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Integration » Lebesgue-Integral » Monotone Konvergenz
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Universität/Hochschule Monotone Konvergenz
WomBud
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  Themenstart: 2023-06-08

Hallo Leute :), ich bin neu hier im Forum und wäre dankbar für jeden Tipp, den ihr mir geben könnt. Momentan beschäftige ich mich mit folgenden Aufgabe: Sei $f:\mathbb{R} \to [0,\infty]$ lebesgue-integrierbar. Zeige, dass für alle $\alpha > 0$ und für fast alle $x \in \mathbb{R}$ gilt $$\sum\nolimits_{n=1}^\infty n^{- \alpha} f(nx) < \infty.$$ Da f nur nicht negative Werte annimmt, kann ich Tonelli anwenden. Tonelli besagt, dass wenn f eine nicht negative messbare Funktion ist, so darf man Integral und Summe vertauschen. Damit bekomme ich $$\sum\nolimits_{n=1}^\infty \int_{\mathbb{R}} n^{- \alpha} f(nx).$$ Als nächstes möchte ich das Integral $\int_{\mathbb{R}} n^{- \alpha} f(nx)$ berechnen, doch komme nicht weiter.. Als Definitionsmenge ist $\mathbb{R}$ angegeben, muss ich hier eine passende obere und untere Grenze angeben? Zudem bereitet mir das $n$ in $f(nx)$ Bauchschmerzen ^^. Muss ich das $n$ wegkriegen? LG, WomBud

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nzimme10
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\) Hallo, wo kommt denn das Integral auf einmal her? Du möchtest doch $$ \sum_{n=1}^\infty n^{-\alpha} f(nx) < \infty $$ zeigen, oder nicht? LG Nico\(\endgroup\)

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WomBud
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08

Hey, Ich betrachte $\sum\nolimits_{n=1}^\infty n^{- \alpha} f(nx)$ = $g(x)$ be und wollte dann anschließend das Integral berechnen. Falls der Gedanke falsch ist müsste ich mir einen anderen Weg überlegen. LG

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nzimme10
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  Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\) Aber in der Aussage, die du zeigen willst, gibt es kein Integral. Hast du das Integral einfach vergessen? Möchtest du also eigentlich $$ \int\limits_{\mathbb R}\sum_{n=1}^\infty n^{-\alpha} f(nx) \dd\lambda < \infty $$ zeigen? LG Nico\(\endgroup\)

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WomBud
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  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08

Upsi ich habe anscheinend doch vergessen das Integral mitzuschreiben. Sorry dafür. Hier ist die komplette Aufgabe: https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56401_21.PNG

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nzimme10
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  Beitrag No.5, eingetragen 2023-06-08

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\) Okay, wir kommen der Sache näher. Du hast die Aufgabenstellung im Themenstart richtig wiedergegeben. Um zu zeigen, dass $g(x)<\infty$ fast überall gilt, zeigen wir $\int g \dd \lambda <\infty$ (wenn dir noch nicht ganz klar ist, warum man das auf diese Weise zeigen kann, dann solltest du dir auch das am besten nochmal überlegen). Da kommt also das Integral her😁 Nun zum eigentlichen Problem: Kannst du zeigen, dass $$ \int_{\mathbb R} f(nx) \dd x=\frac 1n \int_{\mathbb R} f(x) \dd x $$ für festes $n>0$ gilt? Definieren wir $I(f):=\int_{\mathbb R} f(x) \dd x<\infty$, dann haben wir damit $$ \sum_{n=1}^\infty \int_{\mathbb R} n^{-\alpha} f(nx) \dd x=\sum_{n=1}^\infty n^{-\alpha}\int_{\mathbb R} f(nx) \dd x=I(f)\cdot\sum_{n=1}^\infty n^{-(1+\alpha)}. $$ Auf der rechten Seite haben wir nun eine Konstante multipliziert mit einer verallgemeinerten harmonischen Reihe. Kommst du nun ans Ziel? LG Nico\(\endgroup\)

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WomBud
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-08

Hey Nico, Ich danke dir für deine Antwort. \quoteon Nun zum eigentlichen Problem: Kannst du zeigen, dass $$ \int_{\mathbb R} f(nx) \dd x=\frac 1n \int_{\mathbb R} f(x) \dd x ?$$ \quoteoff Tatsächlich bin ich heute sogar auf sowas ähnliches gekommen. Ich dachte aber, dass es falsch wäre... Ich habe eine Ahnung wie man das $n$ aus dem $f(nx)$ rausbekommt, kann es aber nicht formal aufschreiben. Man müsste die gesamte Definitionsmenge $\mathbb{R}$ mit $\frac 1n$ multiplizieren. Denn für $\frac xn \in \frac 1n \mathbb{R}$ ist $f(n \frac xn)$ = $f(x).$ Warum man $\frac 1n$ komplett aus dem Integral nehmen kann, kann ich mir nicht erklären... gibt es dafür eine Regel oder einen Trick? \quoteon Definieren wir $I(f):=\int_{\mathbb R} f(x) \dd x<\infty$, dann haben wir damit $$ \sum_{n=1}^\infty \int_{\mathbb R} n^{-\alpha} f(nx) \dd x=\sum_{n=1}^\infty n^{-\alpha}\int_{\mathbb R} f(nx) \dd x=I(f)\cdot\sum_{n=1}^\infty n^{-(1+\alpha)}. $$ Auf der rechten Seite haben wir nun eine Konstante multipliziert mit einer verallgemeinerten harmonischen Reihe. Kommst du nun ans Ziel? \quoteoff Ich behaupte, dass $I(f)\cdot\sum_{n=1}^\infty n^{-(1+\alpha)} < \infty$ ist,denn $$I(f)\cdot\sum_{n=1}^\infty n^{-(1+\alpha)} = I(f) \cdot \lim \limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k n^{-(1+\alpha)}$$ Da nach Definition $I(f) < \infty$ ist und $\lim \limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k n^{-(1+\alpha)}$ konvergiert und damit $< \infty$ ist, ist $I(f) \cdot \lim \limits_{k \to \infty} \sum_{n=1}^k n^{-(1+\alpha)} < \infty.$ Ist damit schon gezeigt, dass $g(x) < \infty$ ist? LG

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nzimme10
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  Beitrag No.7, eingetragen 2023-06-09

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}}\) \quoteon(2023-06-08 23:54 - WomBud in Beitrag No. 6) Ich habe eine Ahnung wie man das $n$ aus dem $f(nx)$ rausbekommt, kann es aber nicht formal aufschreiben. Man müsste die gesamte Definitionsmenge $\mathbb{R}$ mit $\frac 1n$ multiplizieren. Denn für $\frac xn \in \frac 1n \mathbb{R}$ ist $f(n \frac xn)$ = $f(x).$ Warum man $\frac 1n$ komplett aus dem Integral nehmen kann, kann ich mir nicht erklären... gibt es dafür eine Regel oder einen Trick? \quoteoff Die Transformationsformel (für das Riemann-Integral wäre das die Substitutionsregel - bis auf den Absolutbetrag) in Verbindung mit dem Diffeomorphismus $\varphi_n\colon \mathbb R\to \mathbb R, \ x\mapsto \frac xn$ sollte dir bei dem Integral helfen. \quoteon Ist damit schon gezeigt, dass $g(x) < \infty$ ist? \quoteoff Wie gesagt, wenn es dir noch nicht klar ist, dann solltest du dir das auf jeden Fall überlegen. Also beweise die folgende Aussage: Wenn $f\colon \mathbb R\to [0,\infty]$ Lebesgue-integrierbar ist, dann gilt $f(x)<\infty$ $\lambda$-fast überall. Hinweis dazu: Überlege dir mal, was wäre, wenn $A:=\lbrace x\in \mathbb R\mid f(x)=\infty\rbrace$ nicht in einer $\lambda$-Nullmenge enthalten wäre. LG Nico\(\endgroup\)

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