige Bernoulli-Experiment $n=5$ Mal unabhaengig durchgefuehrt wird. Mit dem $i$-ten Experiment ist jeweils eine Bernoulli-verteilte Zufallsvariable $X_i:\Omega\to\IR$ verbunden mit
\[X_i(\omega)=\begin{cases}1&\text{falls}\;\omega=\text{Zahl}\\
0&\text{falls}\;\omega=\text{Kopf}\end{cases}
\]
und
\[
P(X_i=x)=\begin{cases}p&\text{falls}\;x=1\\
1-p&\text{falls}\;x=0\\
0&\text{sonst.}\end{cases}
\]
$X_i$ signalisiert, ob beim $i$-ten Wurf "Zahl" auftritt, $(X_i=1)$, oder nicht, $(X_i=0)$.
3. Es sei $Y$ die Anzahl der Haeufigkeit von "Zahl" in den fuenf Versuchen, also $Y=X_1+X_2+X_3+X_4+X_5$. Die Verteilung von $Y$ heisst Binomial-Verteilung, $B(5,0.5)$, und ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion ist gegeben durch:
\[
P(Y=k)=\begin{cases}\binom{5}{k}0.5^k(1-0.5)^{5-k}&\text{falls}\;k\in\{0,1,2,3,4,5\}\\
0&\text{sonst.}\end{cases}
\]
\[
\begin{array} {@{}ccccccc@{}}
k & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
\hline
P(Y=k) & 0.03125 & 0.15625 & 0.31250 & 0.31250 & 0.15625 & 0.03125
\end{array}
\] \(\endgroup\)
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-30
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Hallo Pippen,
finde ich gut, was du da machst! Meine Frau (Lehrerin) sagt "von der Hand in den Verstand". Für Klausuren dürfen sich ihre Schüler sogar einen handgeschriebenen Din-A4-Spickzettel machen - den sie dann meistens aber gar nicht benötigen.
Noch eine Anregung für dein Binomialverteilungsprojekt:
\(P(X\leq x)\) für \(X\sim B(n,p)\) und große n auszurechnen, ist ja ziemlich aufwändig. Das kann kann man aber mit der Normalverteilung (Stichwort: Gaußsche Glockenkurve) recht gut annähern. Die Funktion \(\Phi\) kann man mit Excel oder Calc und wahrscheinlich auch mit vielen Taschenrechnern direkt abrufen.
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zippy
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-03-30
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\quoteon(2023-03-30 22:39 - StrgAltEntf in Beitrag No. 9)
Die Funktion \(\Phi\) kann man mit Excel oder Calc und wahrscheinlich auch mit vielen Taschenrechnern direkt abrufen.
\quoteoff
In Excel und Calc kann man die Binomialverteilung auch ohne jede Näherung direkt aufrufen. Das ist also kein gutes Argument für eine Approximation durch die Normalverteilung.
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-31
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\quoteon(2023-03-30 23:04 - zippy in Beitrag No. 10)
\quoteon(2023-03-30 22:39 - StrgAltEntf in Beitrag No. 9)
Die Funktion \(\Phi\) kann man mit Excel oder Calc und wahrscheinlich auch mit vielen Taschenrechnern direkt abrufen.
\quoteoff
In Excel und Calc kann man die Binomialverteilung auch ohne jede Näherung direkt aufrufen.
\quoteoff
Danke, das war mir nicht bewusst. B(n;p;a;b) liefert die W'keit, dass eine Bin(n,p)-verteile ZV Werte aus dem Intervall [a,b] annimmt. Und das recht flott! Rechnet Calc hier tatsächlich die Summe aus, oder gibt es da einen anderen Trick?
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zippy
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-04-01
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\quoteon(2023-03-31 14:49 - StrgAltEntf in Beitrag No. 11)
Rechnet Calc hier tatsächlich die Summe aus, oder gibt es da einen anderen Trick?
