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Funktionentheorie » Singularitäten & Laurent-Reihen » Polstelle holomorpher Funktion zeigen
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Universität/Hochschule J Polstelle holomorpher Funktion zeigen
nitram999
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  Themenstart: 2023-04-07

Hallo, ich sitze an folgender Aufgabe: f sei holomorph in \IC \\{0} und es gelte abs(f(i/n))>=n für alle n\el\ \IN. Hat f dann in z=0 eine Polstelle? Man erkennt schnell, dass 0 keine hebbare Singularität sein kann, denn für die angegebene Folge i/n geht der Betrag von f gegen unendlich für n gegen unendlich, wobei die Folge gegen die isolierte Singularität geht. Meiner Meinung nach, müsste jetzt aber noch ausgeschlossen werden, dass die Singularität wesentlich ist. Wie sieht man das? LG nitram999

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Wally
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-04-07

\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\) Hallo, das sieht man gar nicht, weil die Singularität wesentlich sein kann. Greif dir die Exponentialfunktion und bastel passend daran rum. Fürs Erste kannst auch was mit \( \left|f(\frac{1}{n})\right|\ge n\) bauen. Viele Grüße Wally \(\endgroup\)

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nitram999
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-04-07

Danke für die Antwort Wally! Sei f(z):=1/z * exp(1/z) Dann ist abs(f(z))=abs(n/i *exp(n/i))=n*abs(exp(i*(-n)))=n >=n und f hat in z=0 eine wesentliche Singularität. Passt das so? LG nitram999

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Wally
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  Beitrag No.3, eingetragen 2023-04-07

Passt. Mir ist nur nicht klar, ob du auch zeigen musst, dass die Singularität wirklich wesentlich ist. Viele Grüße Wally

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nitram999 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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