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  Nicht ausgeartete, symplektische Bilinearform |
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Sekorita
Aktiv 
Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 494
 |  Themenstart: 2023-06-09
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Hallo,
Ein Kommilitone hat sich an folgenden Beweis gesetzt und wir wollten wissen, ob dieser in sich konsistent und korrekt ist. Orientiert wurde sich an einem ähnlichen Beweis des Dozenten:
Die Aufgabe lautete:
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/55059_Ka9.JPG
Um zu zeigen, dass es eine Basis e1, . . . , em, f1, . . . , fm von V gibt, bei der
B(ei, ej ) = 0 = B(fi, fj ) für alle i, j = 1, . . . , m, nehmen wir zunächst eine beliebige Basis v1, . . . , v2m von V .
Da die Bilinearform B nicht ausgeartet ist, können wir für jeden Vektor
v_i einen Vektor w_i \el\ V finden, so dass B(v_i, w_i) ̸!=0
wähle nun eine Teilmenge der Basisvektoren aus, bei denen B(v_i, w_i)!=0, und wandeln diese ab um die gewünschte Basis zu erhalten.
Wir definieren I als die Menge der Indizes i \el\ 1, . . . , 2m, für die B(v_i, w_i) != 0 gilt.
Da B nicht ausgeartet ist, ist I nicht leer. Außerdem definieren wir J als
die Menge der Indizes j \el\ 1, . . . , 2m, f ̈ur die B(v_j , w_j )=0 gilt.
Für jeden Index i \el\ I setzen wir e_i = v_i und f_i = w_i.
Dies kann eine Basis von V sein, da I nicht leer ist und die Vektoren v_i linear unabhängig sind.
Für jeden Index j \el\ J setzen wir e_j = v_j und f_j als einen beliebigen
Vektor in V, der linear unabhängig von den bisher ausgewählten Vektoren ist.
Wir müssen nun zeigen, dass die gewählten Vektoren e_1,..., e_m, f_1, . . .,f_m die gewünschten Eigenschaften erfüllen.
Zunächst betrachte die Paare (e_i, e_j ) mit i, j \el\ I. Da für alle i \el\ I
gilt, dass B(v_i, w_i) != 0, haben wir B(e_i, f_j ) = B(v_i, w_j ) = 0 für alle i, j \el\ I (da j \el\ J). Daher ist B(e_i, e_j ) = B(v_i, v_j ) = 0 für alle i, j \el\ I.
Als nächstes betrachte die Paare (f_i, f_j ) mit i, j \el\ I. Da für alle i \el\ I gilt, dass B(v_i, w_i) != 0, haben wir B(f_i, f_j ) = B(w_i, w_j ) = 0 für alle i, j \el\ I (da i, j \el\ I).
Daher ist B(f_i, f_j ) = 0 fpr alle i, j \el\ I.
Schließlich betrachte die Paare (e_i, f_j ) mit i \el\ I und j \el\ J. Da für alle i \el\ I und j \el\ J gilt, dass B(v_i, w_j ) = 0, haben wir B(e_i, f_j ) = B(v:i, w_j ) = 0 für alle i \el\ I und j \el\ J.
Da wir gezeigt haben, dass B(e_i, e_j ) = 0 = B(f_i, f_j ) für alle
i, j = 1, . . . , m
gilt, erfüllen die Vektoren e_1, . . . , e_m, f1, . . . , f_m die gewünschten Eigenschaften.
Daher existiert eine solche Basis von V .
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Mandelbluete
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Mitteilungen: 584
Wohnort: Fuchsbau
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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Hallo, Sekorita.
\quoteon(Sekorita)
Um zu zeigen, dass es eine Basis e1, . . . , em, f1, . . . , fm von V gibt, bei der
B(ei, ej ) = 0 = B(fi, fj ) für alle i, j = 1, . . . , m, nehmen wir zunächst eine beliebige Basis v1, . . . , v2m von V .
Da die Bilinearform B nicht ausgeartet ist, können wir für jeden Vektor
v_i einen Vektor w_i \el\ V finden, so dass B(v_i, w_i) !=0
wähle nun eine Teilmenge der Basisvektoren aus, bei denen B(v_i, w_i)!=0, und wandeln diese ab um die gewünschte Basis zu erhalten.
Wir definieren I als die Menge der Indizes i \el\ 1, . . . , 2m, für die B(v_i, w_i) != 0 gilt.
\quoteoff
Das ist schon nicht verständlich. Die $w_i$ werden doch so gewählt, daß $B(v_i,w_i) \neq 0$ für alle $i$ ist. Es ist also $I = \{1, \ldots, 2n\}$ und $J = \emptyset$, und insgesamt hat man $4n$ Vektoren.
Darüber hinaus ist a priori nicht klar, daß die Dimension von $V$ gerade ist. Auch das muß gezeigt werden.
In der Aufgabe muß $v \neq 0$ bei der Definition, wann $B$ nicht-ausgeartet ist, vorausgesetzt werden.
Einfacher fände ich es, das per vollständiger Induktion über die Dimension von $V$ zu machen: Sei $V \neq \{0\}$ und $e_1 \in V \setminus \{0\}$ beliebig. Dann gibt es $f_1\in V$ mit $B(e_1,f_1) \neq 0$. Dieses $f_1$ ist daher von $e_1$ linear unabhängig. Die Dimension von $V$ muß mindestens $2$ sein. Wenn sie gleich $2$ ist, dann gilt $V = \langle e_1, f_1\rangle$. Wegen $B(e_1,e_1) = 0 = B(f_1,f_1)$ hat man eine Basis der Art, wie man sie will. Wenn die Dimension größer als $2$ ist, setze $W := \langle e_1, f_1\rangle$. Weil $B$ nicht-ausgeartet ist, gilt $V = W \oplus W^\perp$ (eventuell beweisen). Wende die Induktionsvoraussetzung auf $W^\perp$ an (die Einschränkung von $B$ darauf ist eine nicht-ausgeartete symplektische Bilinearform; vorausgesetzt ist nun, daß das impliziert, daß die Dimension gerade ist und man so eