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| Autor |
  Gleichmäßige Stetigkeit beweisen |
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Aurel
Aktiv 
Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 111
 |  Themenstart: 2023-06-04
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Hallo,
ich würde gerne die gleichmäßige Stetigkeit der Funktion
g:\IR -> \IR gegeben durch g(x)=cases(sqrt(x),x>=0;-sqrt(-x),x<0) nachweisen.
Ich habe folgendes raus, bin mir aber ehrlich gesagt unsicher, ob das so korrekt ist und würde mich freuen, falls jemand so nett wäre und drüberschauen könnte:
Ich bin von der Definition gestartet, also
\forall\ \epsilon>0 : \exists\ \delta>0 : \forall\ x,y\el\ D
abs(x-y)<\delta => abs(g(x)-g(y))<\epsilon
Fallunterscheidung:
1) x=y inklusive dem Fall x=0 und y=0
erfüllt die Bedingung für jedes \delta,\epsilon>0 , da abs(x-y)=0 und abs(sqrt(x)-sqrt(y))=0
2) x,y >= 0 mit x!=y
abs(x-y)<\delta
abs(g(x)-g(y))=abs(sqrt(x)-sqrt(y))=abs((x-y)/(sqrt(x)+sqrt(y)) < \delta
man könnte also für ein \epsilon>0 welches vorgegeben wird, ein delta finden, was die gleichmäßige Stetigkeit liefert, indem wir \delta <=\epsilon wählen.
3) x,y <= 0 mit x!=y
abs(x-y)<\delta
abs(g(x)-g(y))=abs(-sqrt(-x)+sqrt(-y))=abs((x-y)/(sqrt(-y)-sqrt(-x))) < \delta
auch hier kann man wieder wie bei der 2) das \delta <= \epsilon wählen.
Ich hoffe es finden sich keine gravierenden Fehler hier drin und freue mich auf eure Beiträge.
BG
Aurel
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Diophant
Senior 
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10917
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
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\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo Aurel,
da kann etwas nicht stimmen, denn du kannst ja nicht einfach
\[\left|\frac{x-y}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\right|<\delta\]
annehmen.
Tipp (speziell für diese Aufgabe): versuche einmal, mit der Beziehung \(\delta=\varepsilon^2\) und der offensichtlichen Tatsache, dass die Ungleichung \(\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|\le\left|\sqrt{x}+\sqrt{y}\right|\) für nichtnegative \(x\), \(y\) immer gilt, eine Argumentation aufzubauen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Qing
Senior 
Dabei seit: 11.03.2022
Mitteilungen: 344
| Beitrag No.2, eingetragen 2023-06-04
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Hallo,
gravierende Fehler finde ich nicht, aber für mich ist der Schluss in (2), bzw. (3), warum die Wahl von $0<\delta\leq\varepsilon$ es tut, unbegründet.
Das fällt einfach so vom Himmel.
Außerdem sollte dein Beweis anfangen mit einer Wahl von $\varepsilon$.
Also sei $\varepsilon>0$ beliebig. Und finden musst du nun ein entsprechendes $\delta$, was von $\varepsilon$ abhängen darf.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Aurel
Aktiv
Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 111
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-04
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\
Hallo Diophant,
danke für die Korrektur, da hast du natüröich recht, das war falsch. Danke für die Korrektur.
So ganz komme ich leider jetzt alleine nicht drauf.
man müsste dann von abs(x-y)<\delta=\epsilon^2 die Wurzel ziehen und man erhält sqrt(abs(x-y)) < \epsilon und von hier dann auf sqrt(abs(x-y))>=abs(sqrt(abs(x))-sqrt(abs(y))) kommen, oder? Für mich sieht das so ein bisschen nach inverser Dreiecksungleichung aus, aber ich glaube die kann man wegen der Wurzel nicht einfach so anwenden, oder?
Wenn ich deinen Tipp betrachte, denke ich, man will auf die normale Dreiecksungleichung hinaus?
abs(sqrt(x)-sqrt(y))<=abs(sqrt(x)+sqrt(y)) <= abs(sqrt(x))+abs(sqrt(y))
Aber dann weiß ich nicht, wie ich weitermachen müsste.
BG
Aurel
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10917
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-04
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Hallo Aurel,
weiterer Tipp: es ist
\[\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|^2\le\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|\cdot\left|\sqrt{x}+\sqrt{y}\right|=\dotsc\]
Rechne einmal weiter, dann sollte sich der Sinn meines Hinweises erschließen lassen.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Aurel
Aktiv
Dabei seit: 07.05.2023
Mitteilungen: 111
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-04
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\
Dankeschön, jetzt habe ich es denke ich raus.
für x>=0
abs(x-y)<\delta=\epsilon^2 , also
\epsilon^2=\delta> abs(x-y)=abs(sqrt(x)-sqrt(y))*abs(sqrt(x)+sqrt(y) >= abs(sqrt(x)-sqrt(y))^2 => \epsilon=sqrt(\delta)=abs(sqrt(x)-sqrt(y))
für x<0 geht das analog, oder?
um die nicht-Lipschitz-Stetigkeit von g zu zeigen, habe ich folgendes versucht:
abs(g(x)-g(y))<=L*abs(x-y)
abs(g(x)-g(y))/abs(x-y) <=L
was für x->y zum Differentialquotienten wird und g'(y)=1/2sqrt(x)
die Ableitung wiederum wird für y->0 unendlich groß, wodurch sich keine Lipschitz-Konstante finden lässt, die die Steigung im Definitionsbereich (-\inf ,\inf) begrenzt.
Ich hoffe das ist zumindest halbwegs richtig, bin mir aber unsicher, ob ich da nicht Probleme mit x=y bekomme und wie man die lösen könnte und trotzdem noch alle Fälle betrachtet. Auf einen guten Weg ohne Ableitung komme ich nicht wirklich.
BG
Aurel
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10917
Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
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\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
\quoteon(2023-06-04 19:34 - Aurel in Beitrag No. 5)
\
Dankeschön, jetzt habe ich es denke ich raus.
für x>=0
abs(x-y)<\delta=\epsilon^2 , also
\epsilon^2=\delta> abs(x-y)=abs(sqrt(x)-sqrt(y))*abs(sqrt(x)+sqrt(y) >= abs(sqrt(x)-sqrt(y))^2 => \epsilon=sqrt(\delta)=abs(sqrt(x)-sqrt(y))
\quoteoff
Das Prinzip hast du verstanden, ich würde die Rechnung aber anders aufziehen. Es sollte ja am Ende etwas in der Art \(\left|\sqrt{x}-\sqrt{y}\right|<\varepsilon\) stehen (und das ganze in Form von nachvollziehbaren Implikationen).
\quoteon(2023-06-04 19:34 - Aurel in Beitrag No. 5)
für x<0 geht das analog, oder?
\quoteoff
Hm, da könnte man streng genommen auch über die Punktsymmetrie argumentieren. Ich bin mir hier nicht ganz sicher, aber meiner Meinung nach musst du vor allem noch den Fall \(x\ge 0\), \(y<0\) abhandeln (bzw. umgekehrt). Das kann man aber ähnlich machen wie im ersten Fall.
\quoteon(2023-06-04 19:34 - Aurel in Beitrag No. 5)
um die nicht-Lipschitz-Stetigkeit von g zu zeigen, habe ich folgendes versucht:
abs(g(x)-g(y))<=L*abs(x-y)
abs(g(x)-g(y))/abs(x-y) <=L
was für x->y zum Differentialquotienten wird und g'(y)=1/2sqrt(x)
die Ableitung wiederum wird für y->0 unendlich groß, wodurch sich keine Lipschitz-Konstante finden lässt, die die Steigung im Definitionsbereich (-\inf ,\inf) begrenzt.
Ich hoffe das ist zumindest halbwegs richtig, bin mir aber unsicher, ob ich da nicht Probleme mit x=y bekomme und wie man die lösen könnte und trotzdem noch alle Fälle betrachtet. Auf einen guten Weg ohne Ableitung komme ich nicht wirklich.
\quoteoff
Wenn du an dieser Stelle die Ableitung bereits verwenden darfst, sieht mir das gut aus (achte aber auf eine konsistente Verwendung der Variablen, es ist natürlich \(g'(y)=1/2\sqrt{y}\)).
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Profil
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Wally
Senior
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.7, eingetragen 2023-06-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Es ist nicht so, dass jede differenzierbare Funktion auch Lipschitz-stetig ist - dazu braucht man die stetige Differenzierbarkeit.
Schätze lieber mit \( x=0\) direkt ab.
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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Ralgha
Aktiv
Dabei seit: 11.05.2023
Mitteilungen: 31
Wohnort: Baden-Württemberg, 72280 Dornstetten
 | Beitrag No.8, eingetragen 2023-06-06
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Die gleichmäßige Stetigkeit bedeutet doch, dass man eine Intervallänge $\varepsilon>0$ auf der Hochachse vorgibt und dann immer einen zugehörigen Intervalldurchmesser $\delta>0$ für die Rechtsachse angeben kann, so dass für jedes Intervall $I$ der Länge $\delta$ das Bild $g\left(I\right)$ in einem Intervall der Länge $\varepsilon$ enthalten ist. Anschaulich bedeutet es, dass wir einen Abschnitt des Graphen in ein Rechteck der Höhe $\varepsilon$ und der Breite $\delta$ derart einzwingen können, dass er nicht oben oder unten herausragt.
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56330_stetig.png
Das $\delta$ ist dabei global, muss also unabhängig von der Lage für jedes Intervall hinreichend klein sein, um ein Ausbrechen in vertikaler Richtung zu verhindern. Um herauszubekommen, wie klein $\delta$ in Abhängigkeit von $\varepsilon$ gemacht werden muss, schaut man sich diejenigen Stellen an, bei denen die Funktion das extremste Dehnungsverhalten hat. Das ist hier in symmetrischen Umgebungen von $x=0$ der Fall.
Das Urbild vom Bildintervall $g\left(I\right)=\left[-\frac{\varepsilon}{2},\frac{\varepsilon}{2}\right]$ der Länge $\varepsilon$ ist ein solches symmetrisches Intervall $I=\left[-\frac{\varepsilon^{2}}{4},\frac{\varepsilon^{2}}{4}\right]$ um $x=0$ mit der Länge $\frac{\varepsilon^{2}}{2}$. Die Vorgeschlagene $\delta$-Antwort auf $\varepsilon>0$ muss demnach nicht $\delta=\varepsilon^{2}$ heißen, sondern $\delta=\frac{\varepsilon^{2}}{2}$. Die Funktion wurde nur einseitig mit Blick auf $x\geq0$ betrachtet. Auf dem Definitionsbereich $\left[0;\infty\right)$ würde $\delta=\varepsilon^{2}$ reichen, global aber nicht. Ich bin ungern der Spielverderber, aber die Arbeit ist nach meiner Einschätzung noch nicht getan.
Gruß
Ralgha
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