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 Porrobipartitodividuellzahl |
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cramilu
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Wohnort: Schwäbischer Wald, seit 1989 freiwilliges Exil in Bierfranken
 |  Themenstart: 2023-05-29
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Ein alles andere als bierernstes Thema... oder doch nicht?
Die 42 ist seit langem etwas ganz besonderes.
Und nur Ungebildete würden fragen: »Warum?«.
Im [Bildungs]Schwätz \(-\) und natürlich des Nächtens \(-\)
hatte ich mich gefragt, wie sich wohl die Besonderheit
auch mathematisch begründen ließe. Und wurde fündig:
Die 42 ist die kleinste [Porro]Bipartitodividuellzahl oder
auch Douglas-Adams-Zahl (beides 'Arbeitstitel'!).
Solche Zahlen zeichnen sich dadurch aus, dass man sie
derart in eine Präfix- und eine Suffix-Gruppe ihrer Ziffern
aufteilen kann, dass die Zahl aus den Ziffern der 'Suffixsilbe'
jene aus den Ziffern der 'Präfixsilbe' in nicht-trivialer Weise
ganzzahlig teilt. Führende Nullen seien dabei für keine der
'Silben' zulässig! Funktioniert die Teilung anders herum,
also Suffix durch Präfix, so handelt es sich \(-\) natürlich \(-\)
um eine Retrobipartitodividuellzahl. 😉
42 , 62, 63, 82, 84, 93, 102, 105, 122, 123, 124, 126, ...
bzw.
24, 26, 28, 36, 39, 48, 210, 212, 214, 216, 218, 220, ...
OEIS 'kennt' noch keine der beiden Folgen;
für anno 2023 eigentlich ein Skandal.
Wer mag, finde eine griffigere Bezeichnung
für derartige Zahlen!
»Autodistributiv« erschien im Schwätz bereits fragwürdig.
EDIT
Nachdem das Thema \(-\) wie erwartet und sogar ausdrücklich
vorhergesagt \(-\) aus dem Unterforum Zahlentheorie nach
Spiel & Spaß verschoben wurde, sei das Folgende nachgelegt:
\showon
[z.B. 355 ... 35;5 ... 35/5=7]
42, 62, 63, 82, 84, 93, 102, 105, 122, 123,
124, 126, 142, 147, 153, 155, 162, 164, 168, 182,
183, 186, 189, 202, 204, 205, 213, 217, 222, 242,
243, 244, 246, 248, 255, 262, 273, 279, 282, 284,
287, 302, 303, 305, 306, 322, 324, 328, 333, 342,
355, 357, 362, 363, 364, 366, 369, 382, 393, 402,
404, 405, 408, 422, 423, 426, 427, 442, 444, 453,
455, 459, 462, 482, 483, 484, 486, 488, 502, 505,
513, 522, 524, 542, 543, 546, 549, 555, 562, 564,
567, 568, 573, 582, 602, 603, 604, 605, 606, 622,
633, 637, 639, 642, 644, 648, 655, 662, 663, 666,
682, 684, 693, 702, 705, 707, 722, 723, 724, 726,
728, 729, 742, 753, 755, 762, 764, 777, 782, 783,
786, 802, 804, 805, 808, 813, 819, 822, 842, 843,
844, 846, 847, 855, 862, 873, 882, 884, 888, 902,
903, 905, 906, 909, 917, 922, 924, 933, 942, 955,
962, 963, 964, 966, 968, 982, 987, 993, 999,
[ 999 / 169 = 5,91124... ]
1002, 1004, 1005, 1022, 1023, 1026, 1042, 1044, 1048, 1053,
1055, 1057, 1062, 1082, 1083, 1084, 1089, 1102, 1105, 1113,
1122, 1124, 1127, 1128, 1142, 1143, 1146, 1155, 1162, 1164,
1173, 1179, 1182, 1197, 1202, 1203, 1204, 1205, 1206, 1208,
1222, 1233, 1242, 1244, 1255, 1262, 1263, 1266, 1267, 1269,
1282, 1284, 1288, 1293, 1302, 1305, 1322, 1323, 1324, 1326,
1337, 1342, 1353, 1355, 1359, 1362, 1364, 1368, 1382, 1383,
1386, 1402, 1405, 1407, 1413, 1422, 1442, 1443, 1446, 1448,
1449, 1455, 1462, 1473, 1477, 1482, 1484, 1502, 1503, 1505,
1506, 1522, 1524, 1528, 1533, 1539, 1542, 1547, 1555, 1562,
1563, 1564, 1566, 1582, 1593, 1602, 1604, 1605, 1608, 1617,
1622, 1623, 1626, 1629, 1642, 1644, 1653, 1655, 1662, 1682,
1683, 1684, 1686, 1687, 1688, 1702, 1705, 1713, 1719, 1722,
1724, 1742, 1743, 1746, 1755, 1757, 1762, 1764, 1768, 1773,
1782, 1802, 1803, 1804, 1805, 1806, 1809, 1822, 1827, 1833,
1842, 1844, 1848, 1855, 1862, 1863, 1866, 1882, 1884, 1893,
1897, 1899, 1902, 1905, 1922, 1923, 1924, 1926, 1928, 1942,
1953, 1955, 1962, 1964, 1967, 1982, 1989,
[ 1989 / 346 = 5,74855... ]
2002, 2004, 2005, 2008, 2010, 2013, 2022, 2037, 2042, 2043,
2044, 2046, 2055, 2062, 2073, 2079, 2082, 2084, 2088, 2102,
2103, 2105, 2106, 2107, 2122, 2124, 2133, 2142, 2155, 2162,
2163, 2164, 2166, 2168, 2169, 2177, 2182, 2193, 2202, 2204,
2205, 2211, 2222, 2223, 2226, 2242, 2244, 2247, 2248, ...
[ 2248 / 395 = 5,6911... ]
\showoff
Falls meine Auflistung stimmt, dann konvergiert möglicherweise
der Quotient aus der \(n\)-ten nämlichen Zahl und selbiger Ordinal-
zahl \(n\) ... 🤔
In jedem Fall sollte dazu das cramilu-Lemmaki (neugriechisch
angenommene Verniedlichungsform zu Lemma) gelten:
Jede natürliche Zahl \(n\), welche ausschließlich aus drei oder mehr
gleichen Ziffern \(d\geq2\) besteht, ist sowohl Porro- wie auch Retro-
bipartitodividuellzahl (Arbeitstitel).
Das cramilu-Lemma dazu ist schon einen Hauch weniger banal:
Die Menge der Primzahlen und die Vereinigungsmenge aller
Bipartitodividuellzahlen (Arbeitstitel) sind einander disjunkt. 😎
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Primentus
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-01
|
Hallo cramilu,
ich habe noch nicht so ganz verstanden, wie sich die Zahlen der Präfix-Gruppe und der Suffix-Gruppe genau bilden.
Wie genau kommt man in Deiner ersten Liste von 42 auf 62 und dann von 62 auf 63 und von 63 auf 82?
Und wie kommt man in Deiner zweiten Liste von 24 auf 26 und von 26 auf 28 und von 28 auf 36?
Und die Startzahl 24 der zweiten Liste ist einfach die Zahl 42 rückwärts?
Erst wenn das klar ist, kann man sich Gedanken über die Benennung dieser Art von Zahlen machen.
