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  Spektralsatz für unitäre Abbildungen |
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Sekorita
Aktiv 
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 494
 |  Themenstart: 2023-06-06
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Hallo zusammen,
nach längerer Zeit brauche ich doch mal wieder etwas Hilfe:
Ich möchte zeigen, dass jede unitäre Abbildung F eines unitären Vektorraums eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von F besitzt. Eigentlich müsste dies ja recht analog zu dem Beweis des Spektralsatzes funktionieren, bei dem ja jede selbstadjungierte Abbildung eine ONB aus Eigenvektoren hat.
Hier einmal die Aufgabe und der Beweis vom Spektralsatz;
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55059_MP1.JPG
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55059_MP2.JPG
Der 1. Schritt des Beweises dürfte ja bei unitären Abbildungen entfallen, weil wir ins ja im komplexen Vektorraum befinden und dort nach dem Fundamentalsatz, das char. Polynom ja in Linearfaktoren zerfällt.
Meine Idee war es erneut über Induktion zu argumentieren, wobei ja im Fall dim (V) = 1 wieder nichs zu zeigen ist.
Nun also analog für dim(V) = k+1
Erneut weiß ich, dass es aufgrund des Zerfallens in Linearfaktoren einen Eigenwert \lambda_(k+1) geben muss und einen Eigenvektor v mit F*v= \lambda_(k+1) *v
Jetzt setzt aber mein Problem ein. Ich verstehe zunächst nicht so ganz wie man auf den Schritt " Ich behaupte, dass A den k-dimensionalen Unterraum W in sich selbst abbildet kommt". Die Umformungen dahinter wiederum kann ich alle nachvollziehen.
Ebenfalls kann ich aber nicht einsehen ob ich a) beim Fall von unitären Abbildungen das gleiche tun muss und b) die Eigenschaften einer unitären Abbildung und die Eigenschaften des komplexen Skalarproduktes (hermitesch, sesquilinear, positiv definit) ausnutzen soll um darauf zu kommen.
Ich weiß, dass bei unitären Abb. EW Betrag 1 haben, EV zu verschiedenen EW orthogonal sind und natürlich, dass braket(F*v, F*w) = braket(v, w)
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2619
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-08
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\quoteon(2023-06-06 08:48 - Sekorita im Themenstart)
Der 1. Schritt des Beweises dürfte ja bei unitären Abbildungen entfallen, weil wir ins ja im komplexen Vektorraum befinden und dort nach dem Fundamentalsatz, das char. Polynom ja in Linearfaktoren zerfällt.
\quoteoff
Das ist korrekt.
\quoteon
Jetzt setzt aber mein Problem ein. Ich verstehe zunächst nicht so ganz wie man auf den Schritt "Ich behaupte, dass A den k-dimensionalen Unterraum W in sich selbst abbildet kommt". Die Umformungen dahinter wiederum kann ich alle nachvollziehen.
\quoteoff
Das kann ich nicht nachvollziehen. Die "Umformungen dahinter" sind doch gerade, wie man dem Text entnehmen kann, die Begründung für "Ich behaupte, dass A den k-dimensionalen Unterraum W in sich selbst abbildet".
\quoteon
Ebenfalls kann ich aber nicht einsehen ob ich a) beim Fall von unitären Abbildungen das gleiche tun muss und b) die Eigenschaften einer unitären Abbildung und die Eigenschaften des komplexen Skalarproduktes (hermitesch, sesquilinear, positiv definit) ausnutzen soll um darauf zu kommen.
\quoteoff
Sicherlich werden irgendwelche Eigenschaften des inneren Produkts in den Beweis eingehen. Ob du das gleiche tun "musst", siehst du nur, wenn du auch versuchst ein ähnliches Argument zu machen. Was hindert dich daran, einfach mal den gleichen Ansatz zu verfolgen und zu sehen, wohin es dich führt? "Unterwegs" wird man ja feststellen, ob das zu etwas führt, oder ob man noch etwas modifizieren sollte.
LG Nico
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Sekorita
Aktiv
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Mitteilungen: 494
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Hallo,
die Aufgabe hat sich mittlerweile erledigt und ich habe sie hinbekommen :)
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Sekorita hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sekorita hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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