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 Skript zu Teilmengen einbetten statt identifizieren |
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carlox
Aktiv 
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1576
 |  Themenstart: 2023-05-25
|
Hallo allerseits,
Da ich mathematische Skrupel mit „identifizieren“ habe, habe ich versucht, dies alternativ anders zu lösen.
Ich habe dazu einen Text in Latex verfasst.
Da ich die Struktur (mit Überschriften, usw. ) schlecht hier darstellen kann, habe ich einen Latex-Text dazu verfasst. Wer an dem Latex-Source interessiert ist, kann ihn anfordern.
Oder mache ich, verfahrenstechnisch etwas falsch und werde gerügt?
Hier meine Überlegungen:
http://umaterialien.de/MATHE/zahlenbereiche_einbetten.pdf
Mit freundlichen Grüßen
cx
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 Profil
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2867
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
\quoteon(2023-05-29 09:56 - carlox)
\quoteon(2023-05-26 01:58 - tactac)
Soweit ich sehe, sind die Gedanken in Ordnung, bis auf ein grundlegendes Problem. Nämlich: Die Elemente von deinem $\IQ$, $\IC$ usw. müssen ja irgendwie (als Mengen o.ä.) kodiert werden. Und zwar so, dass eine Dekodierung auch stattfinden kann, um etwa die passenden Operationen anwenden zu können. Im Beispiel $\IC$: Ist das Element nun ein Paar von reellen Zahlen, oder eine reelle Zahl? Da $\IN$ ja buchstäblich Teilmenge von $\IC$ sein soll, stellt sich also manchmal vielleicht die Frage, ob so ein Mengencode eine natürliche Zahl darstellen soll, oder ein Paar natürlicher Zahlen. In einer (eigentlich schlechten, aber mit so einem Geschütz wie dem Fundierungsaxiom benutzbaren, und wohl tatsächlich auch manchmal benutzten) Kodierung von Paaren ist z.B. $(x,y) := \{x,\{x,y\}\}$. Zusammen mit der von-Neumann-Kodierung natürlicher Zahlen haben dann $2$ und $(0,0)$ denselben Code.
Man kann das ganze umschiffen, indem man eben keine Vereinigungen $\cup$ nimmt, sondern mit disjunkten Vereinigungen (etwa mit $+$ notiert, und wie auch immer geeignet kodiert) arbeitet. Aber dann sind wir wieder zurück auf Feld 1, denn ein Element von $A$ ist nicht buchstäblich ein Element von $A+B$.
Gruß,
tt
\quoteoff
=========
Hallo tactac,
erst Mal vielen Dank dafür, dass du dir die Zeit genommen hast, mir zu antworten.
------
Vorab eine Bitte:
Könntest du - falls du die Zeit hast zu antworten - deine Antwort in dem Thread geben:
Betreff „Skript zu Teilmengen einbetten statt Identifiuzieren“
Vielleicht steigt dann in die Diskussion noch jemand ein.
------
1)
Betrifft das von dir geschilderte Problem grundsätzlich Mengen,
in denen Elemente verschiedener Hierarchie vorkommen ?
Ist das dann nicht ein grundsätzliches Problem von ZFC ?
\quoteoff
Naja, das Problem tritt auf, wenn man Dinge verschiedener "Typen" mischt.
Es kann mir egal sein, konkret wie natürliche Zahlen und reelle Zahlen kodiert sind, solange ich nicht über $\IR \setminus \IN$ o.ä. sprechen will.
\quoteon
2)
\quoteon
wir wieder zurück auf Feld 1, denn ein Element von $A$ ist nicht buchstäblich ein Element von $A+B$.
\quoteoff
Das verstehe ich nicht.
\quoteoff
Nun, $A + B$ könnte man als $\{(0,a) \mid a \in A\} \cup \{(1,b) \mid b \in B\}$ kodieren. Die "Einbettung" von $A$ nach $A+B$ ist nun aber nicht $a \mapsto a$, wie es bei $A \cup B$ anstelle von $A+B$ wäre, sondern $a \mapsto(0,a)$.\(\endgroup\)
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carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1576
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-31
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Hallo tactac,
danke für dein Posting.
\quoteon
Nun, $A + B$ könnte man als $\{(0,a) \mid a \in A\} \cup \{(1,b) \mid b \in B\}$ kodieren. Die "Einbettung" von $A$ nach $A+B$ ist nun aber nicht $a \mapsto a$, wie es bei $A \cup B$ anstelle von $A+B$ wäre, sondern $a \mapsto(0,a)$.
\quoteoff
Könnte man $A + B$ als $A \cup \{(1,b) \mid b \in B\}$ kodieren ?
Dann wäre das Problem beseitigt.
\quoteon
Es kann mir egal sein, konkret wie natürliche Zahlen und reelle Zahlen kodiert sind, solange ich nicht über $\IR \setminus \IN$ o.ä. sprechen will.
\quoteoff
Es betrifft doch nur den Fall:
\quoteon
... haben dann $2$ und $(0,0)$ denselben Code.
\quoteoff
Könnte man dann eben die 2 anders kodieren?
mfg
cx
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2867
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-31
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
\quoteon(2023-05-31 10:14 - carlox in Beitrag No. 2)
Hallo tactac,
danke für dein Posting.
