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  Hölder-Stetigkeit impliziert Stetigkeit |
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viervoracht
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 |  Themenstart: 2023-05-28
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Sei \( f: A \subset \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}^{m} \) so dass
\(\|f(x)-f(y)\| \leq K\|x-y\|^{\alpha}, \quad \forall x, y \in A\)
für Konstanten \( \alpha, K>0 \). Man beweise, dass \( f \) stetig ist.
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-28
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Was hast du dir dazu bereits überlegt?
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viervoracht
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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\quoteon(2023-05-28 21:53 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Was hast du dir dazu bereits überlegt?
\quoteoff
Also ich glaub, dass man über "Cauchy-Folge" argumentieren soll.
Aber ich weiß leider nicht, wie man konkret vorgeht.
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Ich würde zeigen, dass $f$ gleichmäßig stetig ist. Bemerke dazu, dass $x\mapsto x^\alpha$ auf $[0,\infty)$ streng monoton wachsend ist.
LG Nico\(\endgroup\)
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viervoracht
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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Und was mir außerdem noch auffällt, dass \( f \) sehr ähnlich wie die Definition von Lipschitzstetigkeit aussieht
\( \left|f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{2}\right)\right| \leq L \cdot\left|x_{1}-x_{2}\right| \)
falls das hilft
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-05-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Ja, für $\alpha=1$ ist das die Lipschitz-Stetigkeit. Für allgemeines $\alpha>0$ spricht man von Hölder-Stetigkeit.
Nun fang doch einfach mal mit der Definition an. Zu $\varepsilon>0$ müssen wir $\delta>0$ angeben, so dass $\lVert f(x)-f(y)\rVert<\varepsilon$ für $\lVert x-y\rVert<\delta$ gilt.
Nun versuch mal $\delta=\varepsilon^{1/\alpha}$ (oder gleich $\delta=\varepsilon^{1/\alpha}/K^{1/\alpha}$).
LG Nico\(\endgroup\)
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viervoracht
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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\quoteon(2023-05-28 22:06 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
Ich würde zeigen, dass $f$ gleichmäßig stetig ist. Bemerke dazu, dass $x\mapsto x^\alpha$ auf $[0,\infty)$ streng monoton wachsend ist.
LG Nico
\quoteoff
also meinst du über Epsilon Delta Kriterium:
also im etwa:
Da \( x \mapsto x^{\alpha} \) auf \( [0, \infty) \) streng monoton wachsend ist,
gibt es ein \( \delta_{1}>0 \) so dass für alle \( u, v \geq 0 \) mit \( |u-v|<\delta_{1} \) gilt: \( \left|u^{\alpha}-v^{\alpha}\right|<\frac{\varepsilon}{K} \).
Und wir wählen \( \delta=\min \left\{\delta_{1}, \frac{\varepsilon}{K}\right\} \)
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]
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viervoracht
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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\quoteon(2023-05-28 22:17 - nzimme10 in Beitrag No. 5)
Ja, für $\alpha=1$ ist das die Lipschitz-Stetigkeit. Für allgemeines $\alpha>0$ spricht man von Hölder-Stetigkeit.
Nun fang doch einfach mal mit der Definition an. Zu $\varepsilon>0$ müssen wir $\delta>0$ angeben, so dass $\lVert f(x)-f(y)\rVert<\varepsilon$ für $\lVert x-y\rVert<\delta$ gilt.
Nun versuch mal $\delta=\varepsilon^{1/\alpha}$ (oder gleich $\delta=\varepsilon^{1/\alpha}/K$).
LG Nico
\quoteoff
okay ich probiere erstmal damit
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viervoracht
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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Sei \( \varepsilon>0 \) gegeben. Wir wählen \( \delta=\varepsilon^{1 / \alpha} \).
Seien \( x, y \in A \) mit \( \|x-y\|<\delta \). Dann gilt:
\( \begin{aligned} |f(x) - f(y)| &\leq K|x - y|^{\alpha} \\ &< K\delta^{\alpha} \\ &= K(\varepsilon^{1/\alpha})^{\alpha} \\ &= K\varepsilon. \end{aligned}\)
Es gilt also für alle \( x, y \in A \) mit \( \|x-y\|<\delta \) gilt \( \|f(x)-f(y)\|<\varepsilon \).
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nzimme10
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-05-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
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\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
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\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Deine letzte Folgerung stimmt nicht. Du hast doch gerade gezeigt, dass $\lVert f(x)-f(y)\rVert \(\endgroup\)
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viervoracht
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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\quoteon(2023-05-28 22:33 - nzimme10 in Beitrag No. 9)
Deine letzte Folgerung stimmt nicht. Du hast doch gerade gezeigt, dass $\lVert f(x)-f(y)\rVert
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nzimme10
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-05-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Ob am Ende $K\varepsilon$ oder $\varepsilon$ steht, ist höchstens ein kosmetischer Unterschied. Die gesamte Aussage ist relevant (Für jedes $\varepsilon>0$, gibt es...)
Den Unterschied zwischen Stetigkeit und gleichmäßiger Stetigkeit findest du in jedem Analysis I Buch. Zum Beispiel hier in Kapitel 7.5. Siehe auch den Thread https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?rd2&topic=256601
LG Nico\(\endgroup\)
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viervoracht
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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\quoteon(2023-05-28 22:33 - nzimme10 in Beitrag No. 9)
Wenn du am Ende $<\varepsilon$ stehen haben willst, dann wähle z.B. $\delta=\varepsilon^{1/\alpha}/K^{1/\alpha}$.
LG Nico
\quoteoff
Für ein beliebiges \( \varepsilon>0 \) wählen wir \( \delta=(\varepsilon / K)^{1 / \alpha} \).
Dann gilt für alle \( x, y \in A \) mit \( \|x-y\|<\delta \) :
\(|f(x)-f(y)| \leq K\|x-y\|^{\alpha}0 \) ein \( \delta>0 \) , so dass für alle \( x, y \in A \) mit \( \|x-y\|<\delta \) gilt \( |f(x)-f(y)|<\varepsilon \).
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nzimme10
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-05-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
So sieht es gut aus👍 Natürlich kannst du jetzt noch betonen, dass das die gleichmäßige Stetigkeit von $f$ (und damit auch die Stetigkeit von $f$) beweist.
LG Nico\(\endgroup\)
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