\quoteoff
Eine gängige Rechenmethode ist die Darstellung über die unvollständige Beta-Funktion, so wie hier beschrieben.
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Pippen
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-03
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So ich habe es nach den Vorgaben von luis52 geändert.
Warum schreibt man eigentlich nicht P(X_i = x_i), sondern P(X_i = x)?
Genauso wundert mich, dass es heißt X_i(w) anstatt X_i(w_i).
Zu guter Letzt: kann ich schreiben B(k, 5, 0.5) = P(Y = k) = und dann die W-Funktion?
So wie es dasteht, sollte es aber in Ordnung sein jetzt, richtig? Ich frage so penetrant, weil ich später diese Aufzeichnungen zum Wdh. nutzen werde und dann gerade so wenig wie möglich Fehler drin haben will, die einen ins Stocken geraten - oder schlimmer - sich Falsches angewöhnen lassen.
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4626
| Beitrag No.14, eingetragen 2023-04-03
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\quoteon(2023-04-03 19:10 - Pippen in Beitrag No. 13)
Warum schreibt man eigentlich nicht P(X_i = x_i), sondern P(X_i = x)?
\quoteoff
Man kann die Variable rechts vom "$=$" im Prinzip nennen, wie man möchte. Aber wenn man $x_i$ statt $x$ schreibt, so suggeriert das, dass die gesamte Folge $(x_i)$ hier irgendeine Rolle spielen würde. Das ist aber nicht der Fall.
\quoteon(2023-04-03 19:10 - Pippen in Beitrag No. 13)
Genauso wundert mich, dass es heißt X_i(w) anstatt X_i(w_i).
\quoteoff
$X_i$ ist eine Funktion auf $\Omega$ und $\omega=(\omega_i)$ ist ein Element von $\Omega$. Also ordnet $X_i$ dem Element $\omega$ eine Zahl zu. Dass $X_i$ tatsächlich nur von der $i$-ten Komponente $\omega_i$ von $\omega$ abhängt, ändert daran nichts.
\quoteon(2023-04-03 19:10 - Pippen in Beitrag No. 13)
kann ich schreiben B(k, 5, 0.5) = P(Y = k)
\quoteoff
Ja. Oder du kannst sagen "$Y$ ist $B(5, 0.5)$-verteilt".
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Pippen
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Dabei seit: 06.07.2021
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-03
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Meine Notiz zeigt ja sehr schön, dass die Binomialverteilung eigentlich nur den binären Graphen des mehrfachen Zufallsexperiments (Baumdiagramm) auswertet bzw. dafür eine Short-Cut-Formel bereitstellt.
Scheinbar klappt es nicht dadurch, dass man alle Kombinationen, zB beim 5fachen Münzwurf 2^5 aus Münzwürfen hernimmt und daraus die relevanten 10 Kombinationen aus 3mal Zahl herausfiltert, jedenfalls scheint es dafür keine Formel für beliebigen Input zu geben.
Man nimmt vielmehr den Binomialkoeffizienten her und errechnet so die Zahl der Kombinationen. Das ist merkwürdig, weil der Binomialkoeffizient n! / k! * (n-k)! erstmal nichts Binäres an sich hat. Man errechnet damit ja zB die Kombinationen der Zahlen 1-10 mit 4mal der Zahl 3 drin. Aber die Aufgabe verlangt letztlich, binär zu rechnen, d.h. die zehn binären Kombinationen aus dem Binärgraphen des 5fachen Münzwurfs herauszufiltern. Wo/wie erfolgt in Binomialkoeffizienten die „Binärisierung“? Versteht ihr, was ich meine?
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4626
| Beitrag No.16, eingetragen 2023-04-04
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Um das Ergebnis $X=k$ zu erhalten, muss man in dem Binärbaum $k$-mal in Richtung "$1$" und $(n-k)$-mal in Richtung "$0$" gehen. Der Binomialkoeffizient $n\choose k$ zählt, wie viele derartige Wege es gibt.
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