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  Arbitrage Markt |
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LamyOriginal
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 |  Themenstart: 2023-06-05
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Ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:
Gegeben sei ein Finanzmarkt bestehend aus einem Bond $B$, einer Aktie $S$ und einer call Option $C$ mit strike $K=90$. Betrachte nur die Zeiten $0$ und $t$. Es gelte $$B(0)=100, B(t)=120, S(0)=100, S_u(t)=100, S_d(t)=80, C(0)=10$$ Ich soll nun eine Arbitragemöglichkeit finden.
Hab schon einiges rumprobiert aber komme nicht drauf... Ich habe ausprobiert wie viele Optionen, Aktien und Bonds ich kaufen/verkaufen soll bei $t=0$ für einen Gesamtwert $0$, die ich bei $t=1$ dann verkaufen kann für einen Wert $>0$...
Danke für jeden Tipp!
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AnnaKath
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-05
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Huhu LamyOriginal,
gibt es irgendwelche weiteren Bedingungen?
Sonst denke ich, dass man getrost 1 Trillion der Aktien leer verkaufen kann und dafür Anleihen erwerben mag...
lg, AK
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LamyOriginal
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-05
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Hallo AK,
das sind die einzigen Bedingungen. Was heißt leer verkaufen? Und wie schreibe ich es formal auf, dass ich am Ende Arbitrage habe/mache?
LG
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LamyOriginal
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-05
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Also in der Aufgabe danach muss ich den fairen Preis der Option berechnen. Dieser liegt über dem jetzigen Preis $C(0)$, heißt ich kann Arbitrage machen. Aber ich kann keinen Weg finden...
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AnnaKath
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-05
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}\)
Huhu Lamy,
Dir ist schon bewusst, dass der Markt denkbar verrückt konstruiert ist und kaum hilft, das Prinzip zu erläutern. Wie ich bereits andeutete, ist jedes Portfolio der Form $V=(k, -k)$ (Kauf von $k>0$ Bonds und gleichzeitiger Leerverkauf von $k$ Aktien) eine Arbitragemöglichkeit; d.h. $V$ ist selbfinanzierend, $P[V_1 - V_0 \geq 0] = 1$ sowie $P[V_1 - V_0 > 0] > 0$.
Aber natürlich soll das seltsame Beispiele dazu dienen eine Arbitragemöglichkeit mit Hilfe von Underlying und Derivat zu konstruieren (wie Du richtig durch den Verweis auf die nächste Teilaufgabe bemerkst). Betrachte dazu, dass $W = (\frac12, -\frac13)$ ein replizierendes Portfolio für den Call darstellt.
lg, AK\(\endgroup\)
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LamyOriginal
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Ahh, habs hinbekommen, danke für deine Hilfe! Nun muss ich noch bestimmen, wasWas passiert, wenn man den Preis der Call-Option durch (i) den Erwartungswert der Aktie und (ii) den Erwartungswert $(S(t) − K)^+$ ersetzt.
Es sind keine Wahrscheinlichkeiten für die Zustände der Märkte gegeben, aber wenn ich von $\frac{1}{2}$ ausgehe erhalte ich (i) $E(S(t))=90$ und (ii) $E(C(t))=5$. In (i) wäre wegen des hohen Preises keine Arbitrage mehr möglich und der Wert des Portfolios geringer? Und in (ii) hätte man mehr Möglichkeiten Arbitrage zu machen?
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AnnaKath
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}\)
Huhu Lamy,
natürlich ist immer Arbitrage möglich, wenn der Preis des Derivats nicht dem fairen Preis entspricht.
Im Falle (i) räumst eben Du anderen das Recht ein, die Aktie zum Strikepreis zu erwerben und streichst dafür die $90$ ein...
Du verkaufst also die Optionen (und legst das Geld zum Beispiel in den Anleihen an).
Das nennt man auch "short call", wenn Du das genauer nachlesen möchtest.
lg, AK\(\endgroup\)
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LamyOriginal
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Das verstehe ich noch nicht ganz: Der erwartete Wert der Aktie wird 90€ sein in (i), genauso wie der Strikepreis. Wenn die Option mich aber genauso viel zur Zeit $t=0$ kosten wird, lohnt es sich doch gar nicht, diese Option zu kaufen, da ich zur Zeit $t=1$ keinen Gewinn machen kann?
Und in (ii) ist es auch unsinnig die Option noch günstiger zu machen, oder?
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AnnaKath
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-06-08
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}\)
Huhu Lamy,
zunächst: Das ganze Beispiel ist leider völlig sinnlos. Niemand würde in diesem Markt die Aktie oder gar eine Kaufoption auf eine solche erwerben!
\quoteon(2023-06-08 16:44 - LamyOriginal in Beitrag No. 7)
Das verstehe ich noch nicht ganz: Der erwartete Wert der Aktie wird 90€ sein in (i), genauso wie der Strikepreis. Wenn die Option mich aber genauso viel zur Zeit $t=0$ kosten wird, lohnt es sich doch gar nicht, diese Option zu kaufen, da ich zur Zeit $t=1$ keinen Gewinn machen kann?
\quoteoff
Da hast Du völlig Recht: natürlich lohnt es sich (wirtschaftlich) nicht, die Option zu kaufen.
Wenn der Call aber aus irgendeinem Grunde zu $90$ gehandelt wird, lohnt es sich natürlich, diese zu verkaufen (dazu muss man sie nicht besitzen!).
Natürlich macht der Käufer dann den (sicheren) Verlust, den Du beschreibst, aber das könnte Dir vielleicht egal ein und Du streichst den Arbitragegewinn ein und gehst davon Essen...
\quoteon
Und in (ii) ist es auch unsinnig die Option noch günstiger zu machen, oder?
\quoteoff
Was meinst Du damit? Der Optionspreis ist ein Marktpreis. Normalerweise "macht" niemand das Derivat teurer oder billiger...
Im Falle (ii) kannst Du den Arbitragegewinn erzielen, in dem Du die Option kaufst (und dies durch den Leerverkauf von Aktien finanzierst).
lg, AK\(\endgroup\)
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