| |
| Autor |
  Neue Idee zu Fermat |
|
ceta
Aktiv 
Dabei seit: 29.05.2023
Mitteilungen: 26
Wohnort: Fredersdorf
 |  Themenstart: 2023-05-29
|
Hallo und viele Grüsse an das Forum.
Neulich habe ich in einem populärwissenschaftlichen Mathematikbuch eine Beweis-Idee für den Großen Fermat gefunden und versuche gerade, diese noch etwas zu verbessern.
Vielleicht könnte ich hier noch ein paar Anregungen dazu erhalten? Oder ist das alles Unfug?
Also, der Beginn ist wie gewöhnlich: \( x^{n} + y^{n} = z^{n} \) haben keine positiven ganzzahligen Lösungen.
Jetzt substituiert man \( z = (x+u) \) und erhält somit \( x^{n} + y^{n} = (x+u)^{n} \) mit \( u \in \mathbb{N} \)
Ausserdem soll gelten \( y > x > 0 \) mit \( x \in \mathbb{N} \)
Im Folgenden möchte ich herleiten, dass in der Gleichung \( x^{n} + y^{n} = (x+u)^{n} \) unter den
gegebenen Voraussetzungen der Wert von y nicht ganzahlig sein kann.
Zunächst betrachte ich das Problem für den kleinsten möglichen Fall n=3.
Man hat dann die Gleichung \( x^{3} + y^{3} = (x+u)^{3} \) und kann die rechte Seite ausmultiplizieren:
\( x^{3} + y^{3} = x^{3} + 3ux^{2} + 3u^{2}x + u^{3} \)
Die Terme \( x^{3} \) fallen weg und ich erhalte letztlich \( y^{3} = 3ux^{2} + 3u^{2}x + u^{3} \).
Das bringt erstmal nicht viel, aber durch Ausklammern \( u^{3} \) erhalte ich die folgende Gleichung:
\( y^{3} = u^{3} \cdot{ ( 3\frac{x^{2}}{u^{2}} + 3\frac{x}{u} + 1 ) } \)
Man sieht hier folgendes:
Auf der linken Seite steht der Term \( y^{3} \), wobei y nicht ganzzahlig sein soll.
Auf der rechten Seite steht ein Produkt:
\( u^{3} \) ist laut voraussetzung auf jeden Fall eine ganzzahlige dritte Potenz,
doch der Term \( ( 3\frac{x^{2}}{u^{2}} + 3\frac{x}{u} + 1 ) \) ist das nicht.
Warum ist das so?
Ich untersuche den Zusammenhang zwischen den Variablen x und u und stelle fest,
dass immer x < u gelten muss.
Beispiel:
Setzt man in die obige Gleichung unter der Voraussetzung y > x den kleinstmöglichen Wert ein,
so ergibt sich für \( y=x+1 \) die Gleichung
\( x^{3} + (x+1)^{3} = (x+u)^{3} \)
Man kann somit u ausrechnen und erhält:
\( u = \sqrt[3]{2x^{3} + 3x^{2} + 3x +1 } -x \)
Setzt man nun den kleinsten Wert für x mit \( x=1 \) in diese Gleichung ein, dann ergibt sich
\( u = \sqrt[3]{9} -1 \) also als Ergebnis \( u \approx 1.08 > 1 \)
Somit folgt x < u und \( \frac{x}{u} < 1 \).
Der Zusammenhang x < u lässt sich für andere Werte von y > x ebenfalls zeigen.
Was bedeutet das nun für die eigentliche Fragestellung?
Betrachtet man die Gleichung \( y^{3} = u^{3} \cdot{ ( 3\frac{x^{2}}{u^{2}} + 3\frac{x}{u} + 1 ) } \)
mit den Werten für \( \frac{x}{u} < 1 \) lässt sich unter Berücksichtigung der Potenzgesetze erkennen,
dass der Wert von \( y^{3} \) niemals eine ganzzahlige dritte Potenz werden kann,
denn auf der rechten Seite der Gleichung steht ein Produkt mit:
dem ersten Faktor \( u^{3} \) (eine ganzzahlige dritte Potenz)
und dem zweiten Faktor \( 1 < ( 3\frac{x^{2}}{u^{2}} + 3\frac{x}{u} + 1 ) < 7 \)
Der zweite Faktor kann aber keine ganzzahlige dritte Potenz werden, da der nächstmögliche Wert für eine dritte Potenz die Zahl 8 ist.
Somit kann auch das gesamte Produkt keine ganzzahlige dritte Potenz werden,
woraus letztlich folgt, dass \( y = \sqrt[3]{y^{3}} \) mit den oben genannten Voraussetzungen nicht ganzzahlig sein kann.
Die Idee lässt sich wahrscheinlich für auch für \( n > 3 \) verallgemeinern.
Kann man das im Prinzip so stehen lassen?
|
 Profil
|
lula
Senior 
Dabei seit: 17.12.2007
Mitteilungen: 11548
Wohnort: Sankt Augustin NRW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-29
|
Hallo
schon an der Stelle x
|
Profil
|
zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4998
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-05-29
|
Der zweite Fehler passiert an dieser Stelle:
\quoteon(2023-05-29 18:26 - ceta im Themenstart)
[...] lässt sich unter Berücksichtigung der Potenzgesetze erkennen,
dass der Wert von \( y^{3} \) niemals eine ganzzahlige dritte Potenz werden kann,
denn auf der rechten Seite der Gleichung steht ein Produkt mit:
dem ersten Faktor \( u^{3} \) (eine ganzzahlige dritte Potenz)
und dem zweiten Faktor \( 1 < ( 3\frac{x^{2}}{u^{2}} + 3\frac{x}{u} + 1 ) < 7 \)
Der zweite Faktor kann aber keine ganzzahlige dritte Potenz werden, da der nächstmögliche Wert für eine dritte Potenz die Zahl 8 ist.
Somit kann auch das gesamte Produkt keine ganzzahlige dritte Potenz werden
\quoteoff
Aus $y^3=u^3\cdot F$ mit ganzzahligen $y$ und $u$ folgt nicht, dass der Faktor $F$ ganzzahlig sein muss.
Dieser in Fermat-Kreisen offenbar beliebte Fehlschluss wird z.B. hier erläutert.
--zippy
|
Profil
|
ceta
Aktiv
Dabei seit: 29.05.2023
Mitteilungen: 26
Wohnort: Fredersdorf
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-31
|
Vielen Dank für die schnellen Antworten.
Ich hatte nicht gedacht, dass sich noch jemand für den alten großen Fermat interessieren würde.
Mir fehlt da immer noch so eine Art einfacher und leicht verständlicher Beweis, etwa so wie beim Pythagoras, wo es ja hunderte Beweise geben soll.
Leider wäre mein Ansatz zu schön gewesen um wahr zu sein.
Der erste Fehler ist natürlich fatal und eigentlich nicht zu entschuldigen:
Ich hatte hier die Gleichung
\( u = \sqrt[3]{2x^{3} + 3x^{2} + 3x +1 } -x \)
und den Wert \( u = \sqrt[3]{9} -1 \) ausgerechnet.
Aus irgendwelchen Gründen habe ich nicht aufgepasst und im weiteren dann immer am Schluss anstatt mit \( -x \) mit einer \( -1 \) gerechnet.
Blöd von mir. Schade.
Damit ist natürlich auch alles weitere falsch.
Auf jeden Fall Danke für eure Aufmerksamkeit und Unterstützung !!
|
Profil
|
ceta hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
