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| Autor |
  Varianz trunkierter Normalverteilungen |
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Schachspieler
Junior 
Dabei seit: 01.06.2018
Mitteilungen: 8
 |  Themenstart: 2023-03-30
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Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:
Wir zerlegen das [0,1]-Intervall in n gleich große Stücke der Länge 1/n. Sei nun \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\) normalverteilt. Seien $X_1,\dots,X_n$ trunkierte Zufallsvariablen von $X$ auf den Intervallen $[\Phi^{-1}(0),\Phi^{-1}(\frac{1}{n})],\dots,[\Phi^{-1}(\frac{n-1}{n}),\Phi^{-1}(1)]$. Zu zeigen ist nun, dass die Varianz kleiner wird, je weiter in der Mitte das Intervall liegt. Ich bin jetzt wie folgt vorgegangen:
Da die Normalverteilung symmetrisch ist, brauchen wir nur den Bereich kleiner dem Erwartungswert zu betrachten. Seien also $a,b,c$ drei dieser Intervallgrenzen. Dann gilt für die Varianz auf $[a,b]$ folgendes:
\(\begin{align}
Var(X|_{[a,b]})=\sigma^2(1-\frac{bf(b)-af(a)}{F(b)-F(a)}-(\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)})^2)
\end{align}\)
Für $[b,c]$ gilt dasselbe analog. Ich will jetzt zeigen, dass die Varianz für $[b,c]$ kleiner als für $[a,b]$ ist. Es gilt $F(b)-F(a)=F(c)-F(b)$, da die Intervalle so gewählt sind.
Ist es klar, worauf es hinauslaufen soll?
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 Profil
| Folgende Antworten hat der Fragensteller vermutlich noch nicht gesehen.
Er/sie war noch nicht wieder auf dem Matheplaneten |
luis52
Senior 
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 994
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-03-31
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\(\begingroup\)\(%****************************************************************
%************************** Abkuerzungen ************************
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\newcommand{\eps}{\epsilon}
\newcommand{\veps}{\varepsilon}
\)
\quoteon(2023-03-30 20:06 - Schachspieler im Themenstart)
Ist es klar, worauf es hinauslaufen soll?
\quoteoff
Ich ahne es.
Es waere zunaechst einmal gut, nicht in der Notation hin- und herzuspringen. Dein $F$ ist $\Phi$ und dein $f$ ist $\varphi$. Fuer $b=\Phi^{-1}(k/n)$ und $a=\Phi^{-1}((k-1)/n)$ ist dann $\Phi(b)-\Phi(a)=1/n$, so dass (wenn ich mich nicht irre)
\[\begin{align*}
\operatorname{Var}(X|_{[a,b]})&=\sigma^2\left(1-\frac{b\varphi(b)-a\varphi(a)}{\Phi(b)-\Phi(a)}-\left(\frac{\varphi(b)-\varphi(a)}{\Phi(b)-\Phi(a)}\right)^2\right) \\
&=\sigma^2\left(1-nb\varphi(b)+na\varphi(a)-n^2(\varphi(b)-\varphi(a))^2\right)\\
&=:v(k)
\end{align*}
\]
Der Fall $k=0$ ist gesondert zu behandeln.
Du vermutest, dass $v$ monoton faellt fuer $k\le n/2$. Eine kleine Spielerei bestaetigt deinen Verdacht.
\sourceon R
jjf <- function(n) {
n2 <- floor(0.5 * n)
ab <- 0:n2
a <- 1:(n2 - 1)
a <- qnorm(a/n)
fa <- c(0, dnorm(a))
a <- c(0, a)
b <- 1:n2
b <- qnorm(b/n)
fb <- dnorm(b)
v <- 1 - n * b * fb + n * a * fa - n^2 * (fb - fa)^2
all(diff(v) < 0)
}
R> sapply(c(seq(10,100,by=10),seq(200,1000,by=100)),jjf)
[1] TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE TRUE
[16] TRUE TRUE TRUE TRUE
\sourceoff
Vllt kann man ja mit Regeln der Differentialrechnung etwas reissen ...
vg Luis
\(\endgroup\)
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