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  Eindeutigkeit -> Existenz?! |
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Schokopudding
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.07.2013
Mitteilungen: 803
 |  Themenstart: 2023-06-06
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Moin!
Ich habe eine naive Frage, ist eher so eine Logiksache:
Angenommen, ich habe ein endlich dimensionales System linearer Gleichungen. Weiter sei angenommen, dass $f$ und $g$ Lösungen seien. Jetzt zeige ich, dass $h:=f-g$ auch eine Lösung ist und $h\equiv 0$. Dann folgt daraus ja, dass die Lösung (sofern existent) eindeutig ist.
(*) Nun gilt doch aber für ein System, wie ich es habe, dass es entweder keine Lösung, eine eindeutige Lösung oder unendlich viele Lösungen hat.
Folgt daher aus dem Obigen nicht sofort die Existent einer Lösung?
Ich frage es mal anders:
Ich weiß nicht, ob es eine Lösung gibt. Ich kann aber zeigen: Falls es eine gibt, so ist die eindeutig. Folgt daraus die Existenz einer Lösung wegen der Entweder-Oder Alternativen in (*)?
Oder ist das so ein Fall von "Aus einer falschen Annahme kann man alles folgern"?
Viele Grüße
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2865
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-06
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Wenn ein Gleichungssystem keine Lösung hat, sind alle Lösungen gleich.
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Schokopudding
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.07.2013
Mitteilungen: 803
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-06
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Hallo,
gibt es denn vielleicht eine Eigenschaft, die man ergänzen kann, sodass aus Eindeutigkeit und dieser zusätzlichen Eigenschaft die Existenz folgt?
Zum Beispiel:
Eindeutigkeit und
Anzahl Gleichungen $\geq$ Anzahl Variablen
implizieren Existenz?
Viele Grüße
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tactac
Senior
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2865
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-06
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\sem}[1]{[\![#1]\!]}
\newcommand{\name}[1]{\ulcorner#1\urcorner}
\newcommand{\upamp}{\mathbin {⅋}}
\newcommand{\monus}{\mathbin {∸}}\)
So einfach geht es jedenfalls nicht. Und wenn schon, dann müsste es eher Anzahl Gleichungen ≤ Anzahl Variablen heißen, denn bei Erhöhung der Anzahl der Gleichungen verringert sich (tendenziell) die Anzahl der Lösungen.
Jedoch reichen auch bei 100 Variablen zwei Gleichungen, um ein System ohne Lösung zu erhalten: $x=1, x=0$.\(\endgroup\)
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tactac
Senior 
Dabei seit: 15.10.2014
Mitteilungen: 2865
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-06
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Vielleicht noch zur Ergänzung: Wenn du schon herausgefunden hast, dass 0 die einzig mögliche Lösung ist, liegt es natürlich nah, zu prüfen, ob 0 tatsächlich eine Lösung ist (ohne Annahme der Existenz einer Lösung).
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Schokopudding
Wenig Aktiv 
Dabei seit: 17.07.2013
Mitteilungen: 803
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-07
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Hallo, ich nochmal!
Ich muss nochmal nachhaken.
Ich habe gelesen (allerdings leider ohne Beweis):
"Let a finite dimensional square linear system be given. In this context, existence and uniqueness are actually equivalent."
Bringe ich da was durcheiander? Das liest sich für mich so, dass für ein lineares Gleichungssystem mit m Gleichungen und m Variablen aus der Eindeutigkeit der Lösung die Existenz folgt.
Wo ist der Denkfehler?
Viele Grüße
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2607
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-07
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Hallo,
das kann ohne weitere Annahmen nicht stimmen. Die beiden trivialen Gleichungen $0=0$ und $0=0$ ergeben auch ein lineares Gleichungssystem, aber mit unendlich vielen Lösungen.
Das System
$$
\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0& 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1\\ b_2\end{pmatrix}
$$
besitzt für beliebiges $b_1\in \mathbb R$ und $b_2=0$ jeweils unendlich viele Lösungen.
Edit: Zu der Aussage "Eindeutigkeit impliziert Existenz": Betrachten wir endlich-dimensionale Vektorräume $V$ und $W$ über einem Körper $K$ sowie eine lineare Abbildung $L\colon V\to W$.
Die Eindeutigkeit von Lösungen des Systems $L(v)=w$ für jedes $w\in \opn{im}(L)$ ist dann äquivalent zur Injektivität von $L$. Die Existenz von Lösungen für $L(v)=w$ ist äquivalent zu der Bedingung $w\in \opn{im}(L)$.
Wenn $V$ und $W$ isomorph sind (also die gleiche Dimension über $K$ haben), dann sind Injektivität und Surjektivität von $L$ äquivalent. $L$ ist in diesem Fall also genau dann injektiv, wenn $L$ surjektiv ist. Letzteres bedeutet $\opn{im}(L)=W$. In diesem Fall stimmt also die Aussage, dass aus der Eindeutigkeit von Lösungen des Systems $L(v)=w$ für jedes $w\in \opn{im}(L)$ die Existenz einer Lösung des Systems $L(v)=w$ für jedes $w\in W$ folgt.
Edit2: Im letzten Fall natürlich auch umgekehrt: Wenn es für jedes $w\in W$ mindestens eine Lösung des Systems $L(v)=w$ gibt, dann sind die Lösungen des Systems $L(v)=w$ für jedes $w\in W$ auch eindeutig.
LG Nico\(\endgroup\)
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Schokopudding
Wenig Aktiv
Dabei seit: 17.07.2013
Mitteilungen: 803
| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-07
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Hallo!
Ja, das sehe ich ein.
Was wäre denn eine Annahme, damit es stimmt?
Ich bin verwirrt.
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Diophant
Senior
Dabei seit: 18.01.2019
Mitteilungen: 10907
Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.8, eingetragen 2023-06-07
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Hallo zusammen,
kann es sein, dass mit dem Begriff "endlich dimensionales System" aus dem Themenstart ein lineares Gleichungsystem über einem endlichen Körper gemeint ist?
Gruß, Diophant
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2607
Wohnort: Köln
| Beitrag No.9, eingetragen 2023-06-07
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Bedenkt man meine Ausführungen in #6, dann könnte die von dir in #5 zitierte Aussage auch wie folgt gemeint sein (wäre dann einfach etwas unpräzise ausgedrückt):
Sind $V$ und $W$ endlich-dimensionale $K$-Vektorräume der selben Dimension und ist $L\colon V\to W$ eine lineare Abbildung, so sind äquivalent:
(i) Für jedes $w\in W$ besitzt das System $L(v)=w$ (mindestens) eine Lösung.
(ii) Für jedes $w\in\opn{im}(L)$ besitzt das System $L(v)=w$ eine eindeutige Lösung.
LG Nico\(\endgroup\)
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Schokopudding hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Schokopudding hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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