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  Momenterzeugende Funktion |
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Carly2004
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 |  Themenstart: 2023-06-05
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Es seien N, X_1, X_2, . . . unabhängige Zufallsvariablen mit Werten in \IN_0. Die Zufallsvariablen
X1, X2, . . . seien zudem identisch verteilt.
(a) Zeigen Sie: Z = sum(X_i,i=1,N) hat die momenterzeugende Funktion
M_Z(t) = M_N(log(M_X_1 (t))).
(b) Es seien nun N ~ Geo(p) und X_i ~ Geo(q) für i \el\ \IN und p, q \el\ (0, 1). Bestimmen Sie die Verteilung von
Z = sum(X_i,i=1,N)
Bei a) habe ich gezeigt, dass M_Z(t)=M_X_1(t)^N ist und M_N(log(M_X_1 (t)))= E[M_X_1(t)^N] ist das bisher richtig und es müsste doch E(E(X) =E(X) gelten oder und somit ist es gezeigt richtig?
Aber was mache ich in b)?
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luis52
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-05
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\)
Moin, zunaechst eine kleine Korrektur: Es macht nur Sinn, wenn $N$ Werte in $\IN$ annimmt, denn $(N=0)$ fuehrt zu Schwierigkeiten.
Zu a) Aus deinen Ausfuehrungen werde ich nicht recht schlau, aber $M_Z(t)=M_{X_i}(t)^N$ ergibt keinen Sinn, da $M_Z(t)$ so eine Zufallsvariable ist.
Ich setze mal $M(t):=M_{X_i}(t)$. Sei ferner $P(N=n)=f(n)$, $n\in\IN$. Deine Ueberlegung, den iterierten Erwartungswert anzuwenden ist nicht uebel. Es ist $M_N(t)=\sum_{n=1}^\infty e^{tn}f(n)$ und
\[
\begin{eqnarray*}
M_Z(t)
&=&\E[e^{t\sum_{i=1}^NX_i}]\\
&=&\E_N[\E_X[e^{t\sum_{i=1}^NX_i}]]\\
&=&\E_N[M^N(t)]\\
&=&\sum_{n=1}^\infty M^n(t)f(n)\,.
\end{eqnarray*}
\]
Aus diesen Darstellungen folgt die zu zeigende Gleichung.
Zu b) Die Wahrscheinlichkeitsfunktion von $N$ ist $P(N=k)=(1-p)^{k-1}p$ und die von $X_i$ ist $P(X_i=k)=(1-q)^{k-1}q$, $k=1,2,3,\ldots$ Wende a) an und pruefe, ob $M_Z(t)$ die momenterzeugende Funktion einer bekannten Verteilung ist.
\(\endgroup\)
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zippy
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Dabei seit: 24.10.2018
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-06-05
|
\quoteon(2023-06-05 12:49 - luis52 in Beitrag No. 1)
Moin, zunaechst eine kleine Korrektur: Es macht nur Sinn, wenn $N$ Werte in $\IN$ annimmt, denn $(N=0)$ fuehrt zu Schwierigkeiten.
\quoteoff
Wo siehst du denn ein Problem, wenn $P(N=0)>0$ ist?
--zippy
|
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Carly2004
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-05
|
Also meine Rechnungen waren:
M_Z(t)=E[e^(tZ)]
=E[e^(t*(X_1+X_2+...+X_N))]
=E[e^(tX_1)*...*e^(tX_N)]
=E[e^(tX_1)]*...*E[e^(tX_N)]
=E[E[e^(tX_1)]*...*E[e^(tX_N)]]
=E[M_(X_1)^N]
=E[exp(log(M_(X_1)(t))^N)]
=E[exp(log(M_(X_1)(t))*N)]
=M_N(log(M_(X_1)(t))
|
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Carly2004
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-05
|
Ist das so richtig?.
Und wie gehe ich bei b) vor?
|
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luis52
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-06-05
|
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\quoteon(2023-06-05 13:40 - zippy in Beitrag No. 2)
Wo siehst du denn ein Problem, wenn $P(N=0)>0$ ist?
\quoteoff
Was ist $\left(\sum_{i=1}^NX_i\mid N=0\right)$ fuer eine Zufallsvariable?\(\endgroup\)
|
Profil
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zippy
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Mitteilungen: 4998
| Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-05
|
\quoteon(2023-06-05 15:49 - luis52 in Beitrag No. 5)
Was ist $\left(\sum_{i=1}^NX_i\mid N=0\right)$ fuer eine Zufallsvariable?
\quoteoff
Die konstante Funktion $\omega\mapsto0$.
