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Thema eröffnet 2023-05-23 06:45 von cramilu
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Kein bestimmter Bereich * Die Runden soll'n ins Eckige!
Wario
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  Beitrag No.80, eingetragen 2023-06-06

\quoteon(2023-06-05 18:53 - cramilu in Beitrag No. 79) Klar doch! \quoteoff OK. Und (was in der Aufstellung noch fehlt) mit welchem Ansatz bestimmst Du jeweils die Wertebereiche $q$? PS: Da habe ich grad direkt im Hinterkopf: Man könnte evtl. eine gigantische Wertetabelle (mit pgfplotstable) erstellen, wo man dann zu $n$ wandert und alles nebst Phasen ablesen kann. Typographisch etwa vergleichbar mit der Wertetabelle einer Binomialverteilung. Muss man mal weiter drüber nachdenken (oder auch erstmal Werte haben...).


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haribo
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  Beitrag No.81, eingetragen 2023-06-06

anstelle einer gigantischen wertetabelle würde mir eher eine schablone ähnlich dieser vorschweben, die derzeit noch nur bis n=5 reicht https://www.matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_rundeckig-schablo-5.PNG also alle eck-hüllkurven in eine skizze gezeichnet, sie überschneiden sich nie und enden immer an der 45° gerade, steigen stetig an usw (und fals wir uns vertun wird es eben teilstrecken geben die noch tiefer liegen) der erste teil ist meist nen ellipsenabschnitt, aber schon der obere zipfel bei n=3 ist geometrisch im detail ziemlich komplex, auch wenn nur eine drehbewegung stattfindet


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Wario
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  Beitrag No.82, eingetragen 2023-06-06

\quoteon(2023-06-06 12:07 - haribo in Beitrag No. 81) anstelle einer gigantischen wertetabelle würde mir eher eine schablone ähnlich dieser vorschweben, die derzeit noch nur bis n=5 reicht .... \quoteoff Das ist ja nur so ein Zusatz. Grundsätzlich könnte man dann aber ein Programm schreiben, das aus den Eingangsparametern (etwa n, x, y) den Rest automatisch erstellt. Am Rande: Bei den Animationen müsste es auch möglich sein, die Bahnkurven zu plotten (mit pgfplots; das macht ja so eine Wertetabelle mit Koordinaten so günstig, weil man die beliebig weiterverarbeiten kann). Konnte mich da allerdings noch nicht reindenken.


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Wario
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  Beitrag No.83, eingetragen 2023-06-08

\(\begingroup\)\( \) (1) Ist das hier \quoteon(2023-05-29 05:16 - cramilu in Beitrag No. 40) 1) Mein rechnerisches Fazit für \(n=2,4,6\) : $ f_{2^\phantom{b}}(q)\;=.. $ $ f_{4^\phantom{b}}(q)\;=... $ $ f_{6^\phantom{b}}(q)\;=\;\left\{\begin{array}{5}\,\frac{1}{2} & \text{wenn}\quad0\,<\,q\,\leq\,\frac{1}{6}\quad{;} \\ \,\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\,25\,+\,\frac{1}{q}\,-\,5\cdot\sqrt{\,24\,+\,\frac{2}{q}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{1}{6}\,<\,q\,\leq\,\frac{2+\sqrt{3}}{7}\approx0{,}53315\quad{;} \\ \,\frac{1}{18}\,\cdot\,\left(\,1\,+\,\frac{3}{q}\,-\,\sqrt{\,\frac{6}{q}\,-\,8^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{2+\sqrt{3}}{7}\,<\,q\,\leq\,\frac{2}{3}\quad{;} \\ \,\frac{1}{26}\,\cdot\,\left(\,8\,+\,\frac{1}{q}\,-\,2\cdot\sqrt{\,3\,+\,\frac{4}{q}\,-\,\frac{3}{q^2}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{2}{3}\,<\,q\,\leq\, \color{red}{\frac{\color{red}5}{\color{red}{2+2\sqrt{3}}}\approx0{,}915}\quad{;} \\ \,\frac{1}{46}\,\cdot\,\left(\,-\,4\,-\,\frac{9}{q}\,+\,6\cdot\sqrt{\,3\,+\,\frac{2}{q}\,+\,\frac{8}{q^2}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\frac{5}{2+2\sqrt{3}}\,<\,q\,\leq\,1\quad{.} \end{array}\right. $ \quoteoff ein Tippfehler oder soll das so sein? Mir wurde ja noch nicht der Ansatz verraten wie man die Phasen-Intervalle bestimmt. Wie muss ich das machen? (2) Ansonsten ist das zwar eine schicke Ergebnissangabe, aber das so weiter zu betreiben.... da fährt es uns ja kalt den Rücken runter. Es sieht doch wie besprochen (vgl. #77, #78) so aus: Für festes $n$ und ein bestimmtes $q \in ]q_\min(P),~ q_\max(P)] $ aus einer bestimmte Phase $P$ die Situation: $l=2r +k_x x$ und $s=2r +k_y y$ mit bestimmten positiven ganzen Zahlen $k_x=k_x(P),~ k_y=k_y(P).$ Sowie die Beziehung $(2r)^2 =x^2 +y^2.$ Also $\begin{array}{l l l} (2r)^2 &=\dfrac{(l-2r)^2}{k_x^2} +\dfrac{(s-2r)^2}{k_y^2} \\[1em] &=\dfrac{(ps-2r)^2}{k_x^2} +\dfrac{(s-2r)^2}{k_y^2} &\Big|~ l=ps,~ p=\frac1q,~ 0\(\endgroup\)


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cramilu
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  Beitrag No.84, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08