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-01
|
Guten Abend Primentus,
die Ziffernfolge der Zahl muss derart in ein vorderes
Präfix- und ein hinteres Suffix-Grüppchen geteilt werden
können, dass
a) jedes der Grüppchen mindestens eine Ziffer enthält,
b) zwischen den beiden Grüppchen keine Ziffer übrig bleibt,
c) keines der beiden Grüppchen mit einer \(0\) beginnt, und
d) die Zahl aus den Ziffern des hinteren Suffix-Grüppchens
jene aus den Ziffern des vorderen Präfix-Grüppchens nicht-
trivial ganzzahlig teilt. Bei der Retro-Variante umgekehrt.
Beispiele:
\(2222\) lässt sich in das Präfix-Grüppchen \(222\) und das
Suffix-Grüppchen \(2\) teilen, und \(222/2=111\) .
\(1111\) lässt sich zwar in die Präfix-/Suffix-Grüppchen \(1\,\vert\,111\) ,
\(11\,\vert\,11\) oder \(111\,\vert\,1\) teilen, aber in keinem der Fälle kommt
es dann zu einer nicht-trivialen ganzzahligen Teilung, weil
es sich bei \(n/1\) und \(n/n\) um triviale Teilung handelt.
\(42\) : \(4\,/\,2\,=\,2\) ; \(62\) : \(6\,/\,2\,=\,3\) ...
Die Retro... sind intuitiv etwas schwerer zu durchschauen. 😉
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Primentus
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-01
|
Hallo cramilu,
ok, jetzt habe ich es soweit verstanden (sowohl "Porro" als auch "Retro") - danke für die Erklärung.
Ich werde das mal genauer untersuchen. Falls ich dazu etwas Mitteilenswertes oder Besonderes herausfinde, melde ich mich innerhalb der nächsten Tage nochmal.
LG Primentus
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Primentus
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-01
|
Hallo cramilu,
Deine ersten zwölf Glieder der "Porro"-Folge sind auf jeden Fall schon mal richtig (das sind die 12 kleinsten "Porro"-Zahlen).
Ansonsten möchte ich noch darauf hinweisen, dass es auf jeden Fall Zahlen gibt, bei denen es mehr als eine Möglichkeit gibt, dass das Suffix-Grüppchen das Präfix-Grüppchen teilt.
Beispiele (wobei | nur das Trennzeichen ist und keine mathematische Notation):
5226: 52|26 und 522|6
5117: 51|17 und 511|7
6513: 65|13 und 651|3
8127: 81|27 und 812|7
9246: 92|46 und 924|6
9933: 99|33 und 993|3
Bis zur Zahl 10000 gibt es 16 Zahlen, bei denen es zwei Möglichkeiten der Teilung gibt. Bis zur Zahl 100000 sind es bereits 376 Zahlen mit zwei Möglichkeiten und bis 1 Million sind es 4241 Zahlen (na da taucht witzigerweise wieder die 42 auf).
Aber ich nehme an, diese Mehrfach-Möglichkeiten sollen nicht weiter stören und solche Zahlen sollen ebenfalls einfach nur einmal aufgelistet werden.
Ab 6stelligen Zahlen gibt es übrigens erstmals Zahlen, bei denen es drei Möglichkeiten der Teilung gibt. Bis 1 Million sind es genau 10 Stück und zwar folgende:
246123: 246|123 und 2461|23 und 24612|3
258129: 258|129 und 2581|29 und 25812|9
446223: 446|223 und 4462|23 und 44622|3
492246: 492|246 und 4922|46 und 49224|6
574287: 574|287 und 5742|87 und 57428|7
646323: 646|323 und 6463|23 und 64632|3
738369: 738|369 und 7383|69 und 73836|9
846423: 846|423 und 8464|23 und 84642|3
858429: 858|429 und 8584|29 und 85842|9
892446: 892|446 und 8924|46 und 89244|6
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-01
|
Hallo! 😉
Das mit den ggf. mehreren Möglichkeiten der Aufteilung
war schon klar \(-\) die \(4422\) fiel mir als erste auf. Eine soll
jedoch schon hinreichend sein!
2613, 4422, 4623, 5117, 5226, 6513, 6622, 6633,
7839, 8127, 8442, 8643, 8822, 8844, 9246, 9933.
Wo Du schon mal bis zu sechsstelligen geprüft hast...
Erhärtet sich denn mein Verdacht der Konvergenz, also
\(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\psi_n}{n}\right)\) mit \(\psi_n\) als \(n\)-ter »Douglas-Adams-Zahl«?
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Primentus
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-02
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Hallo cramilu,
bei der "Porro"-Folge sehen die Quotientenwerte Nr. 999990 bis 1000000 wie folgt aus:
4.92597, 4.92599, 4.92603, 4.92602, 4.92602, 4.926, 4.92598, 4.92597, 4.92602, 4.92605, 4.92605
Hieraus ist schon ersichtlich, dass die Werte nicht kontinuierlich sinken, sondern zwischendurch auch wieder minimal steigen. Dennoch sieht es durchaus danach aus, als könnten diese Werte konvergieren, auch wenn nicht klar ist, gegen welchen Wert sie konvergieren, falls überhaupt. Allerdings ist der Graph keine klare Linie, sondern ein fortwährendes Auf und Ab der Funktionswerte, die aber im Mittel durchaus einer Kurvenlinie zu folgen scheinen.
Der ListPlot für die ersten 300000 Quotientenwerte sieht wie folgt aus:
Ein wenig merkwürdig ist nur, dass die Quotientenwerte Nr. 300000 bis Nr. 1000000 offenbar alle sehr nahe am Wert 4.926 liegen (genauer: im Bereich 4.95 bis 4.92). Möglicherweise stagniert der Quotientenwert auch irgendwann oder sinkt nur noch äußerst langsam.
LG Primentus
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tactac
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 | Beitrag No.7, eingetragen 2023-06-02
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
Um Nr. $3 \cdot 10^9$ ist man ungefähr bei $4.895$.
Um Nr. $70\cdot 10^9$ ist man ungefähr bei $4.8955623$.\(\endgroup\)
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cramilu
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-02
|
Guten Morgen, Ihr beiden, und herzlichen Dank! 🤗
$$
\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\psi_n}{n}\right)\;=\;\frac{\pi^2}{2}\,\pm\,\varepsilon
$$
Mit steilen Mutmaßungen bin ich doch schnell bei der Hand! 😄
Und sooo spiel-und-spaßig wie es flugs eingestuft wurde,
ist es nun wohl doch nicht ganz. 😉
Wie sieht es denn für die Retro-Variante aus?
Welche(n) Bezeichnungsbuchstaben hieltet Ihr für tauglich?
Gibt es weitere Namensvorschläge, um vom sperrigen
Ursprung wegzukommen?
Douglas-Adams-Zahlen (Douglas Adams numbers)
Anhalter-Zahlen (Hitchhiker's numbers)
Deep-Thought-Zahlen (Deep Thought numbers) 😎
@polygamma:
Im Schwätz hattest Du erwähnt, ggf. eine »geschlossene Form«
angeben zu können... Selbst, falls Du inzwischen zurückstecken
müsstest, so teile uns bitte gerne Deine Ansatzüberlegungen mit!
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polygamma
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 | Beitrag No.9, eingetragen 2023-06-02
|
Hey, cramilu!
