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| Autor |
 Umschreibung mehrdimensionaler Menge |
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X3nion
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
 |  Themenstart: 2023-05-27
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Hallo zusammen,
nach einem Sabbatjahr beschäftige ich mich nun wieder mit der schönen Welt der Mathematik.
Die Maß- und Integrationstheorie steht auf dem Plan, nachdem ich die ersten beiden Semester erfolgreich absolviert habe.
Eine Kleinigkeit in einem Beweis verstehe ich dabei nicht:
Seien $a,b \in \IR^d$ und $\epsilon > 0$ und $\underline{e} = (1,1,...1) \in \IR^d$. Dann lässt sich das Intervall $(a,b+\epsilon \underline{e})$ schreiben als:
$(a,b+\epsilon \underline{e}] = (a,b] \cup (b,b+ \epsilon \underline{e}] \\\cup \bigcup \limits_{i=1}^d \left((a_1,...,a_{i-1},b_i,a_{i+1},...,a_d),(b_1,...,b_{i-1},b_i+\epsilon,b_{i+1},...,b_d)\right]$..
Was ich hier nicht verstehe: wieso ergibt sich durch die drei Vereinigungen die gesamte Menge? Ist zum Beispiel $\epsilon=1$, $a= (0,0,0), b= (1,1,1)$ und $d=3$, so ist $(a,b+\epsilon \underline{e}] = (0,2] \times (0,2] \times (0,2]$, aber durch die rechte Seite der behaupteten Vereinigung fehlt doch dann zum Beispiel $(1,2] \times (1,2] \times (0,1]$, denn die rechte Seite lautet:
$\left((0,1] \times (0,1] \times (0,1]\right) \cup \left((1,2] \times (1,2] \times (1,2]\right) \\ \cup \left((1,2] \times (0,1] \times (0,1]\right) \cup \left((0,1] \times (1,2] \times (0,1]\right) \cup \left((0,1] \times (0,1] \times (1,2]\right)$,
also zum "vollständigen" Würfel mit Kantenlängen 2 fehlen ja ein paar Teilwürfel?
Wie immer bin ich euch für jede Unterstützung sehr dankbar!
Viele mathematische Grüße,
X3nion
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darkhelmet
Senior 
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2685
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-27
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Hi,
deine Argumentation ist völlig richtig, das stimmt so nicht.
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X3nion
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.04.2014
Mitteilungen: 1053
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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Hallo darkhelmet und vielen Dank für deine Rückmeldung! Wie könnte man denn die obige Menge allgemein korrekt aufschreiben? Also von der Idee her wäre es ja so, dass das $\epsilon$ einmal vorkommt, dann genau zweimal die aber nicht genau n-mal, denn der Fall ist ja von $(b+\epsilon \underline{e}]$ bereits abgedeckt?
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darkhelmet
Senior
Dabei seit: 05.03.2007
Mitteilungen: 2685
Wohnort: Bayern
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-28
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Ich würde für jede Teilmenge $S$ von $\{1,\ldots,d\}$ und jedes $1\leq i\leq d$ definieren
\[
c_i=\begin{cases}
b_i,&\text{wenn }i\in S\\
a_i,&\text{wenn }i\notin S
\end{cases}
\]
\[
d_i=\begin{cases}
b_i+\epsilon,&\text{wenn }i\in S\\
b_i,&\text{wenn }i\notin S.
\end{cases}
\]
Und dann
\[
(a,b+\epsilon \underline{e}]=\bigcup_{S\subset\{1,\ldots,d\}}\big((c_{S,1},\ldots,c_{S,d}),(d_{S,1},\ldots,d_{S,d})\big].
\]
Dann kannst du bei Bedarf noch danach gruppieren, wie oft das $\epsilon$ vorkommt:
\[
\bigcup_{k=0}^d\bigcup_{S\subset\{1,\ldots,d\},|S|=k}\big((c_{S,1},\ldots,c_{S,d}),(d_{S,1},\ldots,d_{S,d})\big]
\]
Inwiefern das für den Beweis weiterhilft, weiß ich natürlich nicht.
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