Guten Abend Wario, nein das ist kein Tippfehler. 😉 Am Ende vieler morphologischer Phasen ergibt sich eine Ausprägung von dichtester Kreispackung, bei welcher die Mittelpunkte dreier benachbarter Kreise ein gleichseitiges Dreieck oder die Mittelpunkte von vieren ein Quadrat bilden. So auch am Ende der von Dir rot markierten Phase. Da sitzen ganz links als vertikales Pärchen zwei Kreise genau übereinander, rechts davon ein solches Pärchen genau auf Zwickel- lücke nach oben verschoben und ganz rechts wieder eines auf gleicher Höhe wie das ganz links. Was danach passiert, hatte ich in #38 skizziert. Und in Fällen wie dem nämlichen bestimmen sich dann die horizontale Breite und die vertikale Höhe des Rahmenrechteckes nach einfacher Trigonometrie mit Versatzwinkeln von \(60°\); hier die Breite aus zwei Radien außen plus zwei Radienlängen mal \(\sqrt{\,3^\phantom{b}}\) sowie die Höhe aus zwei Radien unten/oben plus drei Radien- längen dazwischen. Zur Illustration dessen, was querin in #19 allgemein betrachtet hat, noch einmal die simple Akkordeon- Faltung mit Beschriftung des x-y-Gestrüpps: Und für viele andere Phasen kann man entsprechende x-y-Gitter zwischen den Kreismittelpunkten finden \(-\) auch und besonders regelmäßig bei besonders dichten Packungen.


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Wario
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  Beitrag No.85, eingetragen 2023-06-08

\(\begingroup\)\( \) \quoteon(2023-06-08 20:17 - cramilu in Beitrag No. 84) ... nein das ist kein Tippfehler. 😉 \quoteoff Ok. Wie ist denn nun der Ansatz, um die Phasengrenzen $ ]q_\min(P),~ q_\max(P)]$ zu ermitteln? Betrachtat man da in einer Phase $P$ einfach das pythagoräische Dreieck $(x,y,2r)$ und sagt nun, dass für den Winkel $\alpha$ gegenüber $y$ der Bereich $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ gelten muss. Was wiederum $0<\sin(\alpha(f))<1$ bedeutet? Ist das so? Reicht das so? Falls ich mich hier nicht vertue müsste man doch dann auch die quadratische Ungleichung in allgemeiner Form lösen können. Dann folgte ja wirklich alles weitere aus $k_x$ und $k_y$ (Bezeichnungen aus #83, vorangehend #77, 78). Oder habe ich hier irgendeinen Denkfehler? \(\endgroup\)


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cramilu
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  Beitrag No.86, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08

Ja, im Prinzip schon. Mit dem allgemeinen x-y-Ansatz kommt man halt rein nach Pythagoras um Rechnung mit Winkelfunktionen herum. Aber leider nicht immer, wie zum Beispiel in der zweiten Phase für \(n=3\) . Da grübele ich noch über einem entsprechend geeigne- ten Pythagoras-Ansatz. 🤔 Aber zunächst mag ich die Wertetabelle für \(n=6\) fertigstellen. 😉


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Wario
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  Beitrag No.87, eingetragen 2023-06-08

\(\begingroup\)\( \) \quoteon(2023-06-08 22:08 - cramilu in Beitrag No. 86) Aber zunächst mag ich die Wertetabelle für \(n=6\) \quoteoff Ja, kannst Du machen. Und ich kann dann auch eine Animation dazu erstellen; das hätte ich auch so schon längst können, aber m.E. viel besser: Wenn es immer nur um die positiven ganzen Zahlen $k_x$ und $k_y$ geht (Bezeichnungen aus #83, vorangehend #77, #78); dann reicht mir im Prinzip eine Tabelle $$n,~ P,~ k_x,~ k_y$$ und alles Weitere folgt dann aus allgemeinen Formeln. (OK, über die Koordinaten der Mittelpunkte muss ich nochmal nachdenken; aber auch dazu muss dann m.E. nichts Weiteres tabelliert werden). \(\endgroup\)


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Wario
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  Beitrag No.88, eingetragen 2023-06-12

\(\begingroup\)\( \) \quoteon(2023-06-08 22:08 - cramilu in Beitrag No. 86) Ja, im Prinzip schon. Mit dem allgemeinen x-y-Ansatz kommt man halt rein nach Pythagoras um Rechnung mit Winkelfunktionen herum. Aber leider nicht immer, wie zum Beispiel in der zweiten Phase für \(n=3\) . Da grübele ich noch über einem entsprechend geeigne- ten Pythagoras-Ansatz. 🤔 Aber zunächst mag ich die Wertetabelle für \(n=6\) fertigstellen. 😉 \quoteoff Kannst Du mir mal Deine Ansätze aufschreiben für die Bestimmung der Intervallgrenzen q? Ich möchte das nämlich allgemein machen. Teilweise komme ich auf die Ergebnisse #40, teilweise nicht. Ich brauche keine komplette Vorrechnung, eben nur die Ansätze. Es sind dort m.E. mehrere Ungleichungen zu berücksichtigen. Mmmhh. Von mir aus nur für den Fall n=4. Das sollte erstmal reichen. \(\endgroup\)


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haribo
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  Beitrag No.89, eingetragen 2023-06-12

wario, wir verstehen deine frage nach den grenzen nicht, immer wenn die kreise genau auf lücke oder genau rechtwinklig zueinander liegen verändern sich die bewegungen, n=4 is in den beiträgen #20 ff dagestellt, n=5 noch weiter vorne


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cramilu
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  Beitrag No.90, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-12

@Wario: Aber gerne doch! 😉 @querin: Ich bitte auch Dich um ggf. rechnerische Kritik. Zunächst hatten wir als Grundherausforderung erkannt, jeweils morphologische Phasen 'dingfest' zu machen, sodass darin eine phasenweise auch funktional optimale Entwicklung zu erkennen sei: \(n=2\) in #4 \(n=3\) in #9 & #30 ; Abschlussphase 3 mit Dreier-Drehung \(n=4\) in #30 \(n=5\) in #30 ; Phase 3 (wiederum) mit Dreier-Drehung \(n=6\) in #36 \(n=7\) ... noch teilweise unklar, v.a. wieder Phase 3 🙄 \(n=8\) ab #49...#69 diskutiert ; Abschlussphase 7 noch unklar An Phasengrenzen liegen dann häufig Formen dichtester \(60°\)- oder \(90°\)-Packungen vor: Dort zeichne man sämtliche Verbindungslinien zwischen Mittel- punkten einander nächstbenachbarter Kreise ein und überlege, was unmittelbar zuvor und danach passiert. So ergibt sich dann das bereits referenzierte x-y-Gestrüpp \(-\) eine schlichte Erweite- rung des Gitters aus Mittelpunktverbindern um sich ggf. wieder- holende und damit vervielfachende horizontale x- und vertikale y-Abstände (siehe exemplarisch #38 und #84). Phase 1: lineares Zusammenschieben Phase 2: 'einstöckige Akkordeon-Stauchung' (Verallgemeinerung siehe #19, #34 und #84) Phase 3: für gerade n 'einfacher linksdrehender Etagenversatz' Phase 4: für gerade n 'vertikal symmetrische doppelte Akkordeon-Stauchung' Für \(n=4\) liegt am Ende von Phase 2 eine Struktur vor wie in der Grafik oben links. Während Phase 3 'wandern' die beiden oberen Kreise als horizontales Pärchen gegen den Uhrzeiger- sinn berührend um das untere Pärchen herum. Die Verbinder ihrer Mittelpunkte (Länge \(2r\)) bilden eine Raute. Deren vertikale Höhe liefert das y. Und der horizontale Restversatz des Kreises oben rechts gegenüber dem unten rechts liefert das x. Übrige Längendifferenzen zu den Rahmenseiten sind Vielfache von \(r\). \(\Rightarrow\quad s=2r+y\quad\land\quad\frac{s}{q}=ps=4r+x\) \(\Leftrightarrow\quad x=ps-4r\quad\land\quad y=s-2r\) \(\Rightarrow\quad 4r^2=x^2+y^2=p^2s^2-8psr+16r^2+s^2-4sr+4r^2\) \(\Leftrightarrow\quad 16r^2+r(-4s-8ps)+(s^2+p^2s^2)=0\quad\vert\,\div32\) \(\Leftrightarrow\quad\frac{1}{2}r^2+r(-\frac{1}{8}s-\frac{1}{4}ps)+(\frac{1}{32}s^2+\frac{1}{32}p^2s^2)=0\) Ich normiere den quadratischen Koeffizienten gerne zu Einhalb, damit ich mich bei der quadratischen Lösungsformel nicht mehr um den Hauptnenner kümmern muss. 😎 Wenn man sich dann beim Auflösen nicht mit korrekter Bruch- rechnung vertut \(-\) was auch mir leider häufig passiert, dann bleibt bloß noch die Frage, welches Vorzeichen vor dem Wurzel- term das zielführende ist. Und genau dann erweisen sich Vorab- überlegungen zu den dichtesten Packungen an den Phasengren- zen als dienstbar; eines derer Seitenverhältnisse nimmt man als Kontrollwert für \(p\) \(-\) etwa für Phase 2 stets das vorherige \(p=n\) bzw. \(q=\frac{1}{n}\) ! Na, und für Phasengrenzkonstellationen wie oben in der Grafik erhält man als Verbindungsgitter zwischen den Kreismittelpunk- ten entweder eines aus Quadraten oder aus gleichseitigen Drei- ecken, was die Bestimmung der dortigen Seitenverhältnisse doch sehr beherrschbar macht. 😉 Ich habe es extra ausführlich dargestellt, damit ggf. neu hinzu kommende Interessenten auch gleich die Scheu verlieren. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.88 begonnen.]


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haribo
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  Beitrag No.91, eingetragen 2023-06-12

das war sozusagen inhaltlich zeitgleich doppelt gemoppelt


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cramilu
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  Beitrag No.92, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-12

Zur 'Dreier-Drehung' hatte querin in #9 bereits gepostet. Mich führt sie allgemein für folgende Figur betrachtet... ... auf drei Pythagoras-Gleichungen für \(4r^2\) . Wohlgemerkt: Winkelfunktionen seien nicht erlaubt! Wer mag da mit- bzw. gegenrechnen? Dass für \(r\) sperrigere Terme entstehen als bei x-y-Gestrüpp, ist klar. Aber wie formt man noch am elegantesten um, damit sich eine nicht allzu verschachtelte Wurzelabhängigkeit etc. für \(r\) ergibt? 🤔 EDIT: Im Einzelnen... \([1]\quad4r^2=x^2+(1-2r)^2=x^2+1-4r+4r^2\quad\Leftrightarrow\quad x^2=4r-1\) \([2]\quad4r^2=y^2+(p-2r)^2=y^2+p^2-4pr+4r^2\quad\Leftrightarrow\quad y^2=4pr-p^2\) \([3]\quad4r^2=(p-2r-x)^2+(1-2r-y)^2=...\) \([3]\) ausmultiplizieren, \(x^2\) bzw. \(x\) aus \([1]\) und \(y^2\) bzw. \(y\) aus \([2]\) einsetzen, weiter ausmultiplizieren, herauskürzen, umformen... 🙄


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Wario
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  Beitrag No.93, eingetragen 2023-06-13

\(\begingroup\)\( \) Ich lese es mir nochmal in Ruhe durch. Irgendwie vermisse ich eine bzw. mehrere Ungleichungen, die zu diesen Grenzen führen: \quoteon(2023-05-29 05:16 - cramilu in Beitrag No. 40) Mein rechnerisches Fazit für \(n=2,4,6\) : $ f_{2^\phantom{b}}(q)\;=... $ $ f_{4^\phantom{b}}(q)\;=\;\left\{\begin{array}{3}\,\frac{1}{2} & \text{wenn} \quad \color{red}{0\,<\,q\,\leq\,\frac{1}{4}\quad{;} } \\ \,\frac{1}{2}\,\cdot\,\left(\,9\,+\,\frac{1}{q}\,-\,3\cdot\sqrt{\,8\,+\,\frac{2}{q}^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad\color{red}{\frac{1}{4}\,<\,q\,\leq\,\frac{2+\sqrt{3}}{5}\approx0{,}74641\quad{;} }\\ \,\frac{1}{8}\,\cdot\,\left(\,1\,+\,\frac{2}{q}\,-\,\sqrt{\,\frac{4}{q}\,-\,3^\phantom{b}}\,\right) & \text{wenn}\quad \color{red}{\frac{2+\sqrt{3}}{5}\,<\,q\,\leq\,1}\quad{.} \end{array}\right. $ .... .... \quoteoff Machst Du das nicht über Ungleichungen?\(\endgroup\)


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cramilu
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  Beitrag No.94, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-13

Guten Morgen! 😉 Wozu denn Ungleichungen? Am Ende von Phase 1 liegen vier Kreise auf Kontakt horizontal nebeneinander. Seitenverhältnis \(q=\frac{1}{4}\) . Am Ende von Phase 2 liegen zwei Kreise 'unten' auf Kontakt nebeneinander und darüber um Zwickellücke nach rechts versetzt das horizontale Pärchen aus den beiden oberen. Ihre Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Gitter aus gleichseitigen Dreiecken. Also horizontaler Versatz \(\Delta x\) der oberen \(2r\cdot\text{cos}(60°)=\frac{1}{2}\cdot2r=r\) , und vertikaler Versatz \(\Delta y\) \(2r\cdot\text{sin}(60°)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2r=r\sqrt{3}\) . Demnach Seitenverhältnis \(q=\frac{2r+r\sqrt{3}}{4r+r}=\frac{2+\sqrt{3}}{5}\) .


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gonz
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  Beitrag No.95, eingetragen 2023-06-13

\quoteon(2023-06-12 23:29 - cramilu in Beitrag No. 92) Aber wie formt man noch am elegantesten um, damit sich eine nicht allzu verschachtelte Wurzelabhängigkeit etc. für \(r\) ergibt? 🤔 \quoteoff Ich habe mich mal daran versucht, aber mich natürlich verwuselt. Vielleicht muss statt des YAS (Yeties versuchen sich in Algebra ) doch ein CAS ran... Aber auflösbar sollte es sein. Ich fühle mich dabei an die entspannte Geschichte mit den Grundstücken am See auf dem Olymp erinnert... da gab es auch überraschend kompakte Lösungen :)


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cramilu
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  Beitrag No.96, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-13

@Wario: Eine Wertetabelle für \(n=6\) ... ASCII: \showon \sourceon ASCII # q r [f] phi1[°] R1 phi2[°] R2 phi3[°] R3 phi4[°] R4 phi5[°] R5 phi6[°] R6 --- ------ ------ ------- ------ ------ ------- ------ ------- ------ ------- ------ ------- ------ ------- 0 0,0000 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2000 0,0000 2000 0,0000 2000 0,0000 2000 0,0000 2000 1 0,0050 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 39,8000 0,0000 39,8000 0,0000 39,8000 0,0000 39,8000 0,0000 39,8000 2 0,0100 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 19,8000 0,0000 19,8000 0,0000 19,8000 0,0000 19,8000 0,0000 19,8000 3 0,0150 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 13,1333 0,0000 13,1333 0,0000 13,1333 0,0000 13,1333 0,0000 13,1333 4 0,0200 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 9,8000 0,0000 9,8000 0,0000 9,8000 0,0000 9,8000 0,0000 9,8000 5 0,0250 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 7,8000 0,0000 7,8000 0,0000 7,8000 0,0000 7,8000 0,0000 7,8000 6 0,0300 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 6,4667 0,0000 6,4667 0,0000 6,4667 0,0000 6,4667 0,0000 6,4667 7 0,0350 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 5,5143 0,0000 5,5143 0,0000 5,5143 0,0000 5,5143 0,0000 5,5143 8 0,0400 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 4,8000 0,0000 4,8000 0,0000 4,8000 0,0000 4,8000 0,0000 4,8000 9 0,0450 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 4,2444 0,0000 4,2444 0,0000 4,2444 0,0000 4,2444 0,0000 4,2444 10 0,0500 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 3,8000 0,0000 3,8000 0,0000 3,8000 0,0000 3,8000 0,0000 3,8000 11 0,0550 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 3,4364 0,0000 3,4364 0,0000 3,4364 0,0000 3,4364 0,0000 3,4364 12 0,0600 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 3,1333 0,0000 3,1333 0,0000 3,1333 0,0000 3,1333 0,0000 3,1333 13 0,0650 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,8769 0,0000 2,8769 0,0000 2,8769 0,0000 2,8769 0,0000 2,8769 14 0,0700 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,6571 0,0000 2,6571 0,0000 2,6571 0,0000 2,6571 0,0000 2,6571 15 0,0750 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,4667 0,0000 2,4667 0,0000 2,4667 0,0000 2,4667 0,0000 2,4667 16 0,0800 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,3000 0,0000 2,3000 0,0000 2,3000 0,0000 2,3000 0,0000 2,3000 17 0,0850 0,5000 45,0000 0,7071 0,0000 2,1529 0,0000 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0,7950 0,2167 45,0000 0,3064 90,0000 0,4333 -36,0365 0,5098 90,0000 0,4333 -36,0365 0,7008 90,0000 0,4333 160 0,8000 0,2158 45,0000 0,3051 90,0000 0,4315 -35,7497 0,5042 90,0000 0,4315 -35,7497 0,7004 90,0000 0,4315 161 0,8050 0,2149 45,0000 0,3039 90,0000 0,4298 -35,4666 0,4988 90,0000 0,4298 -35,4666 0,7001 90,0000 0,4298 162 0,8100 0,2141 45,0000 0,3027 90,0000 0,4281 -35,1869 0,4934 90,0000 0,4281 -35,1869 0,6998 90,0000 0,4281 163 0,8150 0,2132 45,0000 0,3015 90,0000 0,4264 -34,9106 0,4881 90,0000 0,4264 -34,9106 0,6994 90,0000 0,4264 164 0,8200 0,2124 45,0000 0,3004 90,0000 0,4248 -34,6376 0,4829 90,0000 0,4248 -34,6376 0,6991 90,0000 0,4248 165 0,8250 0,2116 45,0000 0,2993 90,0000 0,4233 -34,3680 0,4779 90,0000 0,4233 -34,3680 0,6987 90,0000 0,4233 166 0,8300 0,2109 45,0000 0,2982 90,0000 0,4217 -34,1015 0,4729 90,0000 0,4217 -34,1015 0,6984 90,0000 0,4217 167 0,8350 0,2101 45,0000 0,2971 90,0000 0,4202 -33,8382 0,4680 90,0000 0,4202 -33,8382 0,6980 90,0000 0,4202 168 0,8400 0,2094 45,0000 0,2961 90,0000 0,4187 -33,5779 0,4632 90,0000 0,4187 -33,5779 0,6977 90,0000 0,4187 169 0,8450 0,2086 45,0000 0,2951 90,0000 0,4173 -33,3206 0,4584 90,0000 0,4173 -33,3206 0,6974 90,0000 0,4173 170 0,8500 0,2079 45,0000 0,2941 90,0000 0,4159 -33,0663 0,4538 90,0000 0,4159 -33,0663 0,6970 90,0000 0,4159 171 0,8550 0,2072 45,0000 0,2931 90,0000 0,4145 -32,8148 0,4492 90,0000 0,4145 -32,8148 0,6967 90,0000 0,4145 172 0,8600 0,2066 45,0000 0,2921 90,0000 0,4131 -32,5662 0,4448 90,0000 0,4131 -32,5662 0,6964 90,0000 0,4131 173 0,8650 0,2059 45,0000 0,2912 90,0000 0,4118 -32,3203 0,4404 90,0000 0,4118 -32,3203 0,6960 90,0000 0,4118 174 0,8700 0,2053 45,0000 0,2903 90,0000 0,4105 -32,0771 0,4360 90,0000 0,4105 -32,0771 0,6957 90,0000 0,4105 175 0,8750 0,2046 45,0000 0,2894 90,0000 0,4093 -31,8366 0,4318 90,0000 0,4093 -31,8366 0,6954 90,0000 0,4093 176 0,8800 0,2040 45,0000 0,2885 90,0000 0,4080 -31,5988 0,4276 90,0000 0,4080 -31,5988 0,6950 90,0000 0,4080 177 0,8850 0,2034 45,0000 0,2876 90,0000 0,4068 -31,3634 0,4234 90,0000 0,4068 -31,3634 0,6947 90,0000 0,4068 178 0,8900 0,2028 45,0000 0,2868 90,0000 0,4056 -31,1306 0,4194 90,0000 0,4056 -31,1306 0,6944 90,0000 0,4056 179 0,8950 0,2022 45,0000 0,2860 90,0000 0,4044 -30,9003 0,4154 90,0000 0,4044 -30,9003 0,6941 90,0000 0,4044 180 0,9000 0,2017 45,0000 0,2852 90,0000 0,4033 -30,6724 0,4115 90,0000 0,4033 -30,6724 0,6938 90,0000 0,4033 181 0,9050 0,2011 45,0000 0,2844 90,0000 0,4022 -30,4469 0,4076 90,0000 0,4022 -30,4469 0,6934 90,0000 0,4022 182 0,9100 0,2005 45,0000 0,2836 90,0000 0,4011 -30,2237 0,4038 90,0000 0,4011 -30,2237 0,6931 90,0000 0,4011 183 0,9150 0,2000 45,0000 0,2829 90,0000 0,4000 -30,0028 0,4000 90,0000 0,4000 -30,0028 0,6928 90,0000 0,4000 0,9151 0,2000 45,0000 0,2828 90,0000 0,4000 -30,0000 0,4000 90,0000 0,4000 -30,0000 0,6928 90,0000 0,4000 0,9151 0,2000 45,0000 0,2828 90,0000 0,4000 -30,0000 0,4000 90,0000 0,4000 -60,0000 0,6928 90,0000 0,4000 184 0,9200 0,1992 45,0000 0,2817 90,0000 0,4011 -30,2196 0,3984 90,0000 0,4011 -60,2187 0,6931 90,0000 0,4011 185 0,9250 0,1984 45,0000 0,2806 90,0000 0,4021 -30,4414 0,3968 90,0000 0,4021 -60,4376 0,6934 90,0000 0,4021 186 0,9300 0,1976 45,0000 0,2795 90,0000 0,4032 -30,6626 0,3953 90,0000 0,4032 -60,6539 0,6938 90,0000 0,4032 187 0,9350 0,1969 45,0000 0,2784 90,0000 0,4042 -30,8831 0,3937 90,0000 0,4042 -60,8677 0,6941 90,0000 0,4042 188 0,9400 0,1961 45,0000 0,2773 90,0000 0,4052 -31,1029 0,3922 90,0000 0,4052 -61,0790 0,6944 90,0000 0,4052 189 0,9450 0,1953 45,0000 0,2763 90,0000 0,4062 -31,3221 0,3907 90,0000 0,4062 -61,2878 0,6947 90,0000 0,4062 190 0,9500 0,1946 45,0000 0,2752 90,0000 0,4072 -31,5407 0,3892 90,0000 0,4072 -61,4943 0,6951 90,0000 0,4072 191 0,9550 0,1939 45,0000 0,2742 90,0000 0,4082 -31,7586 0,3877 90,0000 0,4082 -61,6984 0,6954 90,0000 0,4082 192 0,9600 0,1931 45,0000 0,2732 90,0000 0,4091 -31,9758 0,3863 90,0000 0,4091 -61,9001 0,6957 90,0000 0,4091 193 0,9650 0,1924 45,0000 0,2721 90,0000 0,4101 -32,1924 0,3849 90,0000 0,4101 -62,0996 0,6960 90,0000 0,4101 194 0,9700 0,1917 45,0000 0,2711 90,0000 0,4110 -32,4083 0,3835 90,0000 0,4110 -62,2969 0,6964 90,0000 0,4110 195 0,9750 0,1910 45,0000 0,2702 90,0000 0,4120 -32,6235 0,3821 90,0000 0,4120 -62,4919 0,6967 90,0000 0,4120 196 0,9800 0,1903 45,0000 0,2692 90,0000 0,4129 -32,8381 0,3807 90,0000 0,4129 -62,6847 0,6970 90,0000 0,4129 197 0,9850 0,1897 45,0000 0,2682 90,0000 0,4138 -33,0521 0,3793 90,0000 0,4138 -62,8754 0,6974 90,0000 0,4138 198 0,9900 0,1890 45,0000 0,2673 90,0000 0,4147 -33,2654 0,3780 90,0000 0,4147 -63,0640 0,6977 90,0000 0,4147 199 0,9950 0,1883 45,0000 0,2663 90,0000 0,4156 -33,4781 0,3767 90,0000 0,4156 -63,2505 0,6980 90,0000 0,4156 200 1,0000 0,1877 45,0000 0,2654 90,0000 0,4164 -33,6901 0,3754 90,0000 0,4164 -63,4349 0,6984 90,0000 0,4164 \sourceoff \showoff Die aktualisierte EXCEL-Mappe findet sich in meinem Notizbuch.