\quoteon(2023-06-02 08:16 - cramilu in Beitrag No. 8)
@polygamma:
Im Schwätz hattest Du erwähnt, ggf. eine »geschlossene Form«
angeben zu können... Selbst, falls Du inzwischen zurückstecken
müsstest, so teile uns bitte gerne Deine Ansatzüberlegungen mit!
\quoteoff
Ha, ich hatte diese Aussage leider bereits revidieren müssen, irgendwann heute Nacht im Schwätz :)
Aber: Ich werde meine Überlegungen definitiv mitteilen, ich arbeite jedoch noch ein bisschen daran :)
Liebe Grüße
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Primentus
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-06-02
|
Hallo cramilu,
bezüglich der "Retro"-Folge kann ich folgende Dinge sagen:
Bis zur Zahl 10000 gibt es 31 Zahlen, bei denen es zwei Möglichkeiten der Teilung gibt (im Gegensatz zu nur 16 bei "Porro"). Bis zur Zahl 100000 sind es 635 Zahlen mit zwei Möglichkeiten (im Gegensatz zu 376 bei "Porro") und bis 1 Million sind es 7145 Zahlen (im Gegensatz zu 4241 bei "Porro").
Ab 6stelligen Zahlen gibt es wie bei "Porro" erstmals Zahlen, bei denen es drei Möglichkeiten der Teilung gibt. Bis 1 Million sind es genau 7 Stück (im Gegensatz zu 10 bei "Porro") und zwar folgende:
217434: 2|17434 und 21|7434 und 217|434
244488: 2|44488 und 24|4488 und 244|488
246984: 2|46984 und 24|6984 und 246|984
248496: 2|48496 und 24|8496 und 248|496
279558: 2|79558 und 27|9558 und 279|558
366732: 3|66732 und 36|6732 und 366|732
488976: 4|88976 und 48|8976 und 488|976
Bei der "Retro"-Folge sehen die Quotientenwerte Nr. 999990 bis 1000000 wie folgt aus:
4.9972, 4.99722, 4.99724, 4.99726, 4.99728, 4.9973, 4.99732, 4.99734, 4.99736, 4.99738, 4.9974
Der ListPlot für die ersten 300000 Quotientenwerte der "Retro"-Folge zeigt einen sehr interessanten Graphen, der wie folgt aussieht:
Die Quotientenwerte der "Retro"-Folge schwanken also sehr stark auf und ab, so dass ein Konvergenzverhalten auf den ersten Blick fast unmöglich scheint. Aber vielleicht werden die Ausschläge nach oben und unten ja doch immer weniger, so dass es womöglich doch am Ende um einen bestimmten Wert herum pendelt. Zumindest bewegen sich die Quotientenwerte um Nr. 1000000 herum auch wieder ungefähr in Richtung 4.926 - nur auf anderem Wege.
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-02
|
Ich bin baff. Spektakulär, Primentus! 😮
\(4{,}9974\) \(-\) die Masse eines Pitcairn Dollar in Feinsilberunzen. 😄
Scherz beiseite: Ich selber verfüge aktuell nicht über die
kapazitativen Mittel, das Ganze algorithmisch geschweige
denn grafisch so eindrücklich zu untersuchen wie Ihr.
In erster Linie lässt es mich schmunzeln, dass meine
nächtliche Schnapsidee in ihrem Gehalt doch deutlich
weniger banal ist, als das zu befürchten war.
Nach ein wenig Online-Recherche habe ich mich inzwischen
auf einen Namen für die Dinger (porro) kapriziert:
Deep-Thought-Zahlen (Deep Thought numbers) oder
Eth-Zahlen (eth numbers) \(\eth_n\) \(-\) wegen des einer Kombina-
tion aus \(d\) und \(t\) (deep thought) anmutenden Buchstabens
aus dem Altnordischen, der außerdem zum LaTeX-Standard-
Fundus gehört (\eth).
Retro-Variante: \(\overline{\eth}_n\) (inverse Eth-Zahlen)
Die Peaks in der Grafik zur Retro-Folge könnten auf einer
Trägerkurve liegen? Die Kurve zur Porro-Folge ändert ihren
Krümmungscharakter etwa in dem Bereich, wo die Retro-
Kurve ihren zweiten Peak aufweist? Zwischen den Peaks
verlaufen an Zykloiden gemahnende Leitkurven? Faszinierend!
Auf weitere Erkenntnisse bin ich gespannt wie ein Flitzebogen.
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polygamma
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-06-02
|
Hallo zusammen!
Ich versuche mich mal daran, die ganze Problemstellung ein bisschen aufzuarbeiten :)
Ich beschränke mich auf die Douglas-Adams-Zahlen ohne Retro (denn auch ohne Retro überfordert mich das bereits massiv ;D).
Ich schildere jetzt einmal nur "die Fakten" und werde zu einem späteren Zeitpunkt nochmal erklären, was ich getrieben habe.
Vor allem mit meinem Code kann man auch einfach rumspielen, die Funktionsaufrufe sind sehr simpel, deswegen wollte ich es gerne schon zur Verfügung stellen.
Fangen wir an mit Informatik.
\sourceon python
def douglas_adams_check(n: int) -> int:
return sum(
1 for suffix_length in range(1, len("%i" % n) // 2 + 1)
if (suffix := n % (ten_to_power_of_suffix_length := 10 ** suffix_length)) > 1
and len("%i" % suffix) == suffix_length
and (prefix := n // ten_to_power_of_suffix_length) != suffix
and prefix % suffix == 0
)
\sourceoff
Der Funktion übergibt man ein $n\in\IN$ und zurück bekommt man die Anzahl der ganzzahligen nicht-trivialen Teilungen.
Wir bezeichnen diesen Rückgabewert mit $\delta\left(n\right)$.
$n$ ist also eine Douglas-Adams-Zahl genau dann, wenn $\delta\left(n\right) > 0$.
Beispiele: Es gilt $\delta\left(1111\right)=0$ und $\delta\left(42\right)=1$ und $\delta\left(4422\right)=2$ und $\delta\left(246123\right)=3$.
Nun zur Mathematik.
Es gelte $n\in\IN$ und wir definieren $$\delta_n:=\sum_{k=1}^n\min\left(1,\,\delta\left(k\right)\right)$$
sowie
$$\delta^n:=\sum_{k=1}^n\delta\left(k\right)$$
$\delta_n$ gibt die Anzahl der Douglas-Adams-Zahlen $\leq n$ an.
Wir bezeichnen mit $\psi_n$ die $n$-te Douglas-Adams-Zahl.