(Schau dir vielleicht mal den Abschnitt Leere Produkte und Summen in Triceratops' Artikel Über die Null, den leeren Raum und andere triviale Fälle an.)
|
Profil
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Carly2004
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Mitteilungen: 37
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-05
|
Hey zippy,
stimmen meine Rechnungen in a)?
und kannst du mir in b) weiterhelfen?
Vielen Dank
|
Profil
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luis52
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-06-05
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\)
\quoteon(2023-06-05 14:45 - Carly2004 in Beitrag No. 4)
Ist das so richtig?.
\quoteoff
Die vierte Gleichung von oben kommt mir nicht koscher vor. Sie ist korrekt, wenn $N$ fest ist. Stimmt sie auch, wenn $N$ eine Zufallsvariable ist?
\quoteon(2023-06-05 14:45 - Carly2004 in Beitrag No. 4)
Und wie gehe ich bei b) vor?
\quoteoff
Dazu habe ich in #1 etwas geschrieben. Was behagt dir daran nicht?\(\endgroup\)
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Profil
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Carly2004
Wenig Aktiv
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 37
| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
|
bei b) habe ich dann heraus, dass es sich um eine geometrische Verteilung handeln müsste.
Kannst du mir erklären, warum man die 3 Gleichung (E[E...]] machen kann?
|
Profil
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4998
| Beitrag No.10, eingetragen 2023-06-08
|
\quoteon(2023-06-08 13:19 - Carly2004 in Beitrag No. 9)
Kannst du mir erklären, warum man die 3 Gleichung (E[E...]] machen kann?
\quoteoff
Am einfachsten kannst du das aufschreiben, wenn du die bedingte Erwartung $E[\,\ldots\mid N]$ kennst:$$\begin{align}
M_Z(t) &= E\bigl[\exp(tZ)\bigr] \\[1.6ex]
&= E\bigl[\exp(tX_1+\cdots+tX_N)\bigr] \\[1.6ex]
&= E\bigl[\exp(tX_1)\cdots\exp(tX_N)\bigr] \\[1.6ex]
&= E\Bigl[E\bigl[\exp(tX_1)\cdots E\bigl[\exp(tX_N)
\mathbin{\big|}N\bigr] \Bigr] \\[1.6ex]
&= E\Bigl[E\bigl[\exp(tX_1)\mathbin{\big|}N\bigr]\cdots
E\bigl[\exp(tX_N)\mathbin{\big|}N\bigr] \Bigr] \\[1.6ex]
&= E\Bigl[M_{X_i}(t)^N\Bigr] \\[1.6ex]
&= E\Bigl[\exp\Bigl(N\log\bigl(M_{X_i}(t)\bigr)\Bigr)\Bigr] \\[1.6ex]
&= M_N\Bigl(\log\bigl(M_{X_i}(t)\bigr)\Bigr)
\end{align}$$
Falls du die bedingte Erwartung nicht kennst, zumindest aber die bedingten Erwartungswerte $E[\,\ldots\mid N=n]$, kannst du oben $E[W\mid N]$ einfach durch$$
E\bigl[W\mathbin{\big|}N\bigr] =
\sum_n E\bigl[W\mathbin{\big|}N=n\bigr]\cdot 1_{\{N=n\}}
$$ersetzen. Die Einführung der beiden iterierten Erwartungswerte im Schritt von $(3)$ nach $(4)$ beruht dann auf$$\begin{align*}
E\Bigl[E\bigl[W\mathbin{\big|}N\bigr]\Bigr] &=
\sum_n E\bigl[W\mathbin{\big|}N=n\bigr]\cdot
E\bigl[1_{\{N=n\}}\bigr] \\[1.6ex]
&= \sum_n E\bigl[W\mathbin{\big|}N=n\bigr]\cdot
P(N=n) = E\bigl[W\bigr] \;. \end{align*} $$
|
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luis52
Senior
Dabei seit: 24.12.2018
Mitteilungen: 1111
| Beitrag No.11, eingetragen 2023-06-08
|
\(\begingroup\)\(\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} % diag
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\)
\quoteon(2023-06-08 13:19 - Carly2004 in Beitrag No. 9)
bei b) habe ich dann heraus, dass es sich um eine geometrische Verteilung handeln müsste.
\quoteoff
Korrekt, genauer eine geometrische Verteilung mit Parameter $pq$.\(\endgroup\)
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Carly2004
Wenig Aktiv
Dabei seit: 26.06.2022
Mitteilungen: 37
| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Okay, vielen Dank :)
Ihr habt mir sehr weitergeholfen
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Carly2004 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
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