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| Autor |
  Maßtheorie - Beweisverständnis |
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MathR
Junior 
Dabei seit: 21.04.2023
Mitteilungen: 13
 |  Themenstart: 2023-06-06
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Ich beschäftige mich mit dem Daniell-Integral und wie man diese Theorie mit der Maßtheorie verbindet. Derzeit arbeite ich mit dem Buch von Alan J. Weir "General Integration and Measure". Auf Seite 97 wird ein Fortsetzungsatz bewiesen, aber ich verstehe leider eine Argumentation nicht. Es wird erst gezeigt, dass eine definierte Menge \(S\) zum Mengenring \(\mathcal{R}_0\) gehört, das kann ich auch zeigen und nachvollziehen. Die behauptete Gleichung \(\min(\chi_E,\phi)=\min(\chi_{E\cap S},\phi)\) kann ich auch nachweisen durch Fallunterscheidung. Aber die zwei Folgerungen verstehe ich nicht. Es wird gsagt, dass die o.g. min-Funktion zu \(L(\mathcal{R}_0)\) gehört und folglich \(\chi_E\) messbar (im Sinne des zuvor konstruierten Daniell-Intgrals) ist. Leider verstehe ich den Schluss nicht. Außerdem verstehe ich nicht, warum ich das überhaupt zeigen muss...Ist \(\chi_E\) nicht ohnehin eine einfache Funktion und somit messbar?
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 Profil
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4985
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-07
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\quoteon(2023-06-06 18:30 - MathR im Themenstart)
Es wird gsagt, dass die o.g. min-Funktion zu \(L(\mathcal{R}_0)\) gehört und folglich \(\chi_E\) messbar (im Sinne des zuvor konstruierten Daniell-Intgrals) ist. Leider verstehe ich den Schluss nicht.
\quoteoff
Schau dir nochmal die Definition der Messbarkeit in Abschnitt 8.2 an.
\quoteon(2023-06-06 18:30 - MathR im Themenstart)
Außerdem verstehe ich nicht, warum ich das überhaupt zeigen muss...Ist \(\chi_E\) nicht ohnehin eine einfache Funktion und somit messbar?
\quoteoff
Es ist $E\in\mathcal R$. Also ist $\chi_E$ eine $\mathcal R$-einfache Funktion. Gezeigt werden soll aber, dass $\chi_E$ $\mathcal M$-messbar ist, und $\mathcal M$ wird nicht von $\mathcal R$, sondern von $\mathcal R_0$ erzeugt.
--zippy
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MathR
Junior
Dabei seit: 21.04.2023
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-07
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Lieber Zippy, ganz lieben Dank für die schnelle Antwort. Tatsächlich hat es geklappt, danke! Ich habe nun einfach mit der Definition $\text{mid}(f,g,h)=\max(\min(f,g),\min(f,h),\min(g,h))$ gerechnet und gezeigt, dass \(\text{mid}(-\phi,\chi_E,\phi)=\min(\chi_E,\phi)\) ist. Den zweiten Teil, warum man so argumentieren muss, habe ich dank deiner Antwort auch verstanden. Da war ich unaufmerksam.
Leider sehe ich nicht, warum \(\min(\chi_E,\phi)\) eine $L(\mathcal{R}_0)$-Funktion ist. Laut Beweis genügt es dazu einzusehen, dass $\min(\chi_{E\cap S},\phi)$ aus $L(\mathcal{R_0})$ kommt. Ich dachte, dazu könnte man überlegen, dass $\chi_{S\cap E}$ eine Funktion aus $L(\mathcal{R}_0)$ ist, damit wäre dann auch $\min(\chi_{E\cap S},\phi)$ aus $L(\mathcal{R_0})$. Nur leider sehe ich das nicht, denn da $E∈\mathcal{R}$ und $S∈\mathcal{R}_0$, folgt ja nicht zwangläufig, dass auch der Schnitt der beiden Mengen in $\mathcal{R}_0$ liegt, sondern höchstens in $\mathcal{R}$.
Hat da jemand noch eine Idee? Ganz herzlichen Dank!
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4985
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-07
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Es ist $\mu(E\cap S)\le\mu(S)$ endlich wegen $S\in\mathcal R_0$.
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MathR
Junior
Dabei seit: 21.04.2023
Mitteilungen: 13
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-07
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Vielen Dank lieben für deine Antwort. Tatsächlich... und die Tatsache steht sogar am Anfang des Beweises. Da war ich blind.
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