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 Porrobipartitodividuellzahl |
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polygamma
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 |  Beitrag No.40, eingetragen 2023-06-07
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\quoteon(2023-06-07 00:11 - cramilu in Beitrag No. 39)
Mein Beitrag #11 hatte genau die Begriffsfestlegung
zum Inhalt:
Deep-Thought-Zahlen
und Eth-Zahlen als Quasi-Kürzel. 😉
\quoteoff
Deswegen hatte ich das Wort "final" verwendet, da ich nicht sicher war, ob du deine Meinung nicht vielleicht noch ändern möchtest :D
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Primentus
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 | Beitrag No.41, eingetragen 2023-06-07
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Hallo zusammen,
ich wäre auch dafür, dass wir alle möglichst einheitliche Begriffe verwenden, damit nicht jeder sein eigenes Vokabular weiterpflegt und wir uns irgendwann gegenseitig nicht mehr verstehen, geschweige denn dass Thread-Neulinge uns dann noch verstehen.
Von Douglas-Adams-Zahl über Eth und Porro bis hin zu Bipartitodividuellzahl sind es jetzt schon recht viele Begriffe, und dann dazu noch die "Rückwärtsvariante" alias Retro bzw. Retrobipartitodividuellzahl, usw.
Natürlich obliegt es in erster Linie cramilu, passende Begriffe zu kultivieren.
Ich habe selbst anfangs den Begriff Bipartito-dividuell-zahl nicht ganz entziffern können, aber finde ihn mittlerweile ganz gut, da er beschreibt, dass es zwei Teile (einer Zahl) gibt, die in Sachen Division etwas miteinander zu tun haben. Man könnte ja diesen Begriff nehmen und ihn einfach generell als BDZ abkürzen und die Retro-Variante davon als BDZR.
Ansonsten würde ich nach nun eingehenderer Beschäftigung mit diesen Zahlen z. B. auch die Bezeichnung "selbstrationale Zahl" und für die Retro-Variante die Bezeichnung "selbstrationale Reziprokzahl" ganz gut finden.
Selbstrationale Zahl soll dabei ausdrücken, dass es nicht um eine klassische rationale Zahl geht wie z. B. $\frac{2}{5}$, sondern um eine natürliche Zahl, die ihren Divisionsstrich sozusagen selbst mitbringt, indem sie sich selbst in Zähler und Nenner zerstückelt mit ganzzahligem Ergebnis. Bei der Retro-Variante ist es dann der reziproke Wert dieser Zerstückelung in zwei Teile ("hinten dividiert durch vorne" anstatt "vorne dividiert durch hinten").
Und um z. B. eine Fünffachzahl zu beschreiben, könnte man dann sagen "selbstrationale Fünffach-Zahl" bzw. "selbstrationale Fünffach-Reziprokzahl".
Aber vielleicht gibt es ja auch noch andere Ideen der Benennung (vielleicht auch noch einfachere, griffigere, nicht zu sperrige), auf deren Basis sich dann eine gewisse Mathematik aufbauen lässt, wobei polygamma ja schon einige Vorarbeit geleistet hat.
LG Primentus
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.38 begonnen.]
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Primentus
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| Beitrag No.42, eingetragen 2023-06-07
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\quoteon(2023-06-07 00:11 - cramilu in Beitrag No. 39)
Ich persönlich erachte \(0\cdot n\) , \(1\cdot n\) , \(0\div n\) , \(n\div n\) ,
\(n\div 1\) , \(n^0\) und \(n^1\) als trivial .
\quoteoff
Hallo cramilu,
ok, so können wir das gerne handhaben. Ist nur wichtig, dass wir das alle einheitlich betrachten. Dann weiß ich nun Bescheid - danke.
LG Primentus
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Primentus
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| Beitrag No.43, eingetragen 2023-06-07
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\quoteon(2023-06-07 00:11 - cramilu in Beitrag No. 39)
Deep-Thought-Zahlen
und Eth-Zahlen als Quasi-Kürzel. 😉
\quoteoff
Ok, mit "Eth-Zahl" und (als Retro-Variante) "inverse Eth-Zahl" kann ich mich auch sehr gut anfreunden - das ist kurz und bündig.
LG Primentus
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cramilu
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 | Beitrag No.44, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-07
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Seien \(d\) , \(p\) und \(s\) positive natürliche Zahlen (\(d,p,s\in\mathbb{N}_+\)),
nenne dabei \(d\) die Anzahl an Digitalstellen von \(s\) und lasse
sich \(p\) nicht-trivial ganzzahlig durch \(s\) teilen (\(\frac{p}{s}\in\mathbb{N}_+\setminus\{1,p\}\)),
so heißen \(\eth=p\cdot10^d+s\) Deep-Thought-Zahl oder Eth-Zahl ,
\(p\) Präfix von \(\eth\) , \(s\) Suffix von \(\eth\) und \(\left(\eth_i\right)_{i\in\mathbb{N}_+}=(\eth_1,\eth_2,...)\)
Deep-Thought-Folge oder Eth-Folge mit \(\eth_1=\) 42 .
Ist das formal genügend? 😎
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polygamma
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| Beitrag No.45, eingetragen 2023-06-07
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Hey, cramilu :)
\quoteon(2023-06-07 14:13 - cramilu in Beitrag No. 44)
und lasse sich \(p\) nicht-trivial ganzzahlig durch \(s\) teilen (\(\frac{p}{s}\in\mathbb{N}_+\setminus\{1,p\}\))
\quoteoff
Ich sehe $\setminus\{1,p\}$ als eine "zusätzliche Bedingung", die die formale Definition erst einmal verkompliziert.
Wie wir festgestellt haben, ist die Mathematik hinter Eth-Zahlen sowieso nicht trivial, also sollte man es vielleicht so leicht wie nur irgendwie möglich halten?
Ich wäre also dafür, auch die "trivialen ganzzahligen Teilungen" zuzulassen.
\quoteon(2023-06-07 14:13 - cramilu in Beitrag No. 44)
$\left(\eth_i\right)_{i\in\mathbb{N}_+}=(\eth_1,\eth_2,...)$ Deep-Thought-Folge oder Eth-Folge mit \(\eth_1=\) 42
\quoteoff
Was ist $\eth_2$, $\eth_3$ etc.?
Intuitiv ergibt es Sinn, dass $\eth_2=62$ und $\eth_3=63$ gilt, aber formal finde ich das in der Definition nicht wieder.
Es wurde ja nur definiert, welche Zahlen Eth-Zahlen sind, und dass $\eth_1=42$ gilt, die Reihenfolge aller anderen Glieder der Eth-Folge finde ich in der formalen Definition jedoch nicht wieder.
Liebe Grüße
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polygamma
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| Beitrag No.46, eingetragen 2023-06-07
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PS:
\quoteon(2023-06-07 14:13 - cramilu in Beitrag No. 44)
nenne dabei \(d\) die Anzahl an Digitalstellen von \(s\)
\quoteoff
Wollen wir darauf verzichten, explizit $d$ einzuführen?
Die Anzahl der Dezimalstellen von $s\in\IN_+$ kann ja auch einfach durch $\lfloor\log_{10}s\rfloor+1$ angegeben werden.