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Wario
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  Beitrag No.97, eingetragen 2023-06-13

\(\begingroup\)\( \) \quoteon(2023-06-13 04:33 - cramilu in Beitrag No. 94) Wozu denn Ungleichungen? \quoteoff Das muss man mal noch weiter besprechen. Aber erstmal etwas anderes: Die Frage ist vermutlich fast überflüssig. Das lässt sich wohl nicht vermeiden? In den markierten Fällen kann man $l$ und $s$ nicht in der Form $l=\color{blue}2r+X(n)x$ und $s=\color{blue}2r+Y(n)y$ ausdrücken? \quoteon(2023-06-05 16:52 - cramilu in Beitrag No. 77) \(n=2\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+x\) \(n=3\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+2x\) \(n=4\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+3x\) \(n=5\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+4x\) \(n=6\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+5x\) \(n=7\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+6x\) \(n=8\), Phase \(2\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+7x\) \(n=4\), Phase \(3\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=\color{red}4r+x\) \(n=6\), Phase \(3\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=\color{red}6r+x\) \(n=8\), Phase \(3\): \(s=2r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=\color{red}8r+x\) \(n=6\), Phase \(4\): \(s=\color{red}4r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+2x\) \(n=8\), Phase \(4\): \(s=\color{red}4r+y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+3x\) \(n=6\), Phase \(5\): \(s=2r+3y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+2x\) \(n=8\), Phase \(5\): \(s=2r+3y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+3x\) \(n=8\), Phase \(6\): \(s=2r+2y\) ; \(\frac{s}{q}=ps=2r+4x\) \quoteoff Ja nun, falls die Antwort 'nein' ist, dann ist immerzu $l=R(n, P)r +X(n,P)x$ und $s=R(n,P)r +X(n,P)y$ (irgendwie so) und #83 gilt nur im Falle $R(n,P)=2$. Das kann man dann aber schon noch anpassen. \showon Andere Sortierung \quoteon(2023-06-05 17:13 - Wario in Beitrag No. 78) \quoteon(2023-06-05 16:52 - cramilu in Beitrag No. 77) $n=2$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+x$ $n=3$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+2x$ $n=4$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+3x$ $n=4$, Phase $3$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=\color{red}4r+x$ $n=5$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+4x$ $n=6$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+5x$ $n=6$, Phase $3$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=\color{red}6r+x$ $n=6$, Phase $4$: $s=\color{red}4r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+2x$ $n=6$, Phase $5$: $s=2r+3y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+2x$ $n=7$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+6x$ $n=8$, Phase $2$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+7x$ $n=8$, Phase $3$: $s=2r+y$; $\frac{s}{q}=ps=\color{red}8r+x$ $n=8$, Phase $4$: $s=\color{red}4r+y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+3x$ $n=8$, Phase $5$: $s=2r+3y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+3x$ $n=8$, Phase $6$: $s=2r+2y$; $\frac{s}{q}=ps=2r+4x$ \quoteoff \quoteoff \showoff \(\endgroup\)


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  Beitrag No.98, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-13

