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  Ellipse und quadratische Form |
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Sekorita
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 |  Themenstart: 2023-06-08
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Hallo,
es geht um folgende Aufgabe:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55059_KA5.JPG
Mein Gedankengang ist folgender:
q((x;y)) müsste die Form a*x^2+b*y^2 haben, weil E symmetrisch bezüglich der Achsen ist. Jetzt muss ich ja nur noch ein a und b finden, sodass
E={(x;y) ; a*x^2+b*y^2 =1 }
Ich weiß aber jetzt nicht genau, wie ich genau die Informationen die mir E gibt verwerten soll.
Die Punkte (-3,0) und (3,0) sind die Brennpunkte und ich habe mir auch bei GeoGebra eine Ellipse visualisiert.
Aber ich verstehe nicht ganz, wie jetzt auf mein bestimmtes a und b kommen soll...
Ebenfalls habe ich auch
und auch folgende Infos durchgelesen: http://www.mathematische-basteleien.de/ellipse.htm
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ochen
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| Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-08
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Hi,
du kannst es doch ganz normal umstellen, sodass die Wurzeln verschwinden:
\[\begin{align*}
\sqrt{(x-3) ^2+y^2}+\sqrt{(x+3) ^2+y^2}&=10\\
\sqrt{(x-3) ^2+y^2}&=10-\sqrt{(x+3) ^2+y^2}\\
(x-3) ^2+y^2&=100-20\sqrt{(x+3) ^2+y^2}+(x+3)^2+y^2\\
-12x-100&=\ldots
\end{align*}\]
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StrgAltEntf
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-06-08
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Hallo Sekorita,
bestimme mithilfe der "Gärtnergleichung" Punkte auf der x- und auf der y-Achse, die auf der Ellipse liegen.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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Sekorita
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| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Hallo,
die Umformungen konnte ich nachvollziehen, aber was ich jetzt überhaupt tun soll, ist mir immer noch schleierhaft.
ich habe versucht die ganze Gleichung umzuformen, komme aber dann auf
16= x^2+6x+y^2
Ich weiß aber a) nicht wie ich hier a und b erraten soll und b) wie ich die quadratische Form und Ellipsenbedingung zusammenbringen soll....
Die Gärtnergleichung habe ich ebenfalls nicht gefunden.
Eine generelle Erklärung wäre wirklich hilfreich, damit ich überhaupt verstehe, "was ich hier mache "
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ochen
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-08
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Hi,
aber ich kann deine Umformungen nicht nachvollziehen. Schreib doch mal alle Schritte auf, wie du zu deiner Gleichung kommst.
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Sekorita
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Upps ich hatte ein + mit einem - verwechselt
ich führe deine Umformung mal fort:
(x-3)^2+y^2=100-20*sqrt((x+3)^2 +y^2) +(x+3)^2+y^2
=> x^2-6x+9 +y^2 = 100- 20*sqrt( x^2+6x+9 +y^2) +x^2+6x+9+y^2
bin. Formeln
=> -12x-100 = - 20*sqrt( x^2+6x+9 +y^2)
<=> 12x+100= 20*sqrt( x^2+6x+9 +y^2)
jetzt fiel mir nur ein wieder beide Seiten zu quadrieren und dann erhalte ich
144x^2+2400x+10000=400x^2+2400x+3600+400y^2
Ist das denn überhaupt zielführend?
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ochen
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-08
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Ja, das ist zielführend. :)
Ziehe alles mit x oder y auf die linke Seite und den Rest auf die Rechte Seite.
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Sekorita
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Auflösen ergebe dann
x^2= (400y^2-6400)/ -256
x^2 = -25y^2/16 +25 und wenn y<=4 ist, dann
ist x_1= (5*sqrt(16-y^2) / 4)
x_2= -(5*sqrt(16-y^2) / 4)
Was fange ich jetzt damit an ?
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.8, eingetragen 2023-06-08
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\quoteon(2023-06-08 18:33 - Sekorita in Beitrag No. 7)
Auflösen ergebe dann
x^2 = -25y^2/16 +25 ...
Was fange ich jetzt damit an ?
\quoteoff
Hier bist du doch am Ziel.
\(\frac1{25}x^2+\frac1{16}y^2=1\)
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-06-08
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Um noch mal hier drauf zurück zu kommen.
\quoteon(2023-06-08 16:40 - StrgAltEntf in Beitrag No. 2)
Hallo Sekorita,
bestimme mithilfe der "Gärtnergleichung" Punkte auf der x- und auf der y-Achse, die auf der Ellipse liegen.
\quoteoff
Man sieht leicht, dass die Punkte \((\pm5,0)\) und \((0,\pm4)\) auf der Ellipse liegen. Daraus lassen sich a und b direkt ablesen.
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Sekorita
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Oh man.... das rechnerische habe ich verstanden, danke.
Aber wieso sieht man das leicht ? Also was ist mit Gärtnergleichung gemeint?
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Sekorita
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Und eventuell eine doofe frage, aber a= 5 und b =-4, korrekt ?
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-06-08
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\quoteon(2023-06-08 19:07 - Sekorita in Beitrag No. 10)
Aber wieso sieht man das leicht ? Also was ist mit Gärtnergleichung gemeint?
\quoteoff
Die Ellipse besteht doch aus den Punkten, bei denen die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten (3,0) und (-3,0) gleich 10 ist. (Das habe ich mit Gärtnergleichung gemeint.) Die in #9 angegebenen Punkte sind vier davon. Hieraus lassen sich dann die Halbachsen 4 und 5 und damit die Ellipsengleichung \((\frac x5)^2+(\frac y4)^2=1\) direkt ablesen.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.10 begonnen.]
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StrgAltEntf
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-06-08
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\quoteon(2023-06-08 19:23 - Sekorita in Beitrag No. 11)
Und eventuell eine doofe frage, aber a= 5 und b =-4, korrekt ?
\quoteoff
Wenn die Ellipse die Gleichung ax² + by² = 1 hat, sind a = 1/25 und b = 1/16.
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Sekorita
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08
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Das wollte ich gerade korrigieren mit a und b, da warst du schneller 😄
Jetzt habe ich es verstanden, danke für deine Hilfe :)
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