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  Partielle Ableitungen (Nabla-Operator) |
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eminemsdictionary
Aktiv 
Dabei seit: 08.04.2023
Mitteilungen: 57
 |  Themenstart: 2023-05-24
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Wie gehe ich an diese Aufgabe ran? Gegeben ist der Vektor x mit (x1,x2,x3).
Es soll die partielle Ableitung für ∇(|x‘-x|) bestimmt werden. x‘= (x’1,x’2,x’3) ist ein konstanter, von x unabhängiger Vektor. Danke im Voraus
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ochen
Senior 
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3806
Wohnort: der Nähe von Schwerin
|  Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-24
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Hi,
Berechne
\[
\frac{\partial}{\partial x_1}\sqrt{(x_1-x_1')^2+(x_2-x_2')^2+(x_3-x_3')^2}
\]
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cisfinite
Aktiv 
Dabei seit: 31.01.2023
Mitteilungen: 68
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-05-24
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Der Skalar $| \vec x' -\vec x |$ ist der Betrag des Differenzvektors $\vec x' -\vec x$. Schreibe diesen komponentenweise hin und verwende den 3d-Pythagoras. Du kommst zu einem Ausdruck $| \vec x' -\vec x |=\sqrt{\dots}$. Auf diesen wende den Gradienten an, also bilde $\left( \frac{\partial}{\partial x_1}\sqrt{\dots},...,...\right)$.
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eminemsdictionary
Aktiv 
Dabei seit: 08.04.2023
Mitteilungen: 57
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-24
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Danke für die Antworten. Müsste ich dann auch die Ableitungen nach x2 und x3 bilden?
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2883
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-05-25
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\quoteon(2023-05-24 21:19 - eminemsdictionary in Beitrag No. 3)
Danke für die Antworten. Müsste ich dann auch die Ableitungen nach x2 und x3 bilden?
\quoteoff
Wieso fragst du? Um den Gradienten zu berechnen musst du das natürlich. Falls du dir wirklich nicht sicher bist, dann solltest du vor Bearbeitung dieser Übungsaufgabe erst noch einmal dein Skript oder Buch durchlesen und wiederholen, was der Nabla-Operator ist.
Übrigens kann man sich Arbeit ersparen indem man bemerkt, dass es genügt (wie von ochen in Beitrag No. 1 erwähnt) $\frac{\partial}{\partial x_1}\sqrt{(x_1-x_1')^2+(x_2-x_2')^2+(x_3-x_3')^2}$ zu berechnen. Da der Wurzelausdruck symmetrisch unter der Vertauschung von $x_1,x_2,x_3$ ist, ergibt sich die Ableitung nach $x_2$ und $x_3$ einfach durch eine geeignete Umbenennung der Indizes.
Grüße,
PhysikRabe
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eminemsdictionary
Aktiv
Dabei seit: 08.04.2023
Mitteilungen: 57
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-27
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Hallo, wäre die folgende Ableitung für x1 richtig?
(x_1-x_1´)/sqrt((x_1-x_1´)^2+(x_2-x_2´)^2+(x_3-x_3´)^2
danke im voraus
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Mandelbluete
Senior
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 584
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-05-27
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\theta}{\vartheta}
\newcommand{\fuer}{\quad\text{fuer}\quad}
\newcommand{\Sp}{\operatorname{Sp}} \)
Ja, das ist richtig. Du kannst das auch in der Form $\displaystyle\frac{x_1 - x_1'}{|x - x'|}$ schreiben, also
\[
\nabla(|x - x'|) = \frac{x - x'}{|x - x'|}.
\]
Liebe Grüße
Mandelblüte\(\endgroup\)
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