@haribo: Mich fasziniert ja schon wieder, was Du für größere \(n\) so eruierst, aber ich bin da langsamer und immer noch im Bereich \(n=7,8,9,10\) unterwegs. Für \(n=10\) etwa könnte es vor dem dreistöckigen Phasenende, wo die Kreise vertikal 4-3-4 in einer dichtesten \(60°\)-Packung liegen, auch einen 'Sprung' geben? Dem vorangehen sollte ein horizontales 5×2 in \(60°\)-Packung? Und wovon ist für \(n=7,9\) ab dem Ende von Phase 2 mit der zwei- stöckigen \(60°\)-Packung 3-4 bzw. 4-5 auszugehen? Schiebt sich da wohl allgemein zunächst aus der Kreis- reihe unten der zweite von links nach oben und drückt die darüber liegenden zur Seite weg? Wie für \(n=5\) ? @Wario: Für gerade \(n\geq4\) 'gleitet' jeweils in Phase 3 die obere Kreisreihe als ganze tangential gegen den Uhrzeigersinn an den oberen Rändern der unteren Kreise entlang bis zum Phasenende mit dichtester, zweistöckiger \(90°\)-Packung. Da muss dann die Breite \(n\) Kreisradien (\(\frac{n}{2}\) Kreisdurchmesser) zuzüglich eines einfachen Versatzes \(\Delta x\) betragen. Und während der anschließenden Phase 4 'wandern' stets vertikale Pärchen zusammen aufwärts. Die Höhe beträgt demnach immer \(2\) Kreisdurchmesser oder \(4r\) zuzüglich eines einfachen vertikalen Versatzes \(\Delta y\). Freilich wird man da später noch verallgemeinernd anpassen können. Aber lass uns bitte zuvor noch mehr Daten sammeln. Es mag auch sein, dass es später eher kommod erscheinen mag, \(r\) als Funktion der längeren Seite mit Parameter \(p=\frac{1}{q}\) anzugeben. Oder für den häufigsten Fall dieser Summen mit 'Wurzeleinlage' abstrakt abkürzend eine Unterfunktion \(\ddot{\alpha}=\frac{s}{2}\cdot\frac{1}{a}\cdot\left(b+\frac{c}{q}+d\cdot\sqrt{\,\frac{e}{q^2}+\frac{f}{q}+g^\phantom{b}\,}\right)\) , die man im Rahmen der abschnittsweisen Definition von \(f(q)\) bloß noch referenziert und ihr einen entsprechenden Tupel mit ganzen Zahlen übergibt. Also \(\ddot{\alpha}_q(a;b;c;d;e;f;g)\) ; \(\ddot{\alpha}\) für \(\ddot{\alpha}\gamma\chi\omega\) = quetschen (altgriechisch), einem der etymologischen Stammkandidaten von Akkordeon [Man korrigiere mich, wenn ich Mist erzähle!]. Oder bei OBI... 😉


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  Beitrag No.99, eingetragen 2023-06-13

Muss man sich halt mal anschauen die zwiscnschritte der ungeraden, die quadrat lösungen sind ja bekannt bis zwanzig https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/35059_4A49E4BB-F47C-4153-8C26-3EC93D459143.jpeg


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Schon klar! Der Rest zu \(n=3,5,8\) wird vom Tisch fallen, sobald das mit der Dreiecksdrehung geklärt ist. Aber wenn ich mir die Idealkonfigurationen für \(n=7,10\) anschaue, befällt mich (noch) kätzisches Fellballwürgen. Und auch für \(n=9\) bockt meine Kreativität (noch), was die Zwischenphasen angeht.


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  Beitrag No.101, eingetragen 2023-06-13

7 dürfte doch recht gut gehen wenn im ersten schritt 4 hochrutschen und die dazwischenliegenden 3 unten bleiben und dann von den 4 der zweite nochmal hochgeschoben wird


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  Beitrag No.102, eingetragen 2023-06-14

\quoteon(2023-06-12 23:29 - cramilu in Beitrag No. 92) Mich führt sie allgemein für folgende Figur betrachtet... \quoteoff \ x und y ergeben sich mittels Pythagoras und binomischer Formel: x=\sqrt(4r^2-(1-2r)^2)=\sqrt(4r-1) y=\sqrt(4r^2-(p-2r)^2)=\sqrt(4rp-p^2) Dies eingesetzt in den Pythagoras des dritten Dreiecks (p-2r-\sqrt(4r-1))^2+(1-2r-\sqrt(4rp-p^2))^2 = 4r^2 Zur Orientierung: Wir wollen das nach p auflösen. Es fällt auf, dass der Term p^2 sich weghebt, wenn wir links ausmultiplizieren. Wir bekommen, nachdem sich einiges weghebt: p^2-4pr+4r^2 - 2(p-2r) \sqrt(4r-1) + 4r-1 + 1 - 4r + 4r^2 - 2(1-2r) \sqrt(4rp-p^2) + 4rp - p^2 = 4r^2 https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/36025_lalala.png Hier schon mit erster Korrektur \ 4 r^2 - 2 (p-2r)*\sqrt(4r-1) = 2 (1-2r)*\sqrt(4rp-p^2) Und noch ein Faktor 2 kann weg... 2 r^2 - (p-2r)*\sqrt(4r-1) = (1-2r)*\sqrt(4rp-p^2) Wir sehen jedenfalls, dass wir auf der Zielgeraden sind. Auf der linken Seite steht, da unter der Wurzel nur r vorkommt, ein linearer Term in p, und rechts eine Wurzel aus einem quadratischen Term in p. Wir können also quadrieren, und erhalten dann eine quadratische Gleichung in p, die allerdings nun wirklich unhandlich ist. Vorher aber fällt auf, dass wir rechts unter der Wurzel so umformen können, dass wir X=p-2r als neue Variable substituieren können: \ 2 r^2 - (p-2r)*\sqrt(4r-1) = (1-2r)*\sqrt( 4r^2 - (2r-p)^2 ) 2r^2 - X*\sqrt(4r-1) = (1-2r) sqrt(4r2-X^2) Ich werd das nochmal nachrechnen, bevor ich weitermache. Also sozusagen nur als Zwischenstand, falls schon jemand anders bis hierher vorgedrungen ist...


