| Autor |
  Messbare Mengen |
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Radix
Senior 
Dabei seit: 20.10.2003
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 |  Themenstart: 2023-05-29
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Hallo!
https://www.matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/3460_Bild_2023-05-29_160030144.png
Das mit dem Produkt habe ich verstanden. Mein Problem liegt beim Wort "messbar". Es kommt exakt 217 mal im Skriptum vor, aber leider kein einziges Mal in einer Definition. An manchen Stellen des Skriptums ist eine Menge messbar, wenn ihr inneres und äußeres Maß gleich sind. An manchen Stellen, wenn sie messbar nach Caratheodory ist. Auf Wikipedia hingegen lese ich, dass die messbaren Mengen genau die Elemente der jeweiligen Sigmaalgebra sind.
Um welches dieser Konzepte von Messbarkeit geht es in diesem Beispiel, sodass i. bis iv. messbar sind?
Danke
Radix
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-29
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Hallo,
vermutlich fragst du dich genau das: https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=262535
LG Nico
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-29
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Wenn ich dich richtig verstehe, soll also gezeigt werden, dass A_a\el\ S\cross\ B ist?
Danke
Radix
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-05-29
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Wenn $\mathfrak S\times \mathfrak B$ deine Schreibweise für die Produkt-$\sigma$-Algebra ist, dann ja. (Die Schreibweise finde ich persönlich schlecht, denn sie suggeriert ein kartesisches Produkt).
LG Nico\(\endgroup\)
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Radix
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Dabei seit: 20.10.2003
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-29
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(a,\inf)\el\ B wunderbar
Aber warum muss menge(x\el\ \Omega|f(x)
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-05-29
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Aus der Aufgabenstellung geht das nicht hervor, aber ich würde stark vermuten, dass die Abbildung $f$ auch $(\mathfrak S,\mathfrak B)$-messbar sein soll.
LG Nico\(\endgroup\)
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Radix
Senior
Dabei seit: 20.10.2003
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-29
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OK, dann ist das kein Problem. Es ist leider nicht das erste Mal, dass in der Angabe entscheidende Voraussetzungen fehlen.
Vielen Dank
Radix
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4985
 | Beitrag No.7, eingetragen 2023-05-29
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\quoteon(2023-05-29 17:04 - nzimme10 in Beitrag No. 5)
Aus der Aufgabenstellung geht das nicht hervor, aber ich würde stark vermuten, dass die Abbildung $f$ auch $(\mathfrak S,\mathfrak B)$-messbar sein soll.
\quoteoff
\quoteon(2023-05-29 17:24 - Radix in Beitrag No. 6)
Es ist leider nicht das erste Mal, dass in der Angabe entscheidende Voraussetzungen fehlen.
\quoteoff
Da fehlt nichts. Die Schreibweise $f\colon(\Omega,\mathfrak S)\to(\mathbb R,\mathfrak B)$ statt einfach $f\colon\Omega\to\mathbb R$ bedeutet, dass $f$ $(\mathfrak S,\mathfrak B)$-messbar ist.
(Im Skript ist das die Definition 4.1 auf Seite 63.)
--zippy
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Radix
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-29
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Das ist ja toll.
Vielen Dank
Radix
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-05-29
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-05-29 18:01 - zippy in Beitrag No. 7)
Da fehlt nichts. Die Schreibweise $f\colon(\Omega,\mathfrak S)\to(\mathbb R,\mathfrak B)$ statt einfach $f\colon\Omega\to\mathbb R$ bedeutet, dass $f$ $(\mathfrak S,\mathfrak B)$-messbar ist.
\quoteoff
Klar, wenn das vorher irgendwo vereinbart wurde oder wenn klar ist, dass man die Kategorie der Messräume mit messbaren Abbildungen als Morphismen betrachtet. Ansonsten ist es höchstens implizit zu erkennen.
LG Nico\(\endgroup\)
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