Es gilt $$\delta_{\psi_n}=n$$
Wir definieren
$$\eta_n:=\sum_{k=1}^n\max\left(0,\,\delta\left(k\right)-1\right)$$
Es folgt
$$\delta_n=\delta^n-\eta_n$$
Sei $\hat{n}\in\IN$ sodass gilt $\exists k\in\IN_{\geq2} : \hat{n}=10^k-1$
Es folgt
$$\delta^\hat{n}=\sum_{p=1}^{\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor}\sum_{q=\max\left(2,\,10^{p-1}\right)}^{10^p-1}\left(\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{\hat{n}}{10^{p}}\right\rfloor}{q}\right\rfloor-1\right)$$
Für $n\leq999$ gilt $\eta_n=0$ wegen $\delta\left(n\right)\leq1$ womit folgt
$$\delta_{99}=\delta^{99}=\sum_{q=2}^{9}\left(\left\lfloor\frac{9}{q}\right\rfloor-1\right)=6$$
$$\delta_{999}=\delta^{999}=\sum_{q=2}^{9}\left(\left\lfloor\frac{99}{q}\right\rfloor-1\right)=170$$
Es gelte nun $1000\leq n\leq9999$. Seien $d_1, d_2, d_3, d_4 \in\IN_0$ jeweils $\leq9$ sodass gilt
$$n = d_1\cdot10^3+d_2\cdot10^2+d_3\cdot10+d_4$$
Weiterhin fordern wir $d_4\geq2$ und $d_3\geq1$ und seien $q,\,r\in\IN_{\geq2}$ mit $r\leq9$.
Es folgt
$$\delta\left(n\right)=2\Longleftrightarrow \exists q,\,r : q\cdot\left(d_1\cdot10+d_2\right)\cdot d_4=r\cdot\left(d_1\cdot10^2+d_2\cdot10+d_3\right)\cdot\left(d_3\cdot10+d_4\right)$$
Es folgt
$$\eta_{9999}=16$$
Abschließend folgt
$$\delta_{9999}=\delta^{9999}-\eta_{9999}=\sum_{p=1}^{2}\left(\sum_{q=\max\left(2,\,10^{p-1}\right)}^{10^p-1}\left(\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{9999}{10^{p}}\right\rfloor}{q}\right\rfloor-1\right)\right)-16=1905$$
Aber nochmal zurück zur Informatik.
Das folgende Skript erzeugt auch nochmal all die Zahlen, die im Laufe meines Beitrags bis jetzt gefallen sind.
\sourceon python
from math import floor
def douglas_adams_check(n: int) -> int:
return sum(
1 for suffix_length in range(1, len("%i" % n) // 2 + 1)
if (suffix := n % (ten_to_power_of_suffix_length := 10 ** suffix_length)) > 1
and len("%i" % suffix) == suffix_length
and (prefix := n // ten_to_power_of_suffix_length) != suffix
and prefix % suffix == 0
)
def delta_low(n: int) -> int:
return sum(
min(1, douglas_adams_check(k))
for k in range(1, n + 1)
)
def delta_high(n: int) -> int:
return sum(
douglas_adams_check(k)
for k in range(1, n + 1)
)
def eta(n: int) -> int:
return sum(
max(0, douglas_adams_check(k) - 1)
for k in range(1, n + 1)
)
def delta_high_hat(n: int) -> int:
return sum(
sum(
floor(floor(n / 10 ** p) / q) - 1
for q in range(max(2, 10 ** (p - 1)), 10 ** p)
)
for p in range(1, floor(len("%i" % n) / 2) + 1)
)
if __name__ == "__main__":
n = 99
print(f"delta_low({n}) = {delta_low(n)}")
print(f"delta_high_hat({n}) = {delta_high_hat(n)}")
n = 999
print(f"delta_low({n}) = {delta_low(n)}")
print(f"delta_high_hat({n}) = {delta_high_hat(n)}")
n = 9999
print(f"eta({n}) = {eta(n)}")
print(f"delta_low({n}) = {delta_low(n)}")
print(f"delta_high_hat({n}) - eta({n}) = {delta_high_hat(n) - eta(n)}")
\sourceoff
\sourceon
delta_low(99) = 6
delta_high_hat(99) = 6
delta_low(999) = 170
delta_high_hat(999) = 170
eta(9999) = 16
delta_low(9999) = 1905
delta_high_hat(9999) - eta(9999) = 1905
\sourceoff
Wer kein Python installiert hat, kann z. B. eine Seite wie die Folgende nutzen, und es im Browser ausführen: Online Python.
Hier nun noch ein kurzes Fazit, wie bereits am Anfang geschildert, werde ich das zu einem späteren Zeitpunkt nochmal mehr im Detail erklären.
Eine geschlossene Form habe ich offensichtlich nicht gefunden, und ich bin mir auch nicht sicher, ob es überhaupt möglich ist, eine anzugeben.
Bis $n = 999$ ist es noch halbwegs in Ordnung, aber danach kommen diophantische Gleichungen ins Spiel, aufgrund der Tatsache, dass es ab dann mehrere Möglichkeiten der Teilung pro Zahl gibt, und die muss man unterm Strich wieder rausrechnen.
Vor allem wird es ab $n = 100000$ noch schwerer, da dann $\delta\left(n\right)=3$ möglich ist, und nicht nur $\delta\left(n\right)=2$
Das geht ja auch immer so weiter... :D
Aber vor allem hat es Spaß gemacht, daran zu arbeiten, und das ist ja die Hauptsache :)
Liebe Grüße
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-06-03
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Hallo cramilu,
aha - die Masse eines Pitcairn-Dollars - davon höre ich zum ersten Mal. 🙃
Ja, während die "Porro"-Folge noch recht vorhersehbar aussieht, unterliegt die "Retro"-Folge doch gewissen Schwankungen und der Graph mutet recht ungewöhnlich an. Daher ist die "Retro"-Folge wirklich alles andere als banal.
Zwecks der Benennung der beiden Folgen habe ich mir noch keine Gedanken gemacht. Ich spiele nach wie vor noch ein wenig herum mit diesen Zahlen, um zu sehen, was man vielleicht noch interessantes herausfinden kann.
Die Peaks der Retro-Folge müsste ich mir mal noch gesondert anschauen.
Ansonsten möchte ich zunächst noch mitteilen, dass ich das Gefühl habe, dass Zahlen mit vier oder mehr möglichen Teilungen schon eine ziemliche Rarität sind. Ich habe bislang erst ein Beispiel mit vier möglichen Teilungen gefunden, und zwar die Zahl 215860955182626:
21586095518|2626 und 215860955182|626 und 2158609551826|26 und 21586095518262|6
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-03
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\(222\,222\,222\,222\) :
\(22\,222\,222\,222\;\div\;2\;=\;11\,111\,111\,111\)
\(2\,222\,222\,222\;\div\;22\;=\;101\,010\,101\)
\(222\,222\,222\;\div\;222\;=\;1\,001\,001\)
\(22\,222\,222\;\div\;2\,222\;=\;10\,001\)
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-06-03
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Hallo cramilu,
ok, zu diesem Beispiel könnte man vielleicht sagen, dass es trivial ist, aber so trivial wie es auf den ersten Blick wirkt, ist es dann doch wieder nicht (höchstens vielleicht die Ausgangszahl).
Zahlen, die nur aus einer bestimmten Ziffer bestehen, kann ich mir dann auch noch separat anschauen.
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-03
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So trivial das Beispiel an sich scheinen mag
\(-\) die Teilungen sind es nicht. 😉
Und mit \(215\,860\,955\,182\,626\) , welche durch \(6=3\cdot2\)
teilbar ist, muss auch ihre Hälfte \(107\,930\,477\,591\,313\)
auf vier Arten passend aufteilbar sein:
\(10\,793\,047\,759\,131\;\div\;3\;=\;3\,597\,682\,586\,377\)
\(1\,079\,304\,775\,913\;\div\;13\;=\;83\,023\,444\,301\)
\(107\,930\,477\,591\;\div\;313\;=\;344\,825\,807\)
\(10\,793\,047\,759\;\div\;1\,313\;=\;8\,220\,143\)
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| Beitrag No.17, eingetragen 2023-06-03
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Hallo cramilu,
ja, da stimme ich Dir zu.