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Wario
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  Beitrag No.103, eingetragen 2023-06-14

\(\begingroup\)\( \) \quoteon(2023-06-13 04:33 - cramilu in Beitrag No. 94) Wozu denn Ungleichungen? Am Ende von Phase 1 liegen vier Kreise auf Kontakt horizontal nebeneinander. Seitenverhältnis \(q=\frac{1}{4}\) . Am Ende von Phase 2 liegen zwei Kreise 'unten' auf Kontakt nebeneinander und darüber um Zwickellücke nach rechts versetzt das horizontale Pärchen aus den beiden oberen. Ihre Mittelpunkte bilden ein regelmäßiges Gitter aus gleichseitigen Dreiecken. Also horizontaler Versatz \(\Delta x\) der oberen \(2r\cdot\text{cos}(60°)=\frac{1}{2}\cdot2r=r\) , und vertikaler Versatz \(\Delta y\) \(2r\cdot\text{sin}(60°)=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot2r=r\sqrt{3}\) . Demnach Seitenverhältnis \(q=\frac{2r+r\sqrt{3}}{4r+r}=\frac{2+\sqrt{3}}{5}\) . \quoteoff Das kann ich Dir sagen: Weil sich dann die q-Phasenintervallgrenzen möglicherweise allgemeiner berechnen lassen. Zahlen des Typs $\dfrac{\alpha +\beta\sqrt{\gamma}}{\delta}$ sind bekanntlich Lösungen quadratischer Gleichungen. Z.B. für $n=4, P=2$ ist $ {\frac{1}{4}\,<\,q\,\leq\,\frac{2+\sqrt{3}}{5}\approx0{,}74641}$ Das wäre die Lösung des quadratischen Ungleichungssystems $\left( q-\frac{2+\sqrt{3}}{5} \right) \left( q-\frac{2-\sqrt{3}}{5} \right) \leq 0 ~~\land~~ q>\frac14 $ bzw. $q^2 - \frac45 q + \frac{1}{25} \leq 0 ~~\land~~ q>\frac14$ Aber irgendwie vermag ich diese quadratischen Ungleichungssysteme nicht richtig aufzustellen; irgendwas scheint mir zu fehlen. $0 Die Rechnung wird in allen Fällen aufwendiger, aber wenn es einmal klappen sollte, kann man damit vielleicht $q_\max$ im Fall $n=8, P=7$ oder sowas mit allgemeiner Rechnung angeben. Die trigonometrische Betrachtung dürfte einem eher früher als später um die Ohren fliegen. \(\endgroup\)


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cramilu
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  Beitrag No.104, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-16

@gonz: Du darfst gerne nach \(p\) auflösen \(-\) ich nach \(r\)! 😉 Ausblick Falls wir das mit der Auflösung nach \(r\) irgendwie in den Griff bekommen, und falls die Annahme richtig ist, dass es auch für ungerade \(n\geq3\) eine allgemein formulierbare Phase \(3\) gibt, dann müsste das ungefähr so aussehen: Einer der Kreise aus der unteren Reihe 'wandert' nach oben und schiebt dabei die dortige Reihe nach links wie nach rechts gleichmäßig auseinander, bis er genau auf \(60°\)-Zwickellücke zu liegen kommt. Die in #92 mit \(h\) bezeichnete vertikale Höhe der Orthogonalenrahmen um die beiden sich drehenden gleich- seitigen Dreiecke ist unbenommen \(h=1-2r\) . Die horizontale Weite ergibt sich jedoch nun als \(w=\frac{p-(n-3)r}{2}\) , was dann beim Einsetzen gesondert zu berücksichtigen ist.


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gonz
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  Beitrag No.105, eingetragen 2023-06-16

@cramilu Gerne auch nach r. Stimmen wir bis hierher überein? (Änderung - der Term unter der rechten Wurzel sieht so handlicher aus) \ 2 r^2 - (p-2r)*\sqrt(4r-1) = (1-2r)*\sqrt(4rp-p^2) Wobei - es einfacher sein dürfte nach p aufzulösen. Also nach r. Das würde bedeuten, beide Wurzeln auf eine Seite (es steht ja unter beiden ein r), dann quadrieren, ergibt nur noch einen Summanden, der das Produkt der Wurzeln beinhaltet, diesen wieder auf einer Seite isolieren, dann noch einmal quadrieren. Das ergibt dann, so sich nicht etwas weghebt, einen Polynom 8.Grades in r.


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cramilu
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  Beitrag No.106, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-16

@gonz: Bei Auflösung nach \(r\) steht halt im Erfolgsfall gleich der gesuchte Funktionsterm da. Ein Rückeinsetzen in die 'äußeren' Abhängigkeiten des Gesamtrahmenrechteckes braucht es nicht mehr, weil die Zusammenhänge schon über \(w\) und \(h\) ans innere Rahmenrechteck übergeben sind. Ich hatte zwischenzeitlich die Klammerfaktoren vor den Wurzeln quadriert und mit in die Wurzel gepackt, sowie beidseitig einmal \(r^2\) abgezogen: \(r^2-\sqrt{links}=-r^2+\sqrt{rechts}\) Und wegen meines argen vorherigen Zettelgekritzels waren mir dann Muse und Muße abhanden gekommen. 🙄


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