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  Schiefe Ebene und Ladung |
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physx
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 |  Themenstart: 2023-03-29
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Hallo zusammen, ich habe bei folgender Aufgabe schwierigkeiten. Ich hoffe mir kann da jemand etwas bei helfen :)
Eine Punktladung q1 rollt ab der Höhe \(h_{Start}\) reibungsfrei eine schiefe Ebene herunter und anschließend ebenfalls reibungsfrei über eine Ebene auf eine zweite schiefe Ebene der Länge l, die mit der Vertikalen den Winkel \(\alpha\) bildet zu. Am unteren Ende der zweiten schiefen Ebene ist eine Lichtschranke installiert, die beim Durchlauf von q1 dafür sorgt, dass am oberen Ende der zweiten schiefen Ebene eine punktförmige "Kugel" mit der Ladung q2 aufgeladen wird (Aufladevorgang infinitesimal kurz). Es gilt \(q1\cdot q2<0\).
a) Berechne die Lnge der Strecke \(s_G\) vom unteren Ende der zweiten schiefen Ebene zum Gleichgewichtspunkt, wo sich die Kräfte aufheben.
b) Berechne diejenige Starthöhe \(h_{Start}\) in der q1 starten muss, damit sie auf der zweiten schiefen Ebene den Gleichgewichtspunkt erreicht.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/50222_fttn.jpg
Meine Vorschläge:
\(\)
a) Hier habe ich die Hangabtriebskraft gleich der Coulombkraft gesetzt.
\(F_H=F_C\)
\(mgsin(90-\alpha)=k\frac{q1q2}{r^2}\)
umgeformt nach r erhalte ich \(r=\sqrt{\frac{kq1q2}{mgsin(90°-\alpha)}}\)
Da \(l=r+s_G\) erhalte ich für \(s_G=l-\sqrt{\frac{kq1q2}{mgsin(90°-\alpha)}}\)
Passt das so?
b) Hier muss ja sehr wahrscheinlich mit dem Energieerhaltungssatz gearbeitet werden. Im Startpunkt düfte ja nur potenzielle Energie vorliegen. Aber was ist mit dem Endpunkt?
LG und vielen Dank :)
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Caban
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-29
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Hallo
Bei der b bleibt ein Teil der ursprünglichen potentielle Energie wieder pontentielle Energie und eletrische Energie , welche du mit Integtralen bestimmen musst.
Zur a: sin(90°-alpha) kannst du vereinfachen.
Gruß caban
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physx
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-29
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Hallo Caban und danke für deine schnelle Antwort.
a) Hier würde mir ehrlich gesagt nur noch einfallen \(sin(90°-\alpha)\) mit den Additionssatz für den Sinus zu bearbeiten. \(sin(x+y)=sin(x)cos(y)+sin(y)cos(x)\)
Ich gehe aber mal davon aus das du das nicht meinst? Sonst passt aber die a)?
b) Hier tue ich mir ehrlich gesagt etwas schwer.
\(E_{pot,S}=E_{pot,G}+E_{el}\)
\(mgh_S=mgh_G+E_{el}\)
Wie mache ich das denn hier mit der Integration und geht das nur über das lösen eines Integrals?
Vielen Dank :) \(\)
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Caban
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-03-29
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Hallo
sin(90°-\alpha)=cos(\alpha)
Die elektrische Energie berechnet sich folgendermaßen:
int(k*q_1*q_2/r^2,r,l-s_g,l)
Gruß Caban
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physx
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-30
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Danke für deine Antwort Caban :) Ich habe das jetzt erstmal ausgerechnet und erhalte:
\(E_{el}=kq1q2(\frac{1}{l}-\frac{1}{l-s_g})\)
Eingesetzt:
\(mgh_S=mgh+kq1q2(\frac{1}{l}-\frac{1}{l-s_g})\)
Die Gleichgewichtshöhe h auf der zweiten schiefen Ebene lässt sich mithilfe des Kosinus noch ausdrücken \(cos(\alpha)=\frac{h}{s_g}\)
\(mgh_S=mgcos(\alpha)s_g+kq1q2(\frac{1}{l}-\frac{1}{l-s_g})\)
\(h_s=\frac{cos(\alpha)s_g+kq1q2}{mg}\cdot (\frac{1}{l}-\frac{1}{l-s_g})
\)
Passt das soweit?