LG Primentus
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| Beitrag No.18, eingetragen 2023-06-03
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Hallo cramilu,
zu den Peaks der "Retro"-Folge:
Es gibt sehr viele lokale Peaks, nicht nur wenige globalere. Wobei ich Peak so definiert habe, dass der jeweilige Quotientenwert größer als sein unmittelbar vorhergehender als auch größer als sein unmittelbar nachfolgender Quotientenwert sein muss. Unter den ersten 1 Million Quotientenwerten gibt es 5859 solcher Peaks (den anfänglichen Quotientenwert 24 mit eingerechnet). Es ergibt sich somit für die Peaks ein eher unerwarteter Graph bzw. ListPlot:
Manchmal gibt es also sehr viele sehr dicht beieinander liegende Peaks hintereinander (d. h. aufeinanderfolge Peaks, deren Werte sich nur geringfügig unterscheiden), und ab und zu ergeben sich auch mal größere Sprünge von einem Peak zum nächsten (d. h. aufeinanderfolge Peaks, deren Werte eine etwas größere Differenz aufweisen, wobei "größere" hier relativ ist, da sich die allermeisten Peaks ohnehin nur zwischen den Werten 3.5 und 6.5 bewegen - aber es gibt auch die anfänglichen Ausnahmen 24 und 30, sowie weitere Werte, die z. B. um 9 oder 8 herum liegen).
LG Primentus
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| Beitrag No.19, eingetragen 2023-06-03
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Hallo cramilu,
sehr schönes weiteres Beispiel von Dir in Beitrag #16 mit der Idee, einfach die Hälfte der Zahl zu nehmen, die ich gefunden hatte.
LG Primentus
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| Beitrag No.20, eingetragen 2023-06-03
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Hallo cramilu,
und analog dazu gibt es zu Deinem Beispiel 2222222222222 die weitere Möglichkeit, hiervon das doppelte zu nehmen, d. h. die Zahl 444444444444, was diese vier Möglichkeiten ergibt:
44444444444|4 und 4444444444|44 und 444444444|444 und 44444444|4444
... und ebenso dann davon nochmal das doppelte, d. h. die Zahl 888888888888 mit diesen vier Möglichkeiten:
88888888888|8 und 8888888888|88 und 888888888|888 und 88888888|8888
Und das kann man offenbar noch weiter fortführen mit z. B. der 18stelligen Zahl 444444444444444444 mit ebenfalls wieder vier Möglichkeiten, nur dass diesmal sogar ein 6stelliger Teiler dabei ist:
444444444444|444444 und 444444444444444|444 und 4444444444444444|44 und 44444444444444444|4
... und davon dann auch wieder das Doppelte bzw. die Hälfte.
Dann habe ich sogar noch eine Zahl mit 7 Möglichkeiten der Teilung zu bieten, und zwar die 36stellige Zahl 888888888888888888888888888888888888:
88888888888888888888888888888888888|8 und
8888888888888888888888888888888888|88 und
888888888888888888888888888888888|888 und
88888888888888888888888888888888|8888 und
888888888888888888888888888888|888888 und
888888888888888888888888888|888888888 und
888888888888888888888888|888888888888 und
Dann gibt es z. B. auch noch Beispiele ohne 2, 4 und 8 wie z. B. die 32stellige Zahl 66666666666666666666666666666666, wo es aber "nur" vier Möglichkeiten gibt:
6666666666666666666666666666666|6 und
666666666666666666666666666666|66 und
6666666666666666666666666666|6666 und
666666666666666666666666|66666666
Und dann gibt es noch die 90stellige Zahl
\sourceon nameDerSprache
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444
\sourceoff
welche sogar zehn Möglichkeiten der Teilung bietet:
\sourceon
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444|4 und
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444|44 und
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444|444 und
4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444|44444 und
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444|444444 und
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444|444444444 und
44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444|4444444444 und
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444|444444444444444 und
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444|444444444444444444 und
444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444|444444444444444444444444444444
\sourceoff
In letztem Beispiel sind es Teiler mit den Stellenanzahlen 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18 und 30. Dass hier ein 5stelliger Teiler dabei ist, überrascht mich ehrlich gesagt am meisten - wobei: sind das nicht alles die Teiler von 90, der Stellenanzahl der Ausgangszahl? Sehr interessant! (nur die 45 fehlt als einzige) Aber gut, das ist auch verständlich, dass die 45 fehlt, weil dies würde ja eine triviale Teilung mit Ergebnis 1 ergeben.
Bei der obigen 36stelligen Zahl 888888888888888888888888888888888888 mit 7 Möglichkeiten ist es auch so: Die Teiler haben die Stellenanzahlen 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12 (= alle Teiler von 36 bis auf die 18, da sie wieder eine triviale Teilung ergeben würde und die 36 selbst).
Die Stellenanzahlen der Teiler bei den x Möglichkeiten einer Ausgangszahl, die ausschließlich aus ein- und derselben Ziffer besteht, sind also offenbar immer alle echten Teiler der Stellenanzahl der Ausgangszahl, die nicht zu einer trivialen Teilung führen, bis auf die Hälfte dieser Stellenanzahl und die Stellenanzahl selbst.* (Ist das das Primentus'sche "Porro"-Lemmaki? 😂 )
* Zumindest bei gerader Stellenanzahl der Ausgangszahl. Dabei tut sich aber sogleich die Frage auf, ob es überhaupt Ausgangszahlen mit ungerader Stellenanzahl geben kann, bei denen es mehr als eine Möglichkeit der Teilung gibt (vermutlich eher nicht).
Edit:
Doch, es gibt sie. Auch hier treten wieder die besagten Teiler auf.
Beispiel: Die 21stellige Zahl 222222222222222222222 ergibt drei Möglichkeiten der Teilung mit den Teiler-Stellenanzahlen 1, 3 und 7.
Und in ähnlicher Weise kann man das sicherlich ewig weiter betreiben.
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.21, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-03
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😄 Mensch, Primentus!
Aus meinem Eingangs-Lemmaki kann man doch butter-
weich folgern, dass sämtliche zwölfstelligen Zahlen, die
ausschließlich aus gleichen Ziffern \(d\geq2\) bestehen,
vierfache Deep-Thought-Zahlen sein müssen!
Die folgende vierzehnstellige Vierfach-Deep-Thought-
Zahl habe ich durch Intuitivkonstruktion gefunden:
\(11\,138\,459\,228\,442\) :
\(1\,113\,845\,922\,844\;\div\;2\;=\;556\,922\,961\,422\)
\(111\,384\,592\,284\;\div\;42\;=\;2\,652\,014\,102\)
\(11\,138\,459\,228\;\div\;442\;=\;25\,200\,134\)
\(1\,113\,845\,922\;\div\;8\,442\;=\;131\,941\)
Die \(24\)-stellige Zahl \(111\,111\,111\,111\,111\,111\,111\) könnte
dann die kleinste Fünffach-Deep-Thought-Zahl sein...
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Primentus
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| Beitrag No.22, eingetragen 2023-06-03
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Hallo cramilu,
wow - beachtliches Beispiel und in keinster Weise trivial!
