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Mathematik » Stochastik und Statistik » Schließe mit der momenterzeugenden Funktion auf asymptotisches Verhalten
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Universität/Hochschule Schließe mit der momenterzeugenden Funktion auf asymptotisches Verhalten
julian2000P
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Mitteilungen: 225
  Themenstart: 2023-05-28

Hallo zusammen, mich beschäftigt momentan folgende Frage: Für $\lambda_{+} > 1$, $\lambda_{-} > 0$, $b \in \mathbb{R}$, $\lambda > 0$ und $\sigma > 0$ habe ich für $p \in (0,1)$ und fixes $t$ die Momenterzeugende Funktion einer ZV $X_t$ $$ \mathbb{E}[\exp(s X_t)] = \exp\left(t\left(\frac{\sigma^2s^2}2 + bs + \lambda \left(\frac{\lambda_+p}{\lambda_+ -s} + \frac{\lambda_-(1-p)}{\lambda_- +s} -1 \right)\right)\right). $$ (Das ist das Kou Modell, wobei $X_t = bt + \sigma W_t + \sum_{i=1}^{N_t}Y_j$ mit einer Brownschen Bewegung $W$ und einem Poissonprozess $N$ und i.i.d. $Y_j$ mit Dichte $p\lambda_+e^{-\lambda_+y}1_{[0,\infty)}(y)+ (1-p)\lambda_-e^{\lambda_-y}1_{(-\infty,0)}(y)$) Nun ist die Frage wie sich $\mathbb{P}[X_t \geq x]$ für großes $x$ verhält. Die MEF existiert für $s \in (-\lambda_-,\lambda_+)$. Damit kann ich für kleines $\epsilon > 0$, $s \in (\lambda_+ - \epsilon, \lambda_+)$ und da aus $X_t \geq x$ auch $e^{sX_t} \geq e^{(\lambda_+ - \epsilon)x}$ folgt mit der Markov Ungleichung $$ \mathbb{P}[X_t \geq x] \leq \mathbb{E}[e^{sX_t}]e^{-(\lambda_+ - \epsilon)x} $$ folgern. Da die MEF für dieses $s$ existiert, kann ich den Erwartungswert als eine Konstante $C$ definieren und erhalte $\mathbb{P}[X_t \geq x] = \mathcal{O}(e^{-(\lambda_+ - \epsilon)x})$ für beliebiges $\epsilon > 0$. Nun ist die Frage ob hier auch $\mathcal{O}(e^{-\lambda_+x})$ möglich ist, oder ob man das nicht sagen kann. Ich würde mich freuen, wenn jemand einen Ansatz dazu hat oder mir sagen kann, dass es nicht möglich, das ist zu zeigen. Grüße

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