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  Qubit/Hamilton Operator |
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Lambda88
Aktiv 
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 296
 |  Themenstart: 2023-06-07
|
Hi zusammen,
ich bin mir nicht sicher, ob ich die Aufgabe a hier richtig gerechnet habe:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/39767_Bildschirmfoto_2023-06-07_um_10.47.24.png
Ich habe zuerst einmal die Eigenwerte/Energie berechnet und folgendes erhalten
$$\lambda_1=E_1=- \sqrt{B^2+\Delta^2}$$
$$\lambda_2=E_2=\sqrt{B^2+\Delta^2}$$
Ich bin mir jetzt leider nicht ganz sicher, ob ich die Eigenvektoren richtig berechnet habe, ich habe folgendes erhalten
$$\vec{\psi}_1= \left(\begin{array}{c} \frac{B-\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \\ 1 \end{array}\right)$$
$$\vec{\psi}_2= \left(\begin{array}{c} \frac{B+\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \\ 1 \end{array}\right)$$
Um jetzt die normierten Eigenvektoren zu erhalten, müsste ich ja die Eigenvektoren durch Ihren Betrag noch teilen, die Beträge der Vektoren lauten wie folgt
$$|\vec{\psi}_1|=\sqrt{\biggl( \frac{B-\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \biggr)^2+1^2}$$
$$|\vec{\psi}_2|=\sqrt{\biggl( \frac{B+\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \biggr)^2+1^2}$$
Die normierten Eigenvektoren lauten damit:
$$\hat{\psi}_1 =\frac{1}{\sqrt{\biggl( \frac{B-\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \biggr)^2+1^2}} \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{B-\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \\ 1 \end{array}\right)$$
$$\hat{\psi}_2 = \frac{1}{\sqrt{\biggl( \frac{B+\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \biggr)^2+1^2}} \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{B+\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \\ 1 \end{array}\right)$$
Die normierten Eigenvektoren sehen jetzt ziemlich wuchtig aus, weswegen ich mir nicht sicher bin, ob ich diese richtig berechnet habe?
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nzimme10
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Dabei seit: 01.11.2020
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-07
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-06-07 11:07 - Lambda88 im Themenstart)
Die normierten Eigenvektoren sehen jetzt ziemlich wuchtig aus, weswegen ich mir nicht sicher bin, ob ich diese richtig berechnet habe?
\quoteoff
Du könntest natürlich die entsprechenden Eigenwerte mit $E_1$ und $E_2$ abkürzen. Ob deine Eigenvektoren stimmen, lässt sich ja zum Glück durch eine einfache Rechnung überprüfen.
LG Nico\(\endgroup\)
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Lambda88
Aktiv
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 296
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-07
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Danke nzimme10 für den Tipp 👍
Habe jetzt folgendes gerechnet:
$$\begin{pmatrix} B & \Delta \\ \Delta & -B \\ \end{pmatrix} \cdot \vec{\psi}_1=-B \sqrt{B^2+\Delta^2} \cdot \vec{\psi}_1$$
$$\begin{pmatrix} B & \Delta \\ \Delta & -B \\ \end{pmatrix} \cdot \vec{\psi}_2=B \sqrt{B^2+\Delta^2} \cdot \vec{\psi}_2$$
Es handelt sich also um die Eigenvektoren der Matrix, war nur etwas wegen der Form der normierten Eigenvektoren verwirrt, liegt aber wahrscheinlich auch daran, dass die Matrix nicht aus konkreten Zahlen, sondern nur Symbolen besteht 😃
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nzimme10
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Mitteilungen: 2619
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-07
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Nochmal zu deiner Rechnung
$$\begin{pmatrix} B & \Delta \\ \Delta & -B \\ \end{pmatrix} \cdot \psi_1=-B \sqrt{B^2+\Delta^2} \cdot \psi_1$$
und
$$\begin{pmatrix} B & \Delta \\ \Delta & -B \\ \end{pmatrix} \cdot \psi_2=B \sqrt{B^2+\Delta^2} \cdot \psi_2$$
Das passt so nicht mit den Eigenwerten überein. Wenn $\psi_1$ und $\psi_2$ Eigenvektoren sein sollen, dann muss auf der rechten Seite $E_1\psi_1$ bzw. $E_2\psi_2$ stehen (ich habe die Vektorpfeile weggelassen). Prüfe also nochmal, ob du dich verrechnet hast.
Ich komme z.B. auf
$$
\begin{pmatrix} B & \Delta \\ \Delta & -B \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{B+E_1}{\Delta} \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} B\cdot \frac{B+E_1}{\Delta}+\Delta \\ E_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{B^2+\Delta^2+B\cdot E_1}{\Delta}\\ E_1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{E_1^2+B\cdot E_1}{\Delta}\\ E_1 \end{pmatrix}=E_1\cdot\begin{pmatrix} \frac{B+E_1}{\Delta} \\ 1\end{pmatrix}
$$
LG Nico
\(\endgroup\)
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Lambda88
Aktiv
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-07
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Keine Ahnung, wie ich das B vor der Wurzel hineinbekommen habe 😃, aber hier ist meine Rechnung noch einmal ausführlicher
$\left( \begin{array}{rrr}
B & \Delta \\
\Delta & -B \\
\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{B-\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \\ 1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{B-\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \cdot B + \Delta \\ B-\sqrt{B^2+\Delta^2}-B \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \frac{\sqrt{B^2+\Delta^2} \cdot \Bigl( \sqrt{B^2+\Delta^2}-B \Bigr)}{\Delta} \\ -\sqrt{B^2+\Delta^2} \end{array}\right)=-\sqrt{B^2+\Delta^2} \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{B-\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \\ 1 \end{array}\right)=E_1 \cdot \left(\begin{array}{c} \frac{B-\sqrt{B^2+\Delta^2}}{\Delta} \\ 1 \end{array}\right)$
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-06-07
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
Das ist im Wesentlichen die gleiche Rechnung, wie meine. Das passt also👍 Wenn du $-\sqrt{B^2+\Delta^2}=E_1$ und $\sqrt{B^2+\Delta^2}=E_2$ in deinen Eigenvektoren schreibst, dann wird es zumindest nochmal etwas übersichtlicher. Aber grundlegend einfacher werden die Formeln wohl nicht werden.
LG Nico\(\endgroup\)
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Lambda88
Aktiv
Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 296
| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-07
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Nochmals vielen Dank für deine Hilfe nzimme10 👍
Bezüglich des Aufgabenteils b, dort muss ich ja jetzt die Eigenwerte, Eigenvektoren und das Quadrat der Eigenvektoren skizzieren als Funktion von $\frac{B}{\Delta}$
Ich habe mir jetzt vorgestellt, dass $\frac{B}{\Delta}=x$ und habe dann bei den Formeln für die Energie $E_1$ und $E_1$ einfach das $\Delta$ ausgeklammert, also
$$E_1=-\sqrt{B^2+\Delta^2}=-\Delta \cdot \sqrt{\frac{B}{\Delta}+1}=-\Delta \cdot \sqrt{x^2+1}$$
$$E_2=\sqrt{B^2+\Delta^2}=\Delta \cdot \sqrt{\frac{B}{\Delta}+1}=\Delta \cdot \sqrt{x^2+1}$$
Die Skizze für die beiden Energie würden dann wie folgt lauten:
https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/uploads/c/39767_Bildschirmfoto_2023-06-07_um_19.45.43.png
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nzimme10
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Wohnort: Köln
| Beitrag No.7, eingetragen 2023-06-07
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Ja, so kannst du das machen👍
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Lambda88
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Dabei seit: 08.05.2014
Mitteilungen: 296
| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Nochmals vielen Dank für deine Hilfe nzimme10 👍👍👍
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Lambda88 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Lambda88 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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