Interessante Ausgangszahl und auch interessant, welche Teiler sich hierbei ergeben.
Und dass Du dieses von Hand gefunden hast - chapeau!
LG Primentus
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| Beitrag No.23, eingetragen 2023-06-03
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Hallo cramilu,
oh ok - dann hatte ich die hilfreiche Erkenntnis Deines Lemmaki offenbar in seiner Tragweite noch nicht erkannt. Danke für den Hinweis!
LG Primentus
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| Beitrag No.24, eingetragen 2023-06-03
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\quoteon(2023-06-03 19:25 - cramilu in Beitrag No. 21)
Die \(24\)-stellige Zahl \(111\,111\,111\,111\,111\,111\,111\) könnte
dann die kleinste Fünffach-Deep-Thought-Zahl sein...
\quoteoff
Sie ist zumindest eine Fünffach-Zahl und die Teiler haben die Stellenanzahlen 2, 3, 4, 6, und 8 - somit ohne einstelligen Teiler, weil für die Ausgangszahl eine Ziffer kleiner als 2 gewählt wurde (und auch, weil sich dann eine triviale Teilung ergeben würde). Jetzt komme ich Deinem Lemmaki immer näher. 😁
LG Primentus
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| Beitrag No.25, eingetragen 2023-06-04
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Hallo,
die 24stellige Zahl 222222222222222222222222 könnte eventuell die kleinste Zahl mit sechs möglichen Teilungen sein. Sie ist auf jeden Fall eine Sechsfach-Zahl mit den zu erwartenden Teiler-Stellenanzahlen 1, 2, 3, 4, 6 und 8.
Ich habe bislang aber noch keine Zahl mit 5 oder mehr möglichen Teilungen gefunden, die nicht ausschließlich aus ein- und derselben Ziffer besteht.
LG Primentus
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polygamma
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| Beitrag No.26, eingetragen 2023-06-05
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Hallo zusammen!
Ich wollte auch mal ein bisschen Numerik betreiben, und habe dementsprechend die Programmiersprache von Python zu C++ gewechselt.
Weiterhin wollte ich sowieso schon lange einen guten Grund haben, um CUDA zu lernen, da ich damit noch nie gearbeitet habe.
Letztendlich ist es so, dass sich GPUs deutlich besser als CPUs eignen, um Douglas-Adams-Zahlen zu berechnen.
Das liegt einfach nur daran, dass die Berechnungen für $n\in\IN$ jeweils unabhängig voneinander sind.
\quoteon(2023-06-01 23:55 - cramilu in Beitrag No. 5)
Erhärtet sich denn mein Verdacht der Konvergenz, also
\(\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\psi_n}{n}\right)\) mit \(\psi_n\) als \(n\)-ter »Douglas-Adams-Zahl«?
\quoteoff
\quoteon(2023-06-02 01:28 - Primentus in Beitrag No. 6)
Hieraus ist schon ersichtlich, dass die Werte nicht kontinuierlich sinken, sondern zwischendurch auch wieder minimal steigen. Dennoch sieht es durchaus danach aus, als könnten diese Werte konvergieren, auch wenn nicht klar ist, gegen welchen Wert sie konvergieren, falls überhaupt. Allerdings ist der Graph keine klare Linie, sondern ein fortwährendes Auf und Ab der Funktionswerte, die aber im Mittel durchaus einer Kurvenlinie zu folgen scheinen.
\quoteoff
Nach meiner mathematischen Analyse in https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=262547&post_id=1908054 bin ich mir nicht sicher, ob der Grenzwert formal überhaupt existiert.
Wenn man sich für die Frage interessiert, wie viele Douglas-Adams-Zahlen $\leq n$ existieren, um darüber den Grenzwert bestimmen zu können, muss man für $n\to\infty$ unendlich viele diophantische Gleichungen lösen (mit unendlich vielen Variablen $\text{¯\_(ツ)_/¯}$).
Das lässt mich jedenfalls oberflächlich daran zweifeln, dass der Grenzwert existiert :D
Meine Idee ist also: Cesàro summation.
Ich betrachte somit nicht $\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\psi_n}{n}\right)$ sondern $$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{\sum_{k=1}^n\left(\frac{\psi_k}{k}\right)}{n}\right)$$
Nun also zurück zu C++ und CUDA.
Da ich ungeduldig bin, wollte ich meine Ergebnisse schnell haben, also habe ich mir Mühe gegeben, dass die Performance nicht ganz furchtbar ist ;D
Genutzt habe ich übrigens eine NVIDIA TITAN RTX.
\sourceon c++
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define GPU 0 // GPU to be used (nvidia-smi)
#define MAX_N (pow(10, 12) - 1) // cramilu-Lemmaki tells us that it's a Douglas-Adams-Number (repeating 9s)
#define CUDA_BLOCKSIZE 256
#define UNIFIED_MEMORY_ELEMENTS pow(10, 7) // < 100 MB
// See: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=262547
// This function tells us, how many non-trivial integer divisions exist for a given n
// n is a Douglas-Adams-Number if and only if the returned value is > 0
__device__ unsigned int douglas_adams_check(unsigned long long n) {
unsigned int non_trivial_integer_divisions = 0;
for (unsigned long long m = 10; m <= n; m *= 10) {
const unsigned long long suffix = n % m;
if (suffix > 1 && suffix >= m / 10) {
const unsigned long long prefix = n / m;
if (prefix != suffix && prefix % suffix == 0)
++non_trivial_integer_divisions;
}
}
return non_trivial_integer_divisions;
}
// CUDA kernel to compute douglas_adams_check in parallel
__global__ void find_douglas_adams_numbers(unsigned int* results, unsigned long long min_n, unsigned long long max_n) {
const int cuda_index = blockIdx.x * blockDim.x + threadIdx.x;
const int cuda_stride = blockDim.x * gridDim.x;
for (unsigned long long index = cuda_index; index <= max_n - min_n; index += cuda_stride)
results[index] = douglas_adams_check(index + min_n);
}
int main() {
cudaSetDevice(GPU);
std::vector non_trivial_integer_divisions((floor(log10(MAX_N)) + 1) / 2, 0); // Just yields statistics
unsigned long long douglas_adams_counter = 0; // Counts how many Douglas-Adams-Numbers we've already found
// See https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=262547&post_id=1907968
// See https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=262547&post_id=1908054
long double cesaro_sum_helper = 0; // See https://en.wikipedia.org/wiki/Ces%C3%A0ro_summation
// Allocate Unified Memory -- accessible from CPU or GPU
unsigned int *results;
cudaMallocManaged(&results, UNIFIED_MEMORY_ELEMENTS*sizeof(unsigned int));
// Calculate Douglas-Adams-Numbers
for (unsigned int cuda_iter = 0; cuda_iter < ceil(MAX_N / UNIFIED_MEMORY_ELEMENTS); ++cuda_iter) {
const unsigned long long min_n = cuda_iter * UNIFIED_MEMORY_ELEMENTS + 1;
const unsigned long long dummy = min_n + UNIFIED_MEMORY_ELEMENTS - 1;
const unsigned long long max_n = (MAX_N < dummy) ? MAX_N : dummy;
// Run the CUDA kernel to compute douglas_adams_check in parallel
const int numBlocks = (max_n - min_n + CUDA_BLOCKSIZE) / CUDA_BLOCKSIZE;
find_douglas_adams_numbers<<>>(results, min_n, max_n);
// Wait for GPU to finish before accessing on host
cudaDeviceSynchronize();
// Read results and process them
