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Analysis » Funktionalanalysis » Inklusion von Folgenräumen
Autor
Universität/Hochschule J Inklusion von Folgenräumen
JoMu02
Junior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 24.03.2023
Mitteilungen: 14
  Themenstart: 2023-03-29

Ich verstehe beim Beweis des Satzes Für $1\leq p\leq q\leq\infty$ gilt $\ell^p\subset\ell^q$ nicht, wieso es ausreicht, Folgen mit $||x||_p=1$ zu betrachten. Dass man eigentlich nur zeigen muss, dass $||x||_q \leq ||x||_p$ ist mir klar.

   Profil
PhysikRabe
Senior Letzter Besuch: in der letzten Woche
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2827
Wohnort: Rabennest
  Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-29

Jede Folge $x\in\ell^p$ kann entsprechend normiert werden. Ist $x\in\ell^p$ eine Folge mit $\|x\|_p \neq 1$ (der triviale Fall $\|x\|_p = 0$ ist ohnehin klar, sodass wir diesen ausschließen können), betrachte stattdessen $y:=\frac{x}{\|x\|_p}\in\ell^p$. Diese Folge hat Norm $1$. Offensichtlich ist $\|x\|_q \leq \|x\|_p$ genau dann wenn $\|y\|_q \leq \|y\|_p = 1$, sodass man tatsächlich o.B.d.A. annehmen kann, dass $\|x\|_p=1$. Grüße, PhysikRabe [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Funktionalanalysis' von PhysikRabe]

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