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 Finde alle Äquivalenzklassen für 2x2-Matrizen in Z/2Z |
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oberstuflerin123
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Dabei seit: 09.02.2022
Mitteilungen: 38
 |  Themenstart: 2023-03-31
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Hallo zusammen, ich habe die folgende Aufgabe gestellt bekommen:
Bestimmen Sie durch die genaue Angabe der Elemente die Äquivalenzklassen der Ähnlichkeit für \(n=2\) und \(K = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\). Geben Sie zusätzlich alle Polynome in \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\) an, welche charakteristische Polynome von Matrizen in \(M_2(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\) sind.
OK, los geht's, es existeren in \(M_2(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})\) exakt 16 Matrizen, und zwar die folgenden:
\(A=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_A(\lambda) = (-\lambda)^2-0 = \lambda^2\)
\(B=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_B(\lambda) = (1-\lambda)(-\lambda) - 0 = (1+\lambda)\lambda = \lambda^2+\lambda\)
\(C=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_C(\lambda) = (-\lambda)^2-0 = \lambda^2\)
\(D=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_D(\lambda) = (-\lambda)^2-0 = \lambda^2\)
\(E=\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_E(\lambda) = (-\lambda)(1-\lambda)-0 = \lambda(1+\lambda) = \lambda^2+\lambda \)
\(F=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_F(\lambda) = (1-\lambda)(-\lambda)-0 = (1+\lambda)\lambda = \lambda^2+\lambda \)
\(G=\begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_G(\lambda) = (1-\lambda)(-\lambda)-0 = (1+\lambda)\lambda = \lambda^2+\lambda \)
\(H=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_H(\lambda) = (1-\lambda)^2-0= 1-2\lambda+\lambda^2 = \lambda^2+1 \)
\(I=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_I(\lambda) = (-\lambda)^2-1= \lambda^2+1 \)
\(J=\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_J(\lambda) = (-\lambda)(1-\lambda)-0 = \lambda(1+\lambda) = \lambda^2+\lambda \)
\(K=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_K(\lambda) = (-\lambda)(1-\lambda)-0 = \lambda(1+\lambda) = \lambda^2+\lambda \)
\(L=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_L(\lambda) = (-\lambda)(1-\lambda)-1 = \lambda(1+\lambda)+1 = \lambda^2+\lambda+1 \)
\(M=\begin{pmatrix}1&0\\1&1\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_M(\lambda) = (1-\lambda)^2-0= 1-2\lambda+\lambda^2 = \lambda^2+1 \)
\(N=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_N(\lambda) = (1-\lambda)^2-0= 1-2\lambda+\lambda^2 = \lambda^2+1 \)
\(O=\begin{pmatrix}1&1\\1&0\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_O(\lambda) = (1-\lambda)(-\lambda)-1= (1+\lambda)\lambda+1 = \lambda^2+\lambda+1\)
\(P=\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\hspace{1cm} P_P(\lambda) = (1-\lambda)^2-1= (1+\lambda)^2+1 = 1+2\lambda+\lambda^2+1 = \lambda^2+2\lambda+2=\lambda^2\)
Damit hätte ich schon mal alle Polynome in \(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}[X]_\leq 2\) gefunden, und zwar:
\(P(\lambda) = \lambda^2\)
\(P(\lambda) = \lambda^2+\lambda\)
\(P(\lambda) = \lambda^2+1\)
\(P(\lambda) = \lambda^2+\lambda+1\)
Ähnliche Matrizen haben identische charakteristische Polynome, also weiß ich, dass mindestens 4 Äquivalenzklassen existieren.
Nun gilt aber für eine beliebige Matrix A die zur Identität ähnlich ist:\[
SidS^{-1} = A\\
SS^{-1} = A\\
id = A\]Also ist die Identitätsmatrix alleine in seiner Äquivalenzklasse. Es existieren also mindestens 5 Klassen.
Nun gilt aber für eine beliebige Matrix A die zur Nullmatrix ähnlich ist:\[
S0S^{-1} = A\\
0S^{-1} = A\\
0=A\]Also ist die Nullmatrix ebenfalls alleine in seiner Äquivalenzklasse. Es existieren also mindestens 6 Klassen.
Ferner weiß ich, dass die Eigenvektoren verschiedener Eigenwerte linear unabhängig sind. Wenn ich also bei der Dimension 2 zwei verschiedene Eigenwerte habe, kann ich jeweils eine Basis für die Diagonalisierung bilden. Wenn die Eigenwerte jeweils gleich sind, sind die Matrizen auch ähnlich zueinander. Ich kann nun also 3 der Äquivalenzklassen konkret angeben:
\([H]=\lbrace H\rbrace\)
\([A]=\lbrace A\rbrace\)
\([B]=\lbrace B,E,F,G,J,K\rbrace\)
Da mir die Musterlösung vorliegt, weiß ich ferner:
\([C]=\lbrace C,D,Q\rbrace\)
\([I]=\lbrace I,M,N\rbrace\)
\([L]=\lbrace L,O\rbrace\)
Nun zur spannenden Frage: Laut Musterlösung wurden die letzten drei Klassen gebildet, weil sie das gleiche charakteristische Polynom haben, aber das darf doch kein Kriterium sein, da ansonsten auch \(H\) in die Klasse mit \(I,M\) und \(N\) kommen müsste. Laut Suchfunktion im Forum sind zwei Matrizen genau dann ähnlich, wenn sie die gleiche Jordan-Normalform haben, aber so weit bin ich beim Lernen noch nicht. Und das Arbeitsblatt sollte das nicht vorraussetzen. Insofern verstehe ich nicht, wie man darauf kommt, dass Beispielsweise \(M\) nicht auch seine eigene Äquivalenzklasse bildet.
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4644
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-04-01
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Wenn du nicht mit Normalformen arbeiten kannst, liefern dir Invarianten wie das charakteristische Polynom immer nur eine untere Schranke für eine Klasseneinteilung, d.h. eine Einteilung, die möglicherweise zu grob ist.
Um nachzuweisen, dass sie tatsächlich fein genug ist, musst du ein Element $X$ der Klasse hernehmen und die übrigen als $Y=SXS^{-1}$ darstellen. Das klingt aufwendiger, als es ist, denn du musst ja nur eine Basis für $Y$ finden, in der diese Matrix wie $X$ aussieht.
--zippy
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| oberstuflerin123 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen. |
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