for (unsigned long long n = min_n, index = 0; n <= MAX_N && index < UNIFIED_MEMORY_ELEMENTS; ++n, ++index) {
const unsigned int n_non_trivial_integer_divisions = results[index];
// If n is Douglas-Adams-Number
if (n_non_trivial_integer_divisions) {
++non_trivial_integer_divisions[n_non_trivial_integer_divisions - 1];
++douglas_adams_counter;
cesaro_sum_helper += static_cast(n) / douglas_adams_counter;
}
}
}
// Free memory
cudaFree(results);
// Calculate approximation of cesaro sum
const long double cesaro_sum_approx = cesaro_sum_helper / douglas_adams_counter;
// Output of the results :)
const unsigned long long max_n = MAX_N;
std::cout << "For n <= " << max_n << " exist " << douglas_adams_counter << " Douglas-Adams-Numbers in total" << std::endl;
for (size_t i = 0; i < non_trivial_integer_divisions.size(); ++i) {
std::cout << "For n <= " << max_n << " exist " << non_trivial_integer_divisions[i] << " Douglas-Adams-Numbers with "
<< (i + 1) << " non-trivial integer division(s)" << std::endl;
}
std::cout << "At n = " << max_n << " an approximation of the cesaro sum is "
<< std::setprecision(std::numeric_limits::digits10 + 1) << cesaro_sum_approx << std::endl;
return 0;
}
\sourceoff
\sourceon
[jonny@ufo-gpu-server ~]$ nvcc -O3 main.cu -o main
[jonny@ufo-gpu-server ~]$ time ./main
For n <= 999999999999 exist 204267399826 Douglas-Adams-Numbers in total
For n <= 999999999999 exist 199607929890 Douglas-Adams-Numbers with 1 non-trivial integer division(s)
For n <= 999999999999 exist 4644130614 Douglas-Adams-Numbers with 2 non-trivial integer division(s)
For n <= 999999999999 exist 15328000 Douglas-Adams-Numbers with 3 non-trivial integer division(s)
For n <= 999999999999 exist 11322 Douglas-Adams-Numbers with 4 non-trivial integer division(s)
For n <= 999999999999 exist 0 Douglas-Adams-Numbers with 5 non-trivial integer division(s)
For n <= 999999999999 exist 0 Douglas-Adams-Numbers with 6 non-trivial integer division(s)
At n = 999999999999 an approximation of the cesaro sum is 4.895568189093573772
real 115m19.153s
user 101m15.093s
sys 13m30.008s
\sourceoff
Es hat also keine $2$h gedauert, um bis $10^{12}$ durchzurechnen :)
In ca. $20$h sollten wir wissen, wie es bis $10^{13}$ ausschaut.
Liebe Grüße
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cramilu
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| Beitrag No.27, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-05
|
@polygamma: Spannende Idee! 🤔
Ich werde es nachverfolgen...
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polygamma
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| Beitrag No.28, eingetragen 2023-06-05
|
\quoteon(2023-06-05 14:13 - cramilu in Beitrag No. 27)
@polygamma: Spannende Idee! 🤔
Ich werde es nachverfolgen...
\quoteoff
Allgemein habe ich das Gefühl, dass es hier im Thread mathematisch noch richtig, richtig spannend wird :)
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polygamma
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| Beitrag No.29, eingetragen 2023-06-05
|
Noch ein spontaner Gedanke: Wollen wir mal schauen, ob die Analytische Zahlentheorie uns helfen kann?
Ich sehe halt starke Komponenten der Analysis und der Zahlentheorie, deswegen ergibt das intuitiv Sinn...
Habe davon jedoch keine Ahnung, da ich damit noch nie zu tun hatte.
Aber am Wochenende habe ich sonst bestimmt Zeit, mich da mal einzulesen :)
Weiterhin bin ich vor allem von dem Gedanken fasziniert, dass irgendwie "unendliche diophantische Gleichungen" vorkommen - gibt es das Konzept überhaupt?
Eine "Hoffnung": Für große, aber endliche $n$ kommt man nicht weiter, aber vielleicht, wenn $n\to\infty$ gilt?
Ich meine damit, dass ich darauf hoffe, dass mit der Unendlichkeit "Dinge wegfallen", die das Problem ggf. wieder angreifbar machen?
Ich denke auch darüber nach, wie ich diese Unendlichkeit der diophantischen Gleichungen in eine einzige Reihe packen kann...
Dann hat man Analysis + Zahlentheorie in einer Formel, spätestens dann sollte analytische Zahlentheorie greifen?
PS:
\quoteon(2023-06-02 19:19 - cramilu in Beitrag No. 11)
In erster Linie lässt es mich schmunzeln, dass meine
nächtliche Schnapsidee in ihrem Gehalt doch deutlich
weniger banal ist, als das zu befürchten war.
\quoteoff
"[...] weniger banal ist, als das zu befürchten war" - das unterschreibe ich ;D
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querin
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 | Beitrag No.30, eingetragen 2023-06-06
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\quoteon(2023-06-04 21:43 - Primentus in Beitrag No. 25)
Ich habe bislang aber noch keine Zahl mit 5 oder mehr möglichen Teilungen gefunden, die nicht ausschließlich aus ein- und derselben Ziffer besteht.
\quoteoff
mit dem chinesischen Restsatz (crt) können Zahlen mit vorgegebener Anzahl n>2 von Endteilern erzeugt werden:
\sourceonSagemath
n=3 # n>2 Endteiler
r=[2*(10**k-1)//9 for k in range(1,n+1)]
m=[r[k]*10**(k+1) for k in range(n)]
crt(r,m)
\sourceoff
Einfach in https://sagecell.sagemath.org/ kopieren und in der ersten Zeile den Wert von n ändern (z.B. n=6).
Die Ergebnisse sind i.a. nicht minimal. Hier einige kleinere Zahlen mit mehrfachen Endteilern:
5-fach: 1277077417119
6-fach: 2715997284222222 (aus o.a. Programm)
7-fach: 8106346364467233421539
8-fach: 5828771017787771317537845117
9-fach: 380860328912254707296973192392735343
10-fach: 6246514956514927516082916636087351198477
Grüße,
querin
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polygamma
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| Beitrag No.31, eingetragen 2023-06-06
|
\quoteon(2023-06-05 12:54 - polygamma in Beitrag No. 26)
In ca. $20$h sollten wir wissen, wie es bis $10^{13}$ ausschaut.
\quoteoff
\sourceon
[jonny@ufo-gpu-server ~]$ nvcc -O3 main.cu -o main
[jonny@ufo-gpu-server ~]$ time ./main
For n <= 9999999999999 exist 2042683239376 Douglas-Adams-Numbers in total
For n <= 9999999999999 exist 1996085244623 Douglas-Adams-Numbers with 1 non-trivial integer division(s)
For n <= 9999999999999 exist 46444398101 Douglas-Adams-Numbers with 2 non-trivial integer division(s)
For n <= 9999999999999 exist 153481113 Douglas-Adams-Numbers with 3 non-trivial integer division(s)
For n <= 9999999999999 exist 115531 Douglas-Adams-Numbers with 4 non-trivial integer division(s)
For n <= 9999999999999 exist 8 Douglas-Adams-Numbers with 5 non-trivial integer division(s)
For n <= 9999999999999 exist 0 Douglas-Adams-Numbers with 6 non-trivial integer division(s)
At n = 9999999999999 an approximation of the cesaro sum is 4.895529961630819882
real 984m46.561s
user 862m53.418s
sys 117m36.915s
\sourceoff
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cramilu
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| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-06
|
@polygamma:
Hut ab für Deinen Aufwand!