Liebe Grüße :)
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Caban
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-03-30
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hallo
Deine elektrische energie ist negativ. Das sollte nicht so sein.
Gruß Caban
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physx
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-30
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Da habe ich was falsch gemacht. Es muss lauten:
\(E_{el}=kq1q2\cdot (\frac{1}{l-s_g}-\frac{1}{l})\)
Was ich mich allerdings bei den Grenzen frage, wieso sind die Grenzen des Integrals nicht \(\int_0^{s_g}\) ? Die Ladung müsste doch zwischen dieser Strecke von 0 bis s_g die Fähigkeit besitzen Arbeit zu verrichten und nicht zwischen \(s_g\) und l oder?
Dann komme ich auf \(mgh_s=mgcos(\alpha)s_g+kq1q2\cdot(\frac{1}{l-s_g}-\frac{1}{l})\)
\(h_s=cos(\alpha)s_g+\frac{kq1q2}{mg}\cdot (\frac{1}{l-s_g}-\frac{1}{l})\)
Jetzt passt es aber hoffentlich :)
\(q1=5⋅10^{13}e\)
\(q2=−5,4663⋅10^{14}e\)
\(α=50°\)
\(m=1kg\)
\(l=5m\)
Erhalte ich für \(s_g\approx 5m\)
\(\)
Das ist jetzt allerdings genau so groß wie l in der Aufgabe.
Da scheint doch irgendwas nicht zu passen? ....
Vielen Dank :)
\(
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Caban
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-03-30
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Hallo
Bist du dir bei der Energieeinheit sicher?
Deine elektrische Energie wad doch richtig, weil man eine kleinere Höhe braucht.
Gruß Caban
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physx
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-30
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Bei der a) erhalte ich schon einen komischen Wert. Ist fas denn korrekt mit den Zahlen wenn ich diese einsetze? Da komme ich auf 4,999m also knapp 5m.
b) Also muss doch von 0 bis s_g integriert werden? \(\int_0^{s_g}k\frac{q1}{q2}{r^2}dr\)
Muss hier nicht noch irgendwie die Kraft in die Richtung des Weges berücksichtigt werden? Wir befinden uns doch hier auf einer schiefen Ebene. Muss das nicht irgendwie berücksichtigt werden bei der Berechnung der elektrischen Energie?
Die Höhe h_{Start} soll außerdem 2,055m sein. Ich habe leider nur das Ergebnis aber verstehe nicht den Rechenweg dahin.
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Caban
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-03-30
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Hallo
Für sw komme ich auf 4 m. Und für h auch auf die 2,1 m. Was hast du für k eingesetzt.
Gruß Caban
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physx
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-31
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Danke Caban ich habe es jetzt auch hinbekommen. Eine Frage habe ich allerdings noch bezüglich der Grenzen des Integrals. Damit man auf den Ausdruck \(E_{el}=kq1q2\cdot(\frac{1}{l}-\frac{1}{l-s_g})\) kommt muss man die Grenzen folgendermaßen wählen:
\(\int_l^{l-s_g}\frac{q1q2}{r^2}dr=kq1q2\cdot(\frac{1}{l}-\frac{1}{l-s_g})\)
Warum müssen die Grenzen so gewählt werden und nicht andersum? Das würde für mich mehr Sinn ergeben aber liefert das falsche Ergebnis. Also genau so wie du es zu Beginn gewählt hast ...
LG und Danke! :)
\(\)
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Caban
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-03-31
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Hallo
Immer vom Anfangspunkt zum Endpunkt integrieren.
Gruß Caban
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physx
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-03-31
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Hallo Caban, dass ist mir klar das man vom Anfangspunkt zum Endpunkt integriert aber es wäre doch der Anfangspunkt der Ladung \(l-s_g\) und der Endpunkt l?
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Caban
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-04-01
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Hallo
Am Anfang ist der Radius l, dann am Ende l-s_g?
Gruß Caban
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physx
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-01
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Ja aber das wäre doch dann aus der Sicht von q2 und nicht von q1 also der Ladung die sich auch bewegt 🤔
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Caban
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-04-01
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Hallo
auch aus sicht von q1.
Gruß Caban
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physx
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-02
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Jetzt habe ich es verstanden. Die negative Ladung muss bei der Berechnung der Arbeit berücksichtigt werden. Deshalb kommt das Minus mit in die Rechnung und die Grenzen lassen sich vertauschen. Vielen Dank!
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