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Primentus
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| Beitrag No.47, eingetragen 2023-06-07
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Hallo cramilu,
das mit $d$, $p$, $s$ und \(\eth\) finde ich eine sehr gute Definition.
Und dass man die Eth-Zahlen mit $\eth_{i}$ durchnummeriert, auch ohne die $i$-te Eth-Zahl auf Anhieb zu kennen.
Vielleicht könnte man die inversen Eth-Zahlen dann ja mit $\eth_{i}^{-1}$ bezeichnen.
Hallo polygamma,
zwar kann man $d$ auch mit Hilfe des Logarithmus berechnen, aber ich denke, dass über die Stellenanzahl $d$ sehr häufig gesprochen werden wird, so dass es etwas sperrig wirken könnte, anstelle dessen jedes Mal einen logarithmischen Ausdruck zu platzieren. Trotzdem kann man ja angeben, wie $d$ definiert ist.
LG Primentus
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polygamma
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| Beitrag No.48, eingetragen 2023-06-07
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Hey, Primentus!
\quoteon(2023-06-07 18:58 - Primentus in Beitrag No. 47)
zwar kann man $d$ auch mit Hilfe des Logarithmus berechnen, aber ich denke, dass über die Stellenanzahl $d$ sehr häufig gesprochen werden wird, so dass es etwas sperrig wirken könnte, anstelle dessen jedes Mal einen logarithmischen Ausdruck zu platzieren. Trotzdem kann man ja angeben, wie $d$ definiert ist.
\quoteoff
Ich habe es auch eher so gesehen, dass man natürlich festlegen kann (und sollte), dass $d := \lfloor\log_{10}s\rfloor+1$ gilt, aber das ist eben nicht notwendig, wenn man nur definieren möchte, was Eth-Zahlen sind.
Anders formuliert: Das $d$ ist nicht notwendig, um Eth-Zahlen zu definieren, und ich finde für die Definition der Eth-Zahlen macht es auch nichts einfacher, sondern eher komplizierter, weil explizit eine Variable eingeführt wird, die nicht notwendig ist.
Wenn man dann mit der Definition der Eth-Zahlen arbeiten möchte, legt man also $d := \lfloor\log_{10}s\rfloor+1$ fest, und sagt dann, dass damit per Definition von $d$ die Anzahl der Dezimalstellen von $s$ angegeben wird.
Aber eben erst an einer "späteren Stelle", und nicht schon innerhalb der Definition der Eth-Zahlen.
Vielleicht bin ich da auch nur merkwürdig, aber ich habe meine mathematischen Definitionen gerne so minimal wie nur irgendwie möglich ;D
Liebe Grüße
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Primentus
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| Beitrag No.49, eingetragen 2023-06-07
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Hallo polygamma,
ja - ok - ich habe verstanden, wie Du es meinst - nicht zu viele (zunächst) "unnötige" Variablen einführen. Da hast Du wohl recht, weil es sonst vielleicht bald zu viele Variablen werden könnten, von denen dann zu viele redundant sind.
Ja, dann schauen wir mal, was man noch so definieren oder herausfinden kann, um die Anfangsdefinition mit weiterem Formalismus anzureichern.
Im Moment sind wir aber wohl noch in einer Art Mischphase zwischen Erforschen/Entdecken dieser Zahlen und diese dann in eine Form zu "gießen".
LG Primentus
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polygamma
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| Beitrag No.50, eingetragen 2023-06-07
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\quoteon(2023-06-07 19:36 - Primentus in Beitrag No. 49)
Im Moment sind wir aber wohl noch in einer Art Mischphase zwischen Erforschen/Entdecken dieser Zahlen und diese dann in eine Form zu "gießen".
\quoteoff
Auf jeden Fall sind wir das, und ich finde diese Phase ehrlich gesagt ziemlich spannend :)
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querin
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 | Beitrag No.51, eingetragen 2023-06-07
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\quoteon(2023-06-07 18:16 - polygamma in Beitrag No. 45)
Ich wäre also dafür, auch die "trivialen ganzzahligen Teilungen" zuzulassen.
\quoteoff
das wäre dann https://oeis.org/A084906
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Primentus
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| Beitrag No.52, eingetragen 2023-06-07
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Hallo,
die Mehrfach-Eth-Zahl (z. B. Fünffach-Eth-Zahl) haben wir bislang noch nicht formell definiert.
Man könnte sagen:
Die $i$-te k-fach-Eth-Zahl $\eth_{i,k}$ definiert sich über $k$ verschiedene $d_{k}$ bzw. $d_{i,k}$ mit ihrem jeweils zugehörigen $s_{k}$ bzw. $s_{i,k}$ mit $k\in\{1,2,...,k\}$, welche es zu ein- und demselben $p$ bzw. $p_{i}$ derart gibt, dass $\eth_{i,1}=\eth_{i,2}=...=\eth_{i,k}$.
LG Primentus
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.49 begonnen.]
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Primentus
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| Beitrag No.53, eingetragen 2023-06-07
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\quoteon(2023-06-07 19:42 - polygamma in Beitrag No. 50)
Auf jeden Fall sind wir das, und ich finde diese Phase ehrlich gesagt ziemlich spannend :)
\quoteoff
Ja, das ist sie definitiv. 🙂
LG Primentus
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polygamma
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| Beitrag No.54, eingetragen 2023-06-07
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Hey, querin!
\quoteon(2023-06-07 19:54 - querin in Beitrag No. 51)
\quoteon(2023-06-07 18:16 - polygamma in Beitrag No. 45)
Ich wäre also dafür, auch die "trivialen ganzzahligen Teilungen" zuzulassen.
\quoteoff
das wäre dann https://oeis.org/A084906
\quoteoff
Interessant! Wir kommen also langsam dort an, wo gedanklich auch schon andere Menschen waren ;D
Man könnte dann ja mit A084906 starten, und darauf basierend eine weitere Folge konstruieren, die eben nicht diese "trivialen ganzzahligen Teilungen" zulässt.
Dazu muss man unterm Strich ja nur A084906 nehmen, und die Zahlen "rausrechnen", die ausschließlich durch "triviale ganzzahlige Teilungen" entstanden sind.
Das kann man schön als separate Aufgabe betrachten, genau diese Zahlen zu finden.
Liebe Grüße
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polygamma
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| Beitrag No.55, eingetragen 2023-06-08
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Hallo zusammen!
Ich möchte auch nochmal konstruktiv an einer formalen Definition mitwirken.
Ich mag es gerne abstrakt, also versuche ich mich mal an einer Definition, die relativ allumfassend ist, sodass wir damit alle unserer Ideen mathematisch abbilden können :)
Sei $n\in\IN_{\geq1}$ und sei $\Phi(n,\,x)$ ein Prädikat
Wir definieren zwei Funktionen $$p(n,\,x) := \left\lfloor\frac{n}{10^x}\right\rfloor$$ und $$s(n,\,x) := n\bmod10^x$$
Wir definieren eine Menge (mit eckigen Klammern $\langle\,\rangle$ wird ein Tupel definiert) $$\eth^\Phi_n := \left\{\left\langle p(n,\,k),\,s(n,\,k)\right\rangle : k\in\IN_{\geq1} \land k\leq\left\lfloor\log_{10}n\right\rfloor \land s(n,\,k) \mid p(n,\,k) \land \Phi(n,\,k)\right\}$$
Eth-Zahlen werden nun über die Kardinalität von $\eth^\Phi_n$ definiert.
Eine Zahl $n$ ist genau dann Eth-Zahl, wenn $|\eth^\Phi_n| > 0$.
Die "Mehrfachheit" der Eth-Zahl ist einfach nur $|\eth^\Phi_n|$.
Die Tupel aus $\eth^\Phi_n$ enthalten die Präfixe und Suffixe der Eth-Zahlen.
Je nach Definition von $\Phi$ erhalten wir unterschiedliche Definitionen der Eth-Zahlen.
Fangen wir mal ganz simpel an. Sei $\Phi(n,\,x)$ immer wahr ;D
Damit haben wir auch schon https://oeis.org/A084906 :)
\sourceon python
from math import floor, log10
import requests
def p(n, x):
return floor(n / 10 ** x)
def s(n, x):
return n % 10 ** x
def eth_set(n, phi):
return {
(p(n, k), s(n, k))
for k in range(1, floor(log10(n)) + 1)
if s(n, k) > 0 and p(n, k) % s(n, k) == 0 and phi(n, k)
}
if __name__ == "__main__":
oeis_eth_numbers = [
int(line.split()[1]) for line in requests.get("https://oeis.org/A084906/b084906.txt").text.splitlines()
]
our_eth_numbers, n = [], 1
while len(our_eth_numbers) < len(oeis_eth_numbers):
if len(eth_set(n, lambda n, x: True)) > 0:
our_eth_numbers.append(n)
n += 1
print(f"Did we get the same results as A084906 on OEIS? {oeis_eth_numbers == our_eth_numbers}")
\sourceoff
\sourceon
Did we get the same results as A084906 on OEIS? True
\sourceoff
Liebe Grüße
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cramilu
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| Beitrag No.56, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Seien \(p\) eine zusammengesetzte Zahl und \(s\) einer ihrer
nicht-trivialen Teiler, so heißen \(\eth\,=\,p\cdot10^{\lfloor \text{lg}\,s\rfloor+1}+s\)
Deep-Thought-Zahl oder Eth-Zahl , \(p\) Präfix von \(\eth\) ,
\(s\) Suffix von \(\eth\) und die streng monoton wachsende Folge
\(\left(\eth_i\right)_{i\in\mathbb{N}_+}=(\eth_1,\eth_2,...)\) Deep-Thought-Folge oder Eth-Folge
mit \(\eth_1=\) 42 .
Ich bin da durchaus auch für Minimalismus. Allgemein, weil
mindestens eine hinreichend formale, effektive Definition
unerlässlich ist. Semantisch, weil es für den Anfang genügt.
Darüber hinaus können wir das gerne konstruktiv entwickeln.
@querin:
Mit OEIS - A084906 warst Du wieder einmal findig fündig. 😉
Analog zu dort könnten wir entsprechend formulieren:
Natural numbers with at least one place in their decimal
representation to insert a division operator such that the
division is non-trivial and will result in an integer.
@Primentus:
Mehrfach-Eth-Zahlen könnte man formal spezifizieren
über die Mächtigkeit der Menge unterschiedlicher Paare
(\(p_i,s_i\)) , aus denen sie sich jeweils bilden lassen.
@polygamma:
Gegen Deine Vorliebe für Abstraktion ist nichts einzuwenden.
Allerdings birgt sie formales Abschreckungspotenzial. 😉
Weitere Betrachtung solcher Art sei Dir indes unbenommen!
Tatsächlich könnten wir bisherige Untersuchungsansätze
zunächst auf OEIS - A084906 anwenden, um zu ergründen,
wie sich dann die engere Betrachtung nicht-trivialer Teilung
auswirkt.
Außerdem darf ja der Zahlenwert \(4{,}8955[2996163...]\) daraufhin
'abgeklopft' werden, wie er ggf. mit \(e\), \(\pi\), \(\Phi\) oder sonstigem
in Verbindung zu bringen ist.
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polygamma
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| Beitrag No.57, eingetragen 2023-06-09
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Hallo zusammen!
\quoteon(2023-06-08 04:15 - cramilu in Beitrag No. 56)
@polygamma:
Gegen Deine Vorliebe für Abstraktion ist nichts einzuwenden.
Allerdings birgt sie formales Abschreckungspotenzial. 😉
\quoteoff
Ich versuche mal ein bisschen zu erklären, warum ich die Definition so gewählt habe, wie ich sie gewählt habe :)
Meine Definition:
\quoteon(2023-06-08 01:22 - polygamma in Beitrag No. 55)
Sei $n\in\IN_{\geq1}$ und sei $\Phi(n,\,x)$ ein Prädikat
Wir definieren zwei Funktionen $$p(n,\,x) := \left\lfloor\frac{n}{10^x}\right\rfloor$$ und $$s(n,\,x) := n\bmod10^x$$
Wir definieren eine Menge (mit eckigen Klammern $\langle\,\rangle$ wird ein Tupel definiert) $$\eth^\Phi_n := \left\{\left\langle p(n,\,k),\,s(n,\,k)\right\rangle : k\in\IN_{\geq1} \land k\leq\left\lfloor\log_{10}n\right\rfloor \land s(n,\,k) \mid p(n,\,k) \land \Phi(n,\,k)\right\}$$
Eth-Zahlen werden nun über die Kardinalität von $\eth^\Phi_n$ definiert.
Eine Zahl $n$ ist genau dann Eth-Zahl, wenn $|\eth^\Phi_n| > 0$.
Die "Mehrfachheit" der Eth-Zahl ist einfach nur $|\eth^\Phi_n|$.
Die Tupel aus $\eth^\Phi_n$ enthalten die Präfixe und Suffixe der Eth-Zahlen.
Je nach Definition von $\Phi$ erhalten wir unterschiedliche Definitionen der Eth-Zahlen.
\quoteoff
Dem gegenüber stelle ich die aktuelle Definition von cramilu:\quoteon(2023-06-08 04:15 - cramilu in Beitrag No. 56)
Seien \(p\) eine zusammengesetzte Zahl und \(s\) einer ihrer
nicht-trivialen Teiler, so heißen \(\eth\,=\,p\cdot10^{\lfloor \text{lg}\,s\rfloor+1}+s\)
Deep-Thought-Zahl oder Eth-Zahl , \(p\) Präfix von \(\eth\) ,
\(s\) Suffix von \(\eth\)
\quoteoff
Zuerst einmal war es mir wichtig, dass die Definition es erlaubt, direkt eine Aussage darüber treffen zu können, ob eine gegebene Zahl $n\in\IN_{\geq1}$ eine Eth-Zahl ist, oder nicht.
Mit meiner Definition bilde ich zu gegebenem $n$ und gegebenem Prädikat $\Phi$ die Menge $\eth^\Phi_n$ und betrachte die Kardinalität von $\eth^\Phi_n$ - fertig.
Mit der Definition von cramilu ist dies nicht direkt möglich.
Der Unterschied ist letztendlich der, dass cramilu mit seiner Definition Eth-Zahlen konstruiert, ich hingegen zerlege gegebene Zahlen, und untersuche darüber, ob sie Eth-Zahlen sind oder nicht.
Ich würde vielleicht sagen, dass die Definition von cramilu mehr eine Art "Konstruktionsvorschrift" ist, als eine "Definition".
Das meine ich nicht wertend, dass das eine besser oder schlechter wäre als das andere, aber ich tendiere eher dazu, innerhalb einer Definition konkret angeben zu wollen, wie man feststellen kann, ob ein gegebenes $n$ eine Eth-Zahl ist oder nicht.
Als Zweites war es mir wichtig, auf eine intuitive Art und Weise das Konzept der "Mehrfachheit" der Eth-Zahlen mit einzubinden.
Innerhalb der Definition von cramilu kommt dieses Konzept nicht vor.
Mit meiner Definition ist es einfach nur die Kardinalität von $\eth^\Phi_n$ - fertig.
Dadurch, dass eine Eth-Zahl mit meiner Definition einfach nur darüber definiert ist, dass die Kardinalität von $\eth^\Phi_n > 0$ sein muss, empfinde ich das als intuitiv.
Als Drittes wollte ich gerne eine Art "Algorithmus" mit in der Definition verpacken, um direkt sinnvolle Dinge mitzuberechnen, indem man einfach nur die Definition anwendet, und darüber hinaus nichts weiter tut.
Ich meine damit konkret die Tupel $\left\langle p(n,\,k),\,s(n,\,k)\right\rangle$, da sie Präfix und Suffix enthalten.
Indem man also die Definition anwendet, um herauszufinden, ob $n$ eine Eth-Zahl ist, hat man direkt Präfixe und Suffixe mitberechnet, und kann damit weiterarbeiten, sollte man sie für irgendetwas benötigen.
Es fällt einfach als "Nebenprodukt" ab, indem einfach nur stumpf die Definition betrachtet wird.
Als Viertes sollte der "Algorithmus" so sein, dass er gut zur Informatik passt, um ihn simpel in Programmiersprachen umsetzen zu können.
Ich meine konkret den Teil $$k\in\IN_{\geq1} \land k\leq\left\lfloor\log_{10}n\right\rfloor \land s(n,\,k) \mid p(n,\,k) \land \Phi(n,\,k)$$
$k$ ist einfach nur eine "Laufvariable" von $1$ bis $\left\lfloor\log_{10}n\right\rfloor$.
$s(n,\,k) \mid p(n,\,k) \land \Phi(n,\,k)$ ist eine simple logische Bedingung, die auch fast 1 zu 1 in gängigen Programmiersprachen umgesetzt werden kann.
Als Fünftes wollte ich die Möglichkeit einbauen "beliebig" auf der Definition aufzubauen, um verschiedene Arten von Eth-Zahlen untersuchen zu können.
In Bezug auf diesen Thread ist damit vor allem das Konzept der "trivialen bzw. nicht-trivialen ganzzahligen Teilungen" gemeint.
Gleichzeitig sollte die Definition aber so sein, dass damit "noch mehr" abgedeckt werden kann, sofern gewünscht.
Hier geht es nun also um das Prädikat $\Phi(n,\,x)$.
Das mag vielleicht erst einmal sehr, sehr abstrakt und überambitioniert wirken, ich denke jedoch, dass das sehr hilfreich ist (und auch eigentlich überhaupt nicht kompliziert).
Ich gehe nun einmal im Detail auf $\Phi$ ein.
Wie ich schon in https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=262547&post_id=1908504 gezeigt hatte, erhält man https://oeis.org/A084906 indem man definiert, dass $\Phi(n,\,x)$ immer wahr ist.
Das ist die simpelste Definition, die man wählen kann.
$\Phi(n,\,x)$ immer falsch ergibt keinen Sinn, da wir dann immer nur $\eth^\Phi_n=\emptyset$ erhalten.
Ich möchte nun zeigen, wie man $\Phi(n,\,x)$ definieren kann, um Eth-Zahlen so zu definieren, wie wir das hier im Thread aktuell tun. Ich beziehe mich also auf:
\quoteon(2023-06-01 20:52 - cramilu in Beitrag No. 2)
die Ziffernfolge der Zahl muss derart in ein vorderes
Präfix- und ein hinteres Suffix-Grüppchen geteilt werden
können, dass
a) jedes der Grüppchen mindestens eine Ziffer enthält,
b) zwischen den beiden Grüppchen keine Ziffer übrig bleibt,
c) keines der beiden Grüppchen mit einer \(0\) beginnt, und
d) die Zahl aus den Ziffern des hinteren Suffix-Grüppchens
jene aus den Ziffern des vorderen Präfix-Grüppchens nicht-
trivial ganzzahlig teilt.
\quoteoff
\quoteon(2023-06-07 00:11 - cramilu in Beitrag No. 39)
Ich persönlich erachte \(0\cdot n\) , \(1\cdot n\) , \(0\div n\) , \(n\div n\) ,
\(n\div 1\) , \(n^0\) und \(n^1\) als trivial .
\quoteoff
Die Definition lautet $$\Phi(n,\,x):\Longleftrightarrow 1 < s(n,\,x) \neq p(n,\,x) \land x=\left\lfloor\log_{10}s(n,\,x)\right\rfloor+1$$
In Code sieht das wie folgt aus:
\sourceon python
from collections import defaultdict
from math import floor, log10
def p(n, x):
return floor(n / 10 ** x)
def s(n, x):
return n % 10 ** x
def phi(n, x):
return 1 < s(n, x) != p(n, x) and x == floor(log10(s(n, x))) + 1
def eth_set(n, phi):
return {
(p(n, k), s(n, k))
for k in range(1, floor(log10(n)) + 1)
if phi(n, k) and p(n, k) % s(n, k) == 0
}
if __name__ == "__main__":
max_n, eth_numbers_total = 999999, 0
eth_numbers = defaultdict(list)
for n in range(1, max_n + 1):
eth = eth_set(n, phi)
if len(eth) > 0:
eth_numbers_total += 1
eth_numbers[len(eth)].append(n)
print(f"Found {eth_numbers_total} Eth-numbers <= {max_n}")
for card, n_list in eth_numbers.items():
print(f"Found {len(n_list)} Eth-numbers <= {max_n} with {card} non-trivial integer division(s)")
\sourceoff
Und damit haben wir wieder Ergebnisse, die wir bereits kennen :)
\sourceon
Found 203002 Eth-numbers <= 999999
Found 198751 Eth-numbers <= 999999 with 1 non-trivial integer division(s)
Found 4241 Eth-numbers <= 999999 with 2 non-trivial integer division(s)
Found 10 Eth-numbers <= 999999 with 3 non-trivial integer division(s)
\sourceoff
\quoteon(2023-06-01 23:38 - Primentus in Beitrag No. 4)
Bis 1 Million sind es 4241 Zahlen [mit zwei Möglichkeiten] (na da taucht witzigerweise wieder die 42 auf).
Ab 6stelligen Zahlen gibt es übrigens erstmals Zahlen, bei denen es drei Möglichkeiten der Teilung gibt. Bis 1 Million sind es genau 10 Stück
\quoteoff
Liebe Grüße
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Primentus
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| Beitrag No.58, eingetragen 2023-06-09
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Hallo polygamma,
das mit dem Prädikat hatte ich zunächst nicht ganz verstanden.
Aber so wie Du Deinen bisherigen Formalismus nun erklärt und dargestellt hast, klingt er für mich auf jeden Fall gut durchdacht.
Und viel mehr können wir glaube ich zunächst noch gar nicht formulieren, da wir noch zu wenig wissen über die Eth-Zahlen und inversen Eth-Zahlen.
Ohne die Teilbarkeit der nächsten natürlichen Zahlen ausgehend von einer bestimmten Eth-Zahl zu prüfen bzw. durchzuführen, weiß man gar nicht, welche die nächste Eth-Zahl sein wird.
Nun finde ich ist die Frage: wie kann man vorgehen, um noch mehr über die Eth-Zahlen herauszufinden? Gibt es vielleicht sogar (was aber sehr schwierig ist) auch ohne die Teilbarkeit der jeweils nächsten natürlichen Zahlen zu prüfen, eine Möglichkeit, die nächste Eth-Zahl zu ermitteln?
Hallo cramilu,
zum Wert, der sich in Richtung möglicher Grenzwert bewegt ($4\,8955...$) muss man sicherlich noch sagen, dass man nicht genau weiß, wie weit dieser Wert noch sinkt. Daher ist es sehr schwierig, eine eventuelle Abhängigkeit zu $\textrm{e}$ oder $\pi$ zu formulieren. Oder hat dieser Wert schon finalen Charakter?
LG Primentus
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polygamma
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| Beitrag No.59, eingetragen 2023-06-09
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Hier stand Quatsch, es ist spät, ich gehe ins Bett ;D
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cramilu
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| Beitrag No.60, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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Guten Morgen polygamma,
danke für Deine aufschlussreichen Ausführungen!
Dass es sich bei meinem Definitionsanliegen zunächst
um eine konstruktive Vorschrift handelt, sehe ich genauso.
Deine Betrachtung ist analytisch und dabei ambitioniert.
Da kann Abstraktion nicht ausbleiben. Unbenommen.
Die gedankliche Tiefe darin beeindruckt mich, aber aus dem
Stegreif kann ich da aktuell nicht mithalten; ich bin für mich
noch in dem Stadium, wo ich überhaupt über das vermeintlich
besondere Wesen dieser Zahlen nachdenke. Deep Thoughts 😉
@Primentus, freilich handelt es sich bei \(4{,}8955...\) bzw.
\(1/4{,}8955...\approx0{,}20427\) bislang um eine bloße Kandidatin für
einen denkbaren Konvergenzwert. Am Ende könnte es auch
auf eine ultra-langsame Divergenz hinauslaufen. Da sich der
Wert jedoch mit höheren Größenordnungen von \(n\) ständig
verkleinert und dabei jenes Verkleinerungsmaß ebenfalls
abnimmt, scheinen mir beides deutliche Hinweise zu sein.
Bei der anfänglichen Erstellung der Folge war ich fürs Präfix
\(p\) schlicht aufsteigend die Nicht-Primzahlen durchgegangen
und hatte dann jeweils einen der Primfaktoren als Suffix \(s\)
angehängt. Daraus etwas über die kombinatorischen Möglich-
keiten bei steigender Stellenanzahl für Präfix und Suffix ab-
leiten zu wollen, erweist sich bis dato als unfruchtbar... 🤔
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Primentus
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| Beitrag No.61, eingetragen 2023-06-09
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Hallo cramilu,
ja, ich denke auch, dass die Eth-Folge eher konvergiert als divergiert. Ein grundsätzliches Sinken der Quotientenwerte kann man definitiv beobachten, auch wenn die Werte zwischendurch immer wieder minimal steigen, ehe sie dann erneut sinken. Aber dieses Sinken scheint in der Tat nur sehr sehr langsam vonstatten zu gehen. Über den Wert, gegen den die Folge konvergieren könnte, bin ich mir noch zu unsicher, um bereits über eine eventuelle Abhängigkeit von $\pi$ oder $\textrm{e}$ zu spekulieren.
Es ist auch schon mal eine sehr gute Erkenntnis, dass Primzahlen offenbar generell keine (nicht-trivialen) Eth-Zahlen sein können. Zumindest habe ich noch kein entsprechendes Gegenbeispiel gefunden und bei der Art der Teilung liegt es auch nahe, dass Primzahlen die (nicht-triviale) Eth-Eigenschaft verhindern. Ich überlegte bereits, ob man Erkenntnisse daraus gewinnen kann, wenn man all jene Zahlen betrachtet, die weder Eth-Zahl noch Primzahl sind - sozusagen alle diesbezüglich übrig gebliebenen Zahlen. Aber unter den ersten 10000 natürlichen Zahlen sind dies bereits 6866 Zahlen (gegenüber 1905 Eth-Zahlen und 1229 Primzahlen). Es ist also die größte dieser drei Zahlengruppen.
Das Anhängen von Primfaktoren an eine zugrunde liegende Zahl, wie Du es bereits ausprobiert hast, könnte vielleicht ein interessanter Ansatz sein. Allerdings vermute ich spontan, dass hierdurch vielleicht mehr Primzahlen als Eth-Zahlen entstehen. Aber vielleicht kann man das ja noch genauer untersuchen.
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.62, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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Guten Abend Primentus,
sowohl auf Lemmaki wie Lemma meines Eröffnungsbeitrages
hätte ich mir schon längst erwartet, dass einer der Foristen
deren Banalität durch kurze, knackige formale Nachweise be-
stätigt. tactac hatte das im Schwätz bereits abgefrühstückt. 😉
Sei gemäß meinen vorhergehenden Definitionen \(\eth\) Eth-Zahl.
Dann ist \(\eth\,=\,p\cdot10^{\lfloor \text{lg}\,s\rfloor+1}+s\) mit \(\frac{p}{s}=q\in\mathbb{N}_+\setminus\{1,p\}\) und
\(1\,1\) , also \(\eth\) nicht prim.
Mit anderen Worten: Ist ein Präfix einer Eth-Zahl \(\eth\) durch das
korrespondierende Suffix nicht-trivial teilbar, so auch \(\eth\) selber.
Zahlenmengentheoretisch birgt das durchaus Potenzial.
Sei \(P\subset\mathbb{N}_+\) die Menge aller Primzahlen. Dann ließe sich zunächst
mit \(R_1=\mathbb{N}_+\setminus P\) die Restmenge an Nicht-Primzahlen bezeichnen.
Sei nun \(\text{–}\!\!\!D\) die Menge aller Eth-Zahlen (oder/und sogar samt der
inversen) mit \(\text{–}\!\!\!D\cap P=\emptyset\) . Also bliebe mit \(R_2=\mathbb{N}_+\setminus\left(\text{–}\!\!\!D\cup P\right)\) eine
neue, kleinere Restmenge an 'noch stinknormaleren' Zahlen...
Wie groß war noch gleich für immer größer werdende \(n\) der Anteil
der Primzahlen bis dahin an allen Zahlen bis dahin?
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Primentus
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| Beitrag No.63, eingetragen 2023-06-09
|
Hallo cramilu,
naja, man kann sich nicht über alles gleichzeitig Gedanken machen. Ich war im Moment auch in einer Phase, wo ich am überlegen war, wie man jetzt am besten weitermachen könnte, um mehr über Eth-Zahlen bzw. inverse Eth-Zahlen herauszufinden.
Es wäre nur grundsätzlich gut, falls im Schwätz wichtige Erkenntnisse erzielt wurden, dass diese dann auch hier gepostet werden für alle, die nicht im Schwätz sind. Sonst hat man zwei parallel laufende Diskussionen, bei denen nicht alle auf dem gleichen Stand sind. Aber gut, dass man es auch formal ausdrücken kann, dass die Primalität bei Eth-Zahlen nicht gegeben sein kann.
Allerdings muss man dieser Aussage zumindest noch hinzufügen, dass dies nur für nicht-triviale Eth-Zahlen und nicht-triviale inverse Eth-Zahlen gilt. Triviale Eth-Zahlen können sehr wohl prim sein (z. B. 31, 41, 71) und triviale inverse Eth-Zahlen ebenso (z. B. 13, 17, 19).
Die von Dir definierte Menge $R_{2}$, d. h. alle natürlichen Zahlen ohne Eth-, inverse Eth- und Primzahlen ist aber auch nicht gerade klein. Unter den ersten 10000 natürlichen Zahlen sind dies noch 5389 Zahlen. Interessant, aber nicht verwunderlich ist, dass es unter den ersten 10000 natürlichen Zahlen 413 Zahlen gibt, die sowohl Eth- als auch inverse Eth-Zahl sind. Hier gibt es also Überlappungen (z. B. 242, 357, 3843, 9405, 9126).
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.64, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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Ja, klar. \(222\) müsste die kleinste Zahl sein, welche sowohl
Eth-Zahl wie auch inverse oder Retro-Eth-Zahl ist.
Es sei aber noch einmal betont, dass Eth-Zahlen per
definitionem eben nicht trivial sein sollen!
Ihre triviale Erweiterung müsste dann anders heißen
und auch gesondert betrachtet werden.
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polygamma
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| Beitrag No.65, eingetragen 2023-06-09
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\quoteon(2023-06-09 20:35 - Primentus in Beitrag No. 61)
Es ist auch schon mal eine sehr gute Erkenntnis, dass Primzahlen offenbar generell keine (nicht-trivialen) Eth-Zahlen sein können.
\quoteoff
Hier nochmal ein anderer kurzer Beweis.
Sei $n$ eine Eth-Zahl und seien $p$ und $s$ Präfix/Suffix und sei $k$ die Anzahl der Dezimalstellen von $s$.
Es gilt per Definition der Eth-Zahlen $s \mid p$ und $1 < s < p < n$ (wenn triviale Teilungen verboten sind) und $n = 10^kp+s$.
Es gilt $s \mid p \Longrightarrow s \mid 10^kp+s$ somit ist $n$ nicht prim.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.62 begonnen.]
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Primentus
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| Beitrag No.66, eingetragen 2023-06-09
|
Hallo cramilu,
ja, $222$ ist die kleinste solche Zahl.
Zuletzt finde ich war nicht ganz klar, ob bei den weiteren Betrachtungen die trivialen Eth-Zahlen (ob invers oder nicht invers) mit einbezogen werden sollen. Aber dann weiß ich nun, dass das nicht der Fall sein soll. Ist finde ich auch erstmal besser so.
Hallo polygamma,
das ist ein sehr schöner und einfacher und einleuchtender Beweis!
Die Teilbarkeit durch $s$ verhindert quasi, dass $n$ prim sein kann. Eigentlich sogar tatsächlich banal, wenn man sich das vor Augen führt. Aber als ich händisch mit einigen Zahlen jongliert habe, erschien es mir noch nicht so selbstverständlich.
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.67, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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Hallo Ihr beiden 😉
Was haltet Ihr davon...
Was [Porro-]Eth-Zahlen sein sollen, haben wir zufriedenstellend
durch konstruktive Definition 'festgenagelt'. Etwas Erkenntnis
ist auch schon vorhanden. Nennen wir die Menge aller [Porro-]
Eth-Zahlen doch ruhig \(\text{–}\!\!\!D\) \(-\) die Retro- oder inversen analog \(\overline{\text{–}\!\!\!D}\) .
Letztere überschneiden sich aber mit ersteren. 🙄
Bei trivialer Erweiterung von \(\text{–}\!\!\!D\) wären alle Zahlen, die auf "\(1\)"
enden, 'mit an Bord'. Auch unsexy. 🙄
Nachdem ich mich nun ein winziges bisschen zum Primzahlsatz
eingelesen habe, könnte es doch interessant sein, entsprechend
die Entwicklung der Eth-Zahl-Dichte zu betrachten sowie deren
Verhältnis zur Primzahl-Dichte und die Summe der beiden?
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polygamma
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| Beitrag No.68, eingetragen 2023-06-09
|
\quoteon(2023-06-09 22:27 - cramilu in Beitrag No. 64)
Es sei aber noch einmal betont, dass Eth-Zahlen per
definitionem eben nicht trivial sein sollen!
Ihre triviale Erweiterung müsste dann anders heißen
und auch gesondert betrachtet werden.
\quoteoff
Ich schreibe gerade einen etwas längeren Text (mal wieder ;D), in dem ich ein paar meiner Erkenntnisse festhalte, konkrete Arbeitsaufgaben definiere etc.
Dort betrachte ich jedoch (vorerst) auch die trivialen Teilungen.
Hast du einen Vorschlag bezüglich eines Namens? Dann kann ich das bereits einarbeiten.
\quoteon(2023-06-09 23:34 - cramilu in Beitrag No. 67)
Nennen wir die Menge aller [Porro-]Eth-Zahlen doch ruhig \(\text{–}\!\!\!D\) \(-\) die Retro- oder inversen analog \(\overline{\text{–}\!\!\!D}\)
\quoteoff
Klingt gut :)
\quoteon(2023-06-09 23:34 - cramilu in Beitrag No. 67)
Nachdem ich mich nun ein winziges bisschen zum Primzahlsatz
eingelesen habe, könnte es doch interessant sein, entsprechend
die Entwicklung der Eth-Zahl-Dichte zu betrachten sowie deren
Verhältnis zur Primzahl-Dichte und die Summe der beiden?
\quoteoff
Ich erstelle aktuell ein paar eigene Identitäten (und betrachte die Teilerfunktion), das erläutere ich in dem längeren Text, an dem ich aktuell noch schreibe.
Deine Idee ist auf jeden Fall interessant, und ich denke, dass das sinnvoll ist.
Mal schauen, wie wir all unsere Ideen kombinieren können :)
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Primentus
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| Beitrag No.69, eingetragen 2023-06-10
|
Hallo cramilu, hallo polygamma,
ich wäre ja eher dafür, dass wir die trivialen Zahlen beiseite lassen, da sie die eigentlichen Eth-Zahlen zu sehr "verwässern".
Die Dichte der (nicht-inversen und inversen) Eth-Zahlen kann man sich sicherlich mal ansehen, und ansonsten bin ich sehr gespannt, welchen Text Du, polygamma, für uns parat hast, der offenbar die Teilerfunktion miteinbezieht.
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.70, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Fein, fein...
dann noch zwei Banalitäten, die mir schon begleitend
durch den Kopf gegangen sind:
Eth-Zahlen sind streng an das Dezimalsystem geknüpft:
\(42_{dec}=22_{vig}=2A_{hex}=36_{duod}=46_{non}=52_{oct}=60_{sept}=110_{sen}\)
Eine denkbare Obermenge zu \(\text{–}\!\!\!D\) , die nicht-trivial suffix-
teilbaren Zahlen, deren Elemente \(n_s\) durch mindestens
eines ihrer möglichen Suffixe (ich bemühe absichtlich die
Duden-Deklination, um nicht im Lateinischen auch noch
über Mehrzahl-Genitiv sufficum oder -Ablativ sufficibus
nachdenken zu müssen) \(snicht-trivial teilbar sind,
also beispielsweise \(7\,100\) (\(7\,100\div100=71\)) erscheinen
mir als für derlei Betrachtungen ebenfalls ungeeignet;
allein daher, dass alle Zahlen auf "...\(2\)" dabei wären.
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Primentus
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| Beitrag No.71, eingetragen 2023-06-10
|
Hallo,
bezüglich der Dichte von Eth-Zahlen folgendes:
Ich stelle mal graphisch dar, wie viele Eth-Zahlen $\leq n$ es gibt, ebenso wie viele inverse Eth-Zahlen $\leq n$ als auch wie viele Zahlen, die zugleich Eth und inverse Eth sind und $\leq n$ sind.
Zu jeder der drei Rubriken zunächst die Betrachtung bis $n=1000$ und als jeweils zweiter Graph bzw. ListPlot die Betrachtung bis $n=100000$.
Interessanterweise bildet die Dichte der Eth-Zahlen eine näherungsweise, zittrige Gerade, wohingegen es bei den anderen beiden Rubriken absolut nicht banale Graphen gibt.
LG Primentus
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.69 begonnen.]
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cramilu
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| Beitrag No.72, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
|
Großartig!
Für die Eth-Zahlen, wie ich das erwartet hatte.
Kriegst Du auch eine synoptische Grafik mit der
Primzahldichte hin?
Für die inversen scheint sich das ja fast fraktal zu
entwickeln? Ob da bei ein paar Größenordnungen
mehr nochmal so ein Schnalzer drin ist? Wo etwa
liegt denn die erste deutliche Schnalzgrenze?
\(20\,500\)? Ist die Krümmung diesseits und jenseits
eher der einer Wurzel- oder Logarithmus-Kurve
ähnlich?
Von den vereinigten lässt man besser die Finger... 😄
EDIT
Ok... sowohl das mit den 'Schnalzern' wie mit der
Krümmung habe ich mir nach Hirneinschalten
selber beantworten können.
\showon
2 teilt 4, 6 und 8, also drei einstellige
3 teilt 6 und 9, also zwei einstellige
4 teilt 8, also eine einstellige
24, 26, 28, 36, 39, 48,
2 teilt 45 zweistellige von 10 bis 98
3 teilt 30 zweistellige von 12 bis 99
4 teilt 22 zweistellige von 12 bis 96
5 teilt 18 zweistellige von 10 bis 95
6 teilt 15 zweistellige von 12 bis 96
7 teilt 13 zweistellige von 14 bis 98
8 teilt 11 zweistellige von 16 bis 96
9 teilt 10 zweistellige von 18 bis 99
210, 212, 214, 216, ...
312, 315, 318, 321, ...
...
918, 927, 936, 945, ...
10 teilt 8 zweistellige von 20 bis 90
11 teilt 8 zweistellige von 22 bis 99
12 teilt 7 zweistellige von 24 bis 96
13 teilt 6 zweistellige von 26 bis 91
14 teilt 6 zweistellige von 28 bis 98
15 teilt 5 zweistellige von 30 bis 90
16 teilt 5 zweistellige von 32 bis 96
17 teilt 4 zweistellige von 34 bis 85
18 teilt 4 zweistellige von 36 bis 90
19 teilt 4 zweistellige von 38 bis 95
1020, 1030, 1040, ...
1122, 1133, 1144, ...
1224, 1236, 1248, ...
...
1938, 1957, 1976, 1995,
2 teilt 450[!] dreistellige von 100 bis 998
...
2100, 2102, 2104, 2106, ...
\showoff Es 'schnalzt' also immer ab \(210\cdot10^k\) , und die
grobe Krümmung ist die einer Wurzelkurve.
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Primentus
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| Beitrag No.73, eingetragen 2023-06-10
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Hallo cramilu,
nachfolgend ein Vergleich des Graphen der Eth-Zahlen-Dichte mit dem Graphen der Primzahldichte:
Des Weiteren der Vergleich des Graphen der inversen Eth-Zahlen-Dichte mit dem Graphen der Primzahldichte:
Und der Graph der inversen Eth-Zahlen-Dichte ähnelt ganz eindeutig mehr der Wurzelfunktion als dem Logarithmus - siehe nachfolgender Vergleich der Graphen:
LG Primentus
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Primentus
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| Beitrag No.74, eingetragen 2023-06-10
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Hallo cramilu,
ja, das mit den Schnalzern dürfte soweit stimmen.
LG Primentus
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polygamma
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| Beitrag No.75, eingetragen 2023-06-10
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Hallo zusammen!
\quoteon(2023-06-09 23:46 - polygamma in Beitrag No. 68)
Ich schreibe gerade einen etwas längeren Text (mal wieder ;D), in dem ich ein paar meiner Erkenntnisse festhalte, konkrete Arbeitsaufgaben definiere etc.
\quoteoff
Leider werde ich noch etwas Zeit benötigen, um den Text fertigzustellen.
Während des Schreibens kommen mir immer wieder neue und neue Ideen, die ich dann verfolge, um sie zu verifizieren oder zu falsifizieren.
Man könnte sagen, dass meine mathematischen Erkenntnisse noch nicht konvergiert sind ;D
Um ein Beispiel zu geben, was ich damit meine:
Wir definieren $$\Phi(n,\,x):\Longleftrightarrow x=\left\lfloor\log_{10}s(n,\,x)\right\rfloor+1$$
Sei $\hat{n}\in\IN_{\geq1}$ und gelte $\exists k\in\IN_{\geq2}:\hat{n}=10^k-1$
Anders formuliert: $\hat{n}$ besteht ausschließlich aus $9$en in Dezimaldarstellung und $k$ ist die Anzahl der Dezimalstellen von $\hat{n}$.
Es folgt $$\sum_{r=1}^\hat{n}|\eth^\Phi_r|=\sum_{p=1}^{\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor}\sum_{q=10^{p-1}}^{10^p-1}\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{\hat{n}}{10^p}\right\rfloor}{q}\right\rfloor$$
Das ist jetzt für Eth-Zahlen, die auch die trivialen Teilungen beinhalten.
Alternativ biete ich das Folgende an (für die "richtigen" Eth-Zahlen d.h. ohne triviale Teilungen): $$\Phi(n,\,x):\Longleftrightarrow 1 < s(n,\,x) \neq p(n,\,x) \land x=\left\lfloor\log_{10}s(n,\,x)\right\rfloor+1$$
Es folgt $$\sum_{r=1}^\hat{n}|\eth^\Phi_r|=\sum_{p=1}^{\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor}\sum_{q=\max\left(2,\,10^{p-1}\right)}^{10^p-1}\left(\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{\hat{n}}{10^p}\right\rfloor}{q}\right\rfloor-1\right)$$
Man sieht denke ich, warum ich zuerst in meinen mathematischen Betrachtungen die trivialen Teilungen zulassen möchte, die resultierenden Formeln sind etwas simpler.
Man sieht aber auch, dass man die resultierenden Formeln abändern kann, um triviale Teilungen auszuschließen, ich verzichte nur vorerst darauf.
Ich erinnere in diesem Kontext auch noch einmal an die folgende Frage, die noch nicht beantwortet wurde :)
\quoteon(2023-06-09 23:46 - polygamma in Beitrag No. 68)
Ich schreibe gerade einen etwas längeren Text (mal wieder ;D), in dem ich ein paar meiner Erkenntnisse festhalte, konkrete Arbeitsaufgaben definiere etc.
Dort betrachte ich jedoch (vorerst) auch die trivialen Teilungen.
Hast du einen Vorschlag bezüglich eines Namens? Dann kann ich das bereits einarbeiten.
\quoteoff
Jedenfalls: In meinem Kopf bildet sich eine Formel, die eine solche Angabe für alle $n\in\IN_{\geq1}$ erlaubt (also nicht nur bestehend aus $9$en in Dezimaldarstellung).
Stellt sich die Frage, was die Formel soll: Sie gibt nicht an, wie viele Eth-Zahlen existieren, sondern summiert stattdessen die "Mehrfachheiten" der Eth-Zahlen auf.
Will man das nutzen, um zu bestimmen, wie viele Eth-Zahlen existieren, muss man "nur" bestimmen, welche Eth-Zahlen "Mehrfachheiten" $>1$ besitzen, und diese "rausrechnen".
Da sind wir dann z. B. bei den diophantischen Gleichungen, von denen ich mal geschrieben hatte.
Weiterhin habe ich nun aber eine Idee im Kopf, wie man das Problem auch noch angehen kann, unterm Strich eine äquivalente Beschreibung des Problems, die ggf. neue Angriffsmöglichkeiten bietet.
Und die Teilerfunktion habe ich nochmal wegen einer ganz anderen Idee im Sinn...
Es geht darum, wie viele Eth-Zahlen man aus einem gegebenem Präfix konstruieren kann, dazu betrachte ich wie viele Teiler natürliche Zahlen besitzen.
Man sieht: Ich habe viele Ideen, eigentlich alle davon noch vollständig unverifiziert, deswegen brauche ich noch etwas ;D
Liebe Grüße
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cramilu
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| Beitrag No.76, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
|
@Primentus:
Schick! Was eine Näherungsfunktion für \(\overline{\eth}_n\) angeht,
habe ich schon einen Rahmen abgesteckt mit
$$
\sqrt{\,x\;\cdot\;10^{\left\lfloor\,\text{lg}\,\frac{x}{2{,}1}\,\right\rfloor^\phantom{b}}}
$$
Der Term \(10^{\left\lfloor\,\text{lg}\,\frac{x}{2{,}1}\,\right\rfloor}\) skaliert das ganze, aber am
Wurzelargument bleibt noch zu feilen... 🤔
@polygamma:
Lass Dir ruhig Zeit mit der Fertigstellung Deines Textes
\(-\) ich habe am Verständnis des bisherigen erst einmal
genug zu knabbern. 😉
Unter OEIS - A084906 ist als vermeintlicher Urheber
Michael S. Branicky vermerkt. Mein Vorschlag ist daher,
trivialisierte Eth-Zahlen zunächst als Branicky-Zahlen
\(-\!\!\!b\) zu bezeichnen. Ihre Gesamtheit \(-\!\!\!\!B\) wäre dann eine
Obermenge zu \(\text{–}\!\!\!D\) .
|
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Primentus
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| Beitrag No.77, eingetragen 2023-06-10
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\quoteon(2023-06-10 10:34 - polygamma in Beitrag No. 75)
$$\sum_{r=1}^\hat{n}|\eth^\Phi_r|=\sum_{p=1}^{\left\lfloor\frac{k}{2}\right\rfloor}\sum_{q=\max\left(2,\,10^{p-1}\right)}^{10^p-1}\left(\left\lfloor\frac{\left\lfloor\frac{\hat{n}}{10^p}\right\rfloor}{q}\right\rfloor-1\right)$$
\quoteoff
Hallo polygamma,
ich babe Deine Formel, welche für ein beliebiges natürliches $k$ und damit $\hat{n}=10^{k}-1$ die Anzahl aller nicht-trivialen Eth-Zahlen zwischen $1$ und $10^{k}-1$ beschreibt (inklusive der Mehrfach-Eth-Zahlen, die jeweils einzeln mitgezählt werden), mal überprüft. Ich muss schon sagen - Hut ab und Respekt, sie scheint wirklich zu stimmen. Ich habe sie mit meinen eigenen Funktionen gegengecheckt, und es hat sich kein Widerspruch dabei ergeben.
$k=0: 0$ Eth-Zahlen
$k=1: 0$ Eth-Zahlen
$k=2: 6$ Eth-Zahlen
$k=3: 170$ Eth-Zahlen
$k=4: 1921$ Eth-Zahlen
$k=5: 20486$ Eth-Zahlen
$k=6: 207263$ Eth-Zahlen
Hallo cramilu,
ich habe mal versucht, für die ersten beiden wesentlichen Schnalzer Näherungsfunktionen für die inverse Eth-Zahl-Dichte zu formulieren (siehe nachfolgende grüne Graphen). Diese müsste man dann noch irgendwie kombinieren. Ich habe es jedoch noch nicht geschafft, einen ultimativen Funktionsausdruck zu formulieren, der alle Schnalzer gleichermaßen berücksichtigt.
LG Primentus
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cramilu
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| Beitrag No.78, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-13
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Habt Ihr Kreativlinge Euch schon die Entwicklungen
der Kehrwertsummationen angeschaut?
Also etwa \(\frac{1}{42}+\frac{1}{62}+\frac{1}{63}+\frac{1}{82}+...\)
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| Beitrag No.79, eingetragen 2023-06-14
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Hallo cramilu,
ehrlich gesagt noch nicht - aber jetzt wo Du es sagst, habe ich es mir mal angeschaut.
Im Moment sieht es hierbei eher nach unbegrenztem Wachstum als nach Konvergenz aus.
Die Summe der reziproken Eth-Zahlen bis $n=10^{6}$ beträgt $\approx 1,87676$ (wobei Mehrfach-Eth-Zahlen nur einmal als Summand auftauchen), und bis $n=10^{7}$ beträgt sie $\approx 2,34664$. Bis $n=10^{8}$ beträgt sie Summe $\approx 2,81668$.
Meine Vermutung ist, dass die Summe mit zunehmender Schranke $n$ zwar immer langsamer, aber dennoch stetig ansteigt. Theoretisch wäre es aber Stand jetzt noch nicht ausgeschlossen, dass die Summe vielleicht gegen $\pi$ konvergiert, was ich persönlich aber nicht glaube. Und der Wert $\textrm{e}$ ist ohnehin bereits überschritten. Und dass der Summenwert noch sinkt, ist ausgeschlossen, da es keine negativen Summanden geben wird.
LG Primentus
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