Was das Cesàro-Mittel als Konvergenzkandidaten anbelangt,
könnte man zusätzliche Bedingungen abklopfen:
1. Jede mögliche Aufteilungsvariante wird gesondert gezählt;
beispielsweise würde die doppelte Eth-Zahl \(8442\) doppelgewichtet.
2. Als Suffix sind auch Ziffernfolgen mit führender Null gestattet;
beispielsweise wäre dann auch \(1002\) doppelte Eth-Zahl usw.
Wie würde sich wohl da und/oder in Kombination das Cesàro-Mittel
verringern?
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Primentus
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| Beitrag No.33, eingetragen 2023-06-06
|
Hallo querin,
ich staune immer wieder, wozu diese chinesischen Reste alles gut sind.
Schön, dass wir auf diese Weise nun Zahlen ab Fünffach aufwärts haben, die nicht aus ein- und derselben Ziffer bestehen.
Danke Dir - genau diese hatte ich bislang noch nicht gefunden!
Ich habe die Ergebnisse Deines Algorithmus mal überprüft - sowohl durch Portierung Deines chinesischen Restsatzes in eine andere Sprache als auch durch Einzelprüfung der jeweiligen Ergebniszahlen durch einen Algorithmus, den ich mir zuvor schon selbst gebastelt hatte. Ich komme dabei auf die gleichen Ergebnisse wie Du, d. h. ich kann Deine gefundenen Mehrfachzahlen bestätigen.
Hallo polygamma,
tatsächlich gibt es also unter den ersten 10 Billionen Zahlen nur sehr, sehr wenige Fünffach-Zahlen - nur 8 Stück (aber immerhin), während es bei den Vierfach-Zahlen noch über 100.000 sind. Danke für's Untersuchen!
LG Primentus
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.31 begonnen.]
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Primentus
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| Beitrag No.34, eingetragen 2023-06-06
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\quoteon(2023-06-06 18:15 - cramilu in Beitrag No. 32)
1. Jede mögliche Aufteilungsvariante wird gesondert gezählt;
beispielsweise würde die doppelte Eth-Zahl \(8442\) doppelgewichtet.
\quoteoff
Hallo cramilu,
meinst Du die zusätzliche Gewichtung genau dann, wenn die Teiler ihrerseits auch nochmal nach dem gleichen Prinzip teilbar sind?
Wieviel "Gewicht" hat dann die von Dir genannte Zahl \(11\,138\,459\,228\,442\) ?
\quoteon(2023-06-03 19:25 - cramilu in Beitrag No. 21)
\(11\,138\,459\,228\,442\) :
\(1\,113\,845\,922\,844\;\div\;2\;=\;556\,922\,961\,422\)
\(111\,384\,592\,284\;\div\;42\;=\;2\,652\,014\,102\)
\(11\,138\,459\,228\;\div\;442\;=\;25\,200\,134\)
\(1\,113\,845\,922\;\div\;8\,442\;=\;131\,941\)
\quoteoff
42: 4|2
442: 44|2
8442: 844|2 und 84|42
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.35, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-06
|
Hallo Primentus, die \(11\,138\,459\,228\,442\) würde vierfach
gewichtet, hätte also Gewicht \(4\), weil sie auf vier Arten
aufteilbar ist. Bei der \(59\,228\,442\) wäre das Gewicht \(3\).
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Primentus
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| Beitrag No.36, eingetragen 2023-06-06
|
Hallo cramilu,
ok, das macht Sinn.
Ich bemerke jetzt gerade, dass bei dem Beispiel, das ich eben zitiert hatte, die vier Teilungen der Teiler auch wieder nur zu den Teilern 2 und 42 führen, die schon bei der Ausgangszahl Teiler sind. Ich hatte zunächst nur gedacht, hierbei könnte es noch zu zusätzlichen Teilern kommen, was aber hier nicht (und möglicherweise überhaupt nie) der Fall ist.
LG Primentus
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Primentus
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| Beitrag No.37, eingetragen 2023-06-06
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\quoteon(2023-06-06 18:15 - cramilu in Beitrag No. 32)
2. Als Suffix sind auch Ziffernfolgen mit führender Null gestattet;
beispielsweise wäre dann auch \(1002\) doppelte Eth-Zahl usw.
\quoteoff
Hallo cramilu,
beim Zulassen von Nullen ist bei "Retro"-Zahlen die Frage, ob "Null durch irgendwas gleich Null" auch zu den trivialen (und damit nicht zu betrachtenden) Teilungen gerechnet werden soll (vermutlich ja).
Beispiel:
220: 22|0* und 2|20
*0 selbst ist zugleich auch eine führende Null
Also: 0 : 22 = 0 und 20 : 2 = 10
Oder zählt hier nur die zweite Division?
LG Primentus
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polygamma
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| Beitrag No.38, eingetragen 2023-06-07
|
Hallo zusammen!
\quoteon(2023-06-06 18:15 - cramilu in Beitrag No. 32)
@polygamma:
Hut ab für Deinen Aufwand!
Was das Cesàro-Mittel als Konvergenzkandidaten anbelangt,
könnte man zusätzliche Bedingungen abklopfen:
1. Jede mögliche Aufteilungsvariante wird gesondert gezählt;
beispielsweise würde die doppelte Eth-Zahl \(8442\) doppelgewichtet.
2. Als Suffix sind auch Ziffernfolgen mit führender Null gestattet;
beispielsweise wäre dann auch \(1002\) doppelte Eth-Zahl usw.
Wie würde sich wohl da und/oder in Kombination das Cesàro-Mittel
verringern?
\quoteoff
Wie vor wenigen Minuten im Schwätz besprochen, überlege ich mir mal ein bisschen was, und schreibe das dann zusammen.
Ich habe schon ein paar Ideen... :)
Allgemein ist es sicher auch nicht schlecht, mal eine saubere mathematische Definition zu erstellen für das, was wir untersuchen.
Auch die Begriffe sind ja noch etwas... durcheinander.
Hier sind es Douglas-Adams-Zahlen, dort eth usw. :D
Es ist sicher sinnvoll, nun, wo wir erkannt haben, wie spannend all das hier ist, nochmal richtig anzufangen?
Sonst wird es demnächst bestimmt auch extrem schwierig, noch dem folgen zu können, was wir hier treiben.
Vielleicht will cramilu einmal final Namen festlegen? Dann kann man darauf aufbauen.
Liebe Grüße
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cramilu
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| Beitrag No.39, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-07
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@polygamma:
Mein Beitrag #11 hatte genau die Begriffsfestlegung
zum Inhalt:
Deep-Thought-Zahlen
und Eth-Zahlen als Quasi-Kürzel. 😉
@Primentus:
Ich persönlich erachte \(0\cdot n\) , \(1\cdot n\) , \(0\div n\) , \(n\div n\) ,
\(n\div 1\) , \(n^0\) und \(n^1\) als trivial .
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