\quoteon
Nun, $A + B$ könnte man als $\{(0,a) \mid a \in A\} \cup \{(1,b) \mid b \in B\}$ kodieren. Die "Einbettung" von $A$ nach $A+B$ ist nun aber nicht $a \mapsto a$, wie es bei $A \cup B$ anstelle von $A+B$ wäre, sondern $a \mapsto(0,a)$.
\quoteoff
Könnte man $A + B$ als $A \cup \{(1,b) \mid b \in B\}$ kodieren ?
Dann wäre das Problem beseitigt.
\quoteoff
Im Allgemeinen nicht. $A$ könnte ja $\{1\}\times B$ sein. Wir wollen aber $A+A \cong 2\times A$ haben.
\quoteon
\quoteon
Es kann mir egal sein, konkret wie natürliche Zahlen und reelle Zahlen kodiert sind, solange ich nicht über $\IR \setminus \IN$ o.ä. sprechen will.
\quoteoff
Es betrifft doch nur den Fall:
\quoteon
... haben dann $2$ und $(0,0)$ denselben Code.
\quoteoff
Könnte man dann eben die 2 anders kodieren?
mfg
cx
\quoteoff
Ich denke, es ist allgemein sehr schlecht, darauf angewiesen zu sein, dass ganz bestimmte Kodierungen verwendet werden. \(\endgroup\)
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carlox
Aktiv
Dabei seit: 22.02.2007
Mitteilungen: 1576
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-01
|
\quoteon(2023-05-31 23:36 - tactac in Beitrag No. 3)
\quoteon(2023-05-31 10:14 - carlox in Beitrag No. 2)
\quoteon
Nun, $A + B$ könnte man als $\{(0,a) \mid a \in A\} \cup \{(1,b) \mid b \in B\}$ kodieren. Die "Einbettung" von $A$ nach $A+B$ ist nun aber nicht $a \mapsto a$, wie es bei $A \cup B$ anstelle von $A+B$ wäre, sondern $a \mapsto(0,a)$.
\quoteoff
Könnte man $A + B$ als $A \cup \{(1,b) \mid b \in B\}$ kodieren ?
Dann wäre das Problem beseitigt.
\quoteoff
Im Allgemeinen nicht. $A$ könnte ja $\{1\}\times B$ sein. Wir wollen aber $A+A \cong 2\times A$ haben.
\quoteoff
Ok, aber für meinen Fall:
$\mathbb{C} := \mathbb{R} \cup (C \setminus T) = \mathbb{R} \cup (\mathbb{R} \times \mathbb{R} \setminus \mathbb{R} \times \{0\})$
müsste es doch funktionieren, oder?
\quoteon
Wir wollen aber $A+A \cong 2\times A$ haben.
\quoteoff
Das habe ich leider nicht verstanden.
(Habe auch nichts darüber im Internet gefunden).
Das + steht für disjunkte Vereinigung.
Was ist dann A+A, wenn A disjunkt zu A sein soll?
Kannst du mir das erklären und eine Quelle (Link) dazu geben ?
Was bedeutet $\cong$ ?
mfg
cx
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2867
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-06-01
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
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\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
\quoteon(2023-06-01 08:24 - carlox in Beitrag No. 4)
\quoteon(2023-05-31 23:36 - tactac in Beitrag No. 3)
\quoteon(2023-05-31 10:14 - carlox in Beitrag No. 2)
\quoteon
Nun, $A + B$ könnte man als $\{(0,a) \mid a \in A\} \cup \{(1,b) \mid b \in B\}$ kodieren. Die "Einbettung" von $A$ nach $A+B$ ist nun aber nicht $a \mapsto a$, wie es bei $A \cup B$ anstelle von $A+B$ wäre, sondern $a \mapsto(0,a)$.
\quoteoff
Könnte man $A + B$ als $A \cup \{(1,b) \mid b \in B\}$ kodieren ?
Dann wäre das Problem beseitigt.
\quoteoff
Im Allgemeinen nicht. $A$ könnte ja $\{1\}\times B$ sein. Wir wollen aber $A+A \cong 2\times A$ haben.
\quoteoff
Ok, aber für meinen Fall:
$\mathbb{C} := \mathbb{R} \cup (C \setminus T) = \mathbb{R} \cup (\mathbb{R} \times \mathbb{R} \setminus \mathbb{R} \times \{0\})$
müsste es doch funktionieren, oder?
\quoteoff
Wer weiß.
\quoteon
\quoteon
Wir wollen aber $A+A \cong 2\times A$ haben.
\quoteoff
Das habe ich leider nicht verstanden.
(Habe auch nichts darüber im Internet gefunden).
Das + steht für disjunkte Vereinigung.
Was ist dann A+A, wenn A disjunkt zu A sein soll?
Kannst du mir das erklären und eine Quelle (Link) dazu geben ?
Was bedeutet $\cong$ ?
\quoteoff
Wir setzen nicht voraus, dass A,B disjunkt sind, wenn wir die disjunkte Vereinigung (a.k.a Koprodukt) bilden. Siehe https://ncatlab.org/nlab/show/disjoint+union .
$\cong$ steht in diesem Fall für Existenz einer Bijektion. $A+A$ hat sozusagen "doppelt so viele" Elemente wie $A$
\(\endgroup\)
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