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 Hausdorff und vollständig-> kompakt |
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wirhabenfragen
Neu 
Dabei seit: 31.05.2023
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2023-05-31
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Hey,
wir haben folgende Aufgabenstellung bekommen, bei der wir leider nicht weiter wissen:
Zeigen Sie: ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollsta ̈ndig ist und die Hausdorff-Eigenschaft besitzt.
Die Hinrichtung haben wir Vorlesung bewiesen.
Unsere Idee war es per Widerspruch zu machen.
Wir wissen: eine Menge X ist kompakt, g.d.w. Jede offene Überdeckung von X eine endliche Teilüberdeckung enthält. Sei nun U eine offene Überdeckung der Menge X. Wir suchen eine endliche Teilüberdeckung. Nun nehmen wir an, es existiert keine endliche Teilüberdeckung. Wir wissen jedoch, (X,d) ist vollständig. Nach Def ist jeder metrische Raum vollständig, wenn jede CF konvergiert. Da wir annehmen, dass es keine endliche Teilüberdeckung gibt, können wir eine Cauchy Folge konstruieren, die in keiner offenen Menge der Überdeckung konvergiert. Das ist ein Widerspruch.
Unser Problem hierbei ist, dass wir nicht wissen wir die Hausdorff-Eigenschaft einbeziehen sollen.
Kann uns wer da helfen?
Vielen Dank!😄
LG wirhabenfragen
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DrainingPond
Neu 
Dabei seit: 11.05.2023
Mitteilungen: 2
| Beitrag No.1, eingetragen 2023-05-31
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Hallo,
was ist denn die Hausdorff-Eigenschaft?
Ich verbinde damit, dass sich zwei verschiedene Punkte durch offene Mengen trennen lassen.
Das ist eine "ganz normale" Eigenschaft von metrischen Räumen.
Also metrische Räume haben sowieso die obige Eigenschaft, weshalb man die gar nicht extra fordern muss.
Ansonsten ist $(\mathbb{R},|\cdot |)$ ein vollständiger metrischer Raum und hat die Hausdorff-Eigenschaft, ist aber nicht kompakt.
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PhysikRabe
Senior 
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2881
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-05-31
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Willkommen auf dem Matheplaneten, wirhabenfragen!
Der Einwand von DrainingPond ist völlig korrekt. So wie es da steht, ist die Aussage falsch. Kann es sein, dass eigentlich Totalbeschränktheit gemeint ist?
Grüße,
PhysikRabe
[Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Mengentheoretische Topologie' von PhysikRabe]
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wirhabenfragen
Neu 
Dabei seit: 31.05.2023
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-05-31
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Hallo ihr beiden!
Wir haben die Hausdorff-Eigenschaft wie folgt definiert:
Sei (X,d) ein
kompakter metrischer Raum. Dann existiert fu ̈r jedes ε > 0 ein k ∈ N und Punkte p1, . . . , pk ∈ X mit U ki=1 K(pi, ε) = X.
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Mandelbluete
Senior
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 582
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.4, eingetragen 2023-05-31
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\theta}{\vartheta}
\newcommand{\fuer}{\quad\text{fuer}\quad}
\newcommand{\Sp}{\operatorname{Sp}} \)
Huhu!
Man braucht die "Hausdorff-Eigenschaft" (man nennt die eigentlich "Totalbeschränktheit", wie der Physikrabe schon gesagt hat, oder "Präkompaktheit"), um die Cauchyfolge zu konstruieren:
Sei $X = \bigcup_{i \in I} U_i$ Deine offene Überdeckung ohne endliche Teilüberdeckung. Man kann dann aufgrund der "Hausdorff-Eigenschaft" rekursiv eine Folge $(x_n)$ derart finden, daß eine absteigende Sequenz offener Kugeln
\[
B_{1}(x_1) \supseteq \cdots \supseteq B_{1/n}(x_n) \supseteq \cdots
\]
entsteht, deren sich keine von endlich vielen $U_i$ überdecken läßt (im Detail zeigen).
Nach Konstruktion ist die Folge der Mittelpunkte $(x_n)$ eine Cauchyfolge (im Detail zeigen), also aufgrund der Vollständigkeit konvergent gegen ein $x \in X$. Es ist dann $x \in U_{i_0}$ für irgendeinen Index. Dann gibt es ein $\eps > 0$ mit $B_\eps(x) \subseteq U_{i_0}$, weil $U_{i_0}$ offen ist. Wähle $N \in \N$ so groß, daß $1/n < \eps/2$ und $d(x_n,x)< \eps/2$ für alle $n \geq N$. Für diese $n$ hat man dann
\[
B_{1/n}(x_n) \subseteq B_{\eps/2}(x_n) \subseteq B_\eps(x) \subseteq U_{i_0}
\]
im Widerspruch zur Konstruktion, nach der sich die Kugeln nicht endlich überdecken lassen.
Liebe Grüße
Mandelblüte\(\endgroup\)
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wirhabenfragen
Neu
Dabei seit: 31.05.2023
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-01
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Hallo Mandelblüte!
Vielen Dank für deine Antwort. Das die Hausdorff-Eigenschaft das gleiche ist wie totalbeschränktheit war uns nicht so bewusst.
Danke für deinen Ansatz, damit werde ich jetzt hoffentlich den Beweis komplett hinbekommen!
Viele Grüße,
wirhabenfragen
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2881
Wohnort: Rabennest
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-01
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\quoteon(2023-06-01 08:13 - wirhabenfragen in Beitrag No. 5)
Das die Hausdorff-Eigenschaft das gleiche ist wie totalbeschränktheit war uns nicht so bewusst.
\quoteoff
Vorsicht, das stimmt so nicht. In diesem Fall scheint es so zu sein, aber diese Bezeichnung für Totalbeschränktheit ist unüblich und missverständlich. (Jedenfalls habe ich die Verwendung des Begriffs mit dieser Bedeutung noch nie gesehen.) Üblicherweise versteht man unter "Hausdorff-Eigenschaft" ein Trennungsaxiom, wie bereits von DrainingPond in Beitrag No. 1 erwähnt; siehe hier. Jene Eigenschaft ist für metrische Räume immer erfüllt.
Grüße,
PhysikRabe
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