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  Bestimmte Integration - Änderung der Integrationsgrenzen |
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Nuck_589
Neu 
Dabei seit: 04.06.2023
Mitteilungen: 3
 |  Themenstart: 2023-06-04
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Guten Tag,
Ich hoffe ich erfülle mit meinem ersten Beitrag alle Formalien in diesem Forum. Durchaus ist die Frage sehr trivial und wurde eventuell schon behandelt, falls dem so ist könnt ihr mich gern auf andere Einträge verweisen. Jedoch sitze ich auch nach einiger Forensuche vor meinem Problem und kann leider keine sinnhafte mathematische Erklärung bzw. Umformung finden.
Ich möchte mich auf als konkretes Beispiel auf das Werk von Dierk Schröder: "Elektrische Antriebe - Grundlagen", Auflage 7, Seite 39 Gleichung (2.6) und (2.7) beziehen. Derartige Wandlungen der Integrationsgrenzen kommen mir in letzter Zeit häufiger in physikalischer beziehungsweise technischer Lektüre unter.
Für Gleichung (2.6):
\( W_{V\Theta12} = \displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \Theta \cdot \frac{d\Omega}{dt} \cdot ({\Omega_0} - \Omega) \cdot dt \)
Und für Gleichung (2.7)
\( W_{V\Theta12} = \Theta \displaystyle\int_{\Omega_1}^{\Omega_2} ({\Omega_0} - \Omega) \cdot d\Omega \)
Als zusätzliche Angabe gilt: \(\Theta = const.\)
Zunächst kann man \(\frac{dt}{dt}\) in Gleichung (2.6) salopp gesagt kürzen. (Wenn dies mathematisch bereits unsauber beziehungsweise falsch ist bitte ich sehr um Korrektur und weitere Erklärungen). Diesen Schritt würde ich soweit verstehen. Dass \(\Theta\) vor das Integral gezogen werden kann ist ebenfalls klar. Es geht jetzt jedoch um die Grenzen. Diese ändern hier nicht nur ihren Wert, sondern auch ihre Dimension von \(t = [s]\) zu \(\Omega = [\frac{1}{s}]\). Diesen Punkt möchte ich mir gern mathematisch erklären. Sicher kann man wie folgt argumentieren: Es wird nicht mehr über \(t\) sondern eben über \(\Omega\) integriert. Damit kann, da \(\Omega\) sowieso von der Zeit \(t\) abhängt, auch einfach die Grenze \(t_1\) in \(\Omega(t_1)=\Omega_1\) überführt werden. Diese Argumentation scheint mir zwar praktikabel jedoch mathematisch nicht sauber und korrekt (Beziehungsweise kann ich diese Umwandlung nicht mathematisch erklären durch Substitution o.ä)
Ich hoffe ich konnte mein Anliegen deutlich machen. Über Hilfe zu der Thematik wäre ich sehr dankbar.
freundliche Grüße
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Mandelbluete
Senior 
Dabei seit: 03.05.2008
Mitteilungen: 584
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-04
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\theta}{\vartheta}
\newcommand{\fuer}{\quad\text{fuer}\quad}
\newcommand{\Sp}{\operatorname{Sp}} \)
Das $\Theta$ kann davorgezogen werden, da es eine Konstante ist. Wir ignorieren es im weiteren. Wenn wir $\phi(x) = \Omega_0 - x$ setzen, dann hat das Integral die Form
\[
\int_{t_1}^{t_2} \phi \circ \Omega(t) \cdot \Omega'(t) \, \d t = \int_{\Omega(t_1)}^{\Omega(t_2)} \phi(x) \, \d x
=\int_{\Omega(t_1)}^{\Omega(t_2)} (\Omega_0 - x) \, \d x = \Bigl[\Omega_0x - \frac{1}{2}x^2\Bigr]_{\Omega(t_1)}^{\Omega(t_2)},
\]
wo wir gleich die Subsitutionsregel anwenden konnten. Die Dimension der Grenzen ändert sich, aber die Dimension dessen, was herauskommt, bleibt gleich. Hilft das schon?
Liebe Grüße
Mandelblüte\(\endgroup\)
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Nuck_589
Neu
Dabei seit: 04.06.2023
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-05
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@Mandelbluete
Vielen Dank für die Meldung. Dein Kommentar bringt mich bedingt weiter.
Die Anwendung der Regel zu Integration verketteter Funktionen lässt mich zumindest einen Teil deiner ersten Umformung verstehen. Gern führe ich zur Erläuterung auch \( \varphi(x) = \Omega_0 - x\) ein.
Der Ausdruck \(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \varphi \circ \Omega(t) \cdot \Omega'(t) \cdot dt\) lässt sich nach meinem Verständnis auch als:
\(\displaystyle\int_{t_1}^{t_2} \varphi (\Omega(t)) \cdot \Omega'(t) \cdot dt\) darstellen. Dies möchte ich nur aufgreifen um sicher zu gehen, dass wir von der gleichen Sache sprechen.
Die Umformung dieser Integrale, wie in deinem ersten Schritt (sprich nach dem ersten Gleichheitszeichen) zu \(\displaystyle\int \varphi(x) dx\), kann ich anhand der gennanten Regel gut nachvollziehen. Allerdings kann ich die Umformung der Grenzen von \(t_1\) bzw. \(t_2\) zu \(\Omega(t_1)\) und \(\Omega(t_2)\) nicht nachvollziehen. Wenn du hier nochmals Erklärungsarbeit leisten könntest wäre das sehr schön.
Dennoch vielen Dank soweit und freundliche Grüße.
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PhysikRabe
Senior
Dabei seit: 21.12.2009
Mitteilungen: 2883
Wohnort: Rabennest
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-05
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\quoteon(2023-06-05 06:56 - Nuck_589 in Beitrag No. 2)
Die Umformung dieser Integrale, wie in deinem ersten Schritt (sprich nach dem ersten Gleichheitszeichen) zu \(\displaystyle\int \varphi(x) dx\), kann ich anhand der gennanten Regel gut nachvollziehen. Allerdings kann ich die Umformung der Grenzen von \(t_1\) bzw. \(t_2\) zu \(\Omega(t_1)\) und \(\Omega(t_2)\) nicht nachvollziehen.
\quoteoff
Das folgt aus der Substitutionsregel, siehe hier. Ich empfehle dir auch, den kurzen Beweis, der direkt darunter steht, nachzuvollziehen. In der Rechnung von Mandelbluete wird die Substitutionsregel direkt angewendet, und der vorletzte Ausdruck $\int_{\Omega(t_1)}^{\Omega(t_2)} (\Omega_0 - x) \, \mathrm{d} x$ ist genau das Integral in (2.7) deines Buches, da man die Integrationsvariable statt $x$ auch $\Omega$ nennen kann (auch wenn das etwas missverständlich ist).
Grüße,
PhysikRabe
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Nuck_589
Neu
Dabei seit: 04.06.2023
Mitteilungen: 3
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-06
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Vielen Dank an alle!
Jetzt hat sich alles geklärt. Ich konnte die Erläuterung aus dem Link gut anwenden und auf mein Problem übertragen.
Der Thread kann damit geschlossen werden.
freundliche Grüße
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