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  Verkleben stetiger Abbildungen |
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katze1
Junior 
Dabei seit: 22.05.2023
Mitteilungen: 19
 |  Themenstart: 2023-05-28
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Ich habe hier eine Übungsaufgabe, die wie folgt lautet:
Sei f: X -> Y eine stetige Abbildung topologischer Räume. Zeigen Sie:
i) Ist ((O_i))_(i\el\ I) eine offene Überdeckung von X, so ist f genau dann stetig, wenn die Einschränkungen f\|_O_i für alle i\el\ I stetig sind.
ii) Ist ((A_i))_(1<=i<=n) eine endliche abgeschlossene Überdeckung von X, so ist f genau dann stetig, wenn die Einschränkungen f\|_A_i für i = 1,...,n stetig sind.
Leider habe ich absolut keine Idee, wie ich an die Aufgabe herangehen soll. Ich hoffe, jemand kann mir einen Tipp geben. Ich bin für jede Hilfe dankbar.
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Kezer
Senior 
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-28
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Mein Tipp klingt vielleicht naiv, aber so sollte man immer bei einem Problem anfangen: Schreibe die Definition mal auf.
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katze1
Junior
Dabei seit: 22.05.2023
Mitteilungen: 19
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-28
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Ich habe die Definition schon eingehend studiert, aber ich komme trotzdem nicht darauf, welche Schlussfolgerungen ich daraus ziehen kann. Topologie ist echt nicht meine Stärke :-(
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2619
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-28
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
ich extrapoliere mal etwas aus Kezer's Beitrag. Du tust gut daran, wenn du (gerne auch hier) ganz präzise auf folgende Fragen antwortest:
1.) Was ist ein topologischer Raum?
2.) Was ist die Teilraumtopologie? Insbesondere: Wenn $(X,\mathcal T)$ ein topologischer Raum ist und wir $A\subseteq X$ haben, wie kann man dann auch $A$ zu einem topologischen Raum machen?
3.) Was bedeutet es, dass eine Abbildung zwischen zwei topologischen Räumen stetig ist?
4.) Was ist eine offene Überdeckung eines topologischen Raums?
Vergiss beim Beantworten dieser Fragen eventuell zunächst einmal die konkrete Aufgabenstellung. Erst wenn all diese Begriffe verstanden sind und du mit ihnen umgehen kannst (z.B. ein Beispiel zu jedem der Begriffe parat hast), kannst du mit der eigentlichen Fragestellung beginnen.
Siehe auch den schönen Artikel: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/article.php?sid=1805
LG Nico\(\endgroup\)
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Kezer
Senior
Dabei seit: 04.10.2013
Mitteilungen: 1862
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-05-29
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\C}{\mathscr{C}}
\newcommand{\D}{\mathscr{D}}
\newcommand{\A}{\mathbb A}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\LL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\OO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\FF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\variety}{\mathcal{V}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}
\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}}
\newcommand{\sep}{\mathrm{sep}}
\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Ab}{\mathbf{Ab}}
\newcommand{\Set}{\mathbf{Set}}
\newcommand{\Coh}{\mathbf{Coh}}
\newcommand{\GL}{\operatorname{GL}}
\newcommand{\Bl}{\operatorname{Bl}}
\newcommand*\dd{\mathop{}\!\mathrm{d}}
\newcommand{\ggT}{\operatorname{ggT}}
\newcommand{\Top}{\mathbf{Top}}
\newcommand{\map}{\operatorname{map}}
\newcommand{\id}{\mathrm{id}}
\newcommand{\ol}{\overline}
\newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}
\newcommand{\Fun}{\operatorname{Fun}}
\newcommand{\sSet}{\mathbf{sSet}}
\newcommand{\conv}{\mathrm{conv}}
\newcommand{\Ext}{\operatorname{Ext}}
\newcommand{\PSh}{\mathbf{PSh}}
\newcommand{\op}{\mathrm{op}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\KO}{\operatorname{KO}}
\newcommand{\BO}{\operatorname{BO}}
\newcommand{\Ho}{\operatorname{Ho}}
\newcommand{\Kan}{\mathbf{Kan}}\)
\quoteon(2023-05-28 23:10 - katze1 in Beitrag No. 2)
Ich habe die Definition schon eingehend studiert, aber ich komme trotzdem nicht darauf, welche Schlussfolgerungen ich daraus ziehen kann. Topologie ist echt nicht meine Stärke :-(
\quoteoff
Es geht nicht darum, dass du die Definitionen studierst, ich meine wortwörtlich, dass du sie ausschreiben sollst. Was bedeutet es, dass $f$ stetig ist und was bedeutet es, dass $f|_{O_i}$ für alle $i \in I$ stetig ist?
(Dabei solltest du natürlich die Hinweise von Nico beachten.)\(\endgroup\)
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