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Mathematik » Stochastik und Statistik » Integration einer logarithmisch konkaven Funktion
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Universität/Hochschule Integration einer logarithmisch konkaven Funktion
MoepMaker
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  Themenstart: 2023-06-03

Liebe Community, ich habe folgendes Problem: Gegeben ist eine gaußverteilte Zufallsvariable \( \xi \sim \mathcal{N}(\mu, \sigma) \) und zwei Intervalle \([a_1, a_2] \neq [b_1, b_2]\) mit der gleichen Wahrscheinlichkeit \( k \in (0,1)\), also \[ \int_{a_1}^{a_2} \rho_{\xi}(z) dz = \int_{b_1}^{b_2} \rho_{\xi}(z) dz = k, \] wobei \(\rho_{\xi}\) die Dichtefunktion der Zufallsvariable ist. Ich möchte nun zeigen, dass jede Konvexkombination der beiden Intervallen eine größere Wahrscheinlichkeit besitzt, also für \( [c_1, c_2] = \lambda [a_1, a_2] + (1-\lambda)[b_1, b_2] \) gilt: \[ \int_{c_1}^{c_2} \rho_{\xi}(z) dz > k. \] Ich bin nicht 100% sicher, ob das überhaupt so stimmt, zumindest ist mir noch kein Gegenbeispiel eingefallen und MATLAB hat auch bei unzählbaren Tests noch kein Gegenbeispiel geliefert. Also habe ich versucht, das ganze analytisch zu Beweisen, dabei komm ich aber nicht weiter. Meine Idee war, mit der logarithmischen Konkavität der Dichtefunktion der Gaußverteilung zu arbeiten, hier mein Ansatz: Ich habe zuerst das Integral umgeschrieben zu \[ \int_{c_1}^{c_2} \rho_{\xi}(z) dz = \int_{c_1}^{c_1 + \Delta c} \rho_{\xi}(z) dz, \] wobei \( \Delta c = c_2 - c_1 \) die Länge des Intervalls ist. Mit einer Funktion \(f(x) = \Delta c\ x\ + c_1\) habe ich dann Integration mittels Substitution verwendet und komme zu \[ \int_{c_1}^{c_1 + \Delta c} \rho_{\xi}(z) dz = \int_0^1 \rho_{\xi}(\Delta c\ z + c_1) \Delta c\ dz. \] Für \( \Delta c = c_2 - c_1 \) und mit der Definition von \(c_1\) und \(c_2\) habe ich \[ \Delta c\ z + c_1 = \lambda (\Delta a\ z + a_1) + (1-\lambda)(\Delta b\ z + b_1). \] Jetzt kann ich die logarithmische Konkavität ( \( g(\lambda x + (1-\lambda) y) \geq g(x)^\lambda g(y)^{1-\lambda} \) ) der Dichtefunktion der Gaußverteilung anwenden und bekomme \[ \int_0^1 \rho_{\xi}\Big( \lambda (\Delta a\ z + a_1) + (1-\lambda)(\Delta b\ z + b_1) \Big) \Delta c\ dz \geq \int_0^1 \rho_{\xi}( \Delta a\ z + a_1 )^\lambda \rho_{\xi}( \Delta b\ z + b_1 )^{1-\lambda} \Delta c\ dz \] Hier komme ich dann nicht mehr wirklich weiter. Ich kann noch die Definition von \( \Delta c \) einsetzen und bekomme \[ \int_0^1 \rho_{\xi}( \Delta a\ z + a_1 )^\lambda \rho_{\xi}( \Delta b\ z + b_1 )^{1-\lambda} \Delta c\ dz = \lambda \int_0^1 \rho_{\xi}( \Delta a\ z + a_1 )^\lambda \rho_{\xi}( \Delta b\ z + b_1 )^{1-\lambda} \Delta a\ dz + (1-\lambda) \int_0^1 \rho_{\xi}( \Delta a\ z + a_1 )^\lambda \rho_{\xi}( \Delta b\ z + b_1 )^{1-\lambda} \Delta b\ dz \] Es sieht mir stark danach aus, dass ich das ganze mit \( \lambda\ k + (1-\lambda)\ k \) abschätzen kann, ich hab allerdings keine Idee, wie.. Dann wäre da noch die Frage, ob sich das mit \( > \) oder nur mit \( \geq \) abschätzen lässt.. Hat jemand von euch eine Idee oder evtl. auch einen Gegenbeweis? Vielen Dank für euere Hilfe, Liebe Grüße, MoepMaker

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luis52
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-03

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\newcommand{\ord}[2]{\ensuremath{#1_{(1)},\ldots,#1_{(#2)}}} \newcommand{\ordd}[2]{\ensuremath{#1_{(1)}\le#1_{(2)}\le\cdots\le#1_{(#2)}}} \newcommand{\ordstat}[2]{\ensuremath{#1_{(#2)}}} \newcommand{\ordne}[3]{\ensuremath{#1_{(1)}#3 #1_{(2)}#3\dots#3#1_{(#2)}}} \) Moin, ich weiss nicht, ob das Folgende (ohne jegliche Gewaehr) zu einem Erfolg fuehrt. 1. Ich denke, es genuegt den Fall $\mu=0$ und $\sigma=1$ zu betrachten (Standardnormalverteilung). 2. Das Rechnen mit Integralen empfinde ich als laestig. Warum nicht gleich mit der Verteilungsfunktion $\Phi$ arbeiten? 3. Sei $k\in(0,1)$. Intervalle $(\alpha,\beta)$ mit $\Phi(\beta)-\Phi(\alpha)=k$ leisten $\beta=\Phi^{-1}(k+\Phi(\alpha))$ und $\alpha<\Phi^{-1}(1-k)$. Das haette den Vorteil, dass du nur $a_1$ und $a_2$ geeignet vorgeben musst. 4. Wenn ich mich nicht vertan habe, ist dann zu zeigen \[\Phi(\lambda\Phi^{-1}(k+\Phi(a_1))+(1-\lambda)\Phi^{-1}(k+\Phi(a_2)))-\Phi(\lambda a_1+(1-\lambda) a_2)>k\,.\] \(\endgroup\)

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MoepMaker
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08

Lieber Luis, vielen Dank für deine Antwort und deinen Ansatz. Auf deine Ungleichung in 4. kann ich wieder die logarithmische Konkavität anwenden, dann habe ich \[ (k + \Phi(a_1))^\lambda \cdot (k + \Phi(a_2))^{1-\lambda} - \Phi(\lambda a_1 + (1-\lambda) a_2). \] Da die Intervalle \([a_1, a_2]\) und \([b_1,b_2]\) vorgegeben sind (nur mit der Eigenschaft, dass die Wskt gleich k ist), habe ich mehr oder weniger das gleiche Problem wie wenn ich mit den Integralen rechne, ich komme auf keine passende Abschätzung mehr.. Allerdings hat mir dein Vorschlag, mit den Verteilungsfunktionen zu rechnen, folgendermaßen weitergeholfen: Wenn ich die Bedingung \(k > 0.5\) stelle, dann weiß ich, dass \(a_1\) und \(b_1\) kleiner als 0 sein müssen (bzw. kleiner als \(\mu\) für beliebige Gaussverteilungen). Dann kann ich ausnutzen, dass \(\Phi\) im negativen Bereich konvex ist und im positiven konkav: \[ \Phi(c_2) - \Phi(c_1) = \Phi\Big( \frac{1}{2}(a_2 + b_2) \Big) - \Phi\Big( \frac{1}{2}(a_1 + b_1) \Big) \\ > \frac{1}{2}( \Phi(a_2) + \Phi(b_2) ) - \frac{1}{2}(\Phi(a_1) + \Phi(b_1) ) = k \] Das beweist mir meine Behauptung zumindest für \( k > 0.5 \), danke dafür (: Falls du (oder jemand anders) noch einen Vorschlag hat, der den Beweis auch für \(k \leq 0.5\) ermöglicht, wäre ich sehr dankbar^^ Vielen Dank und Liebe Grüße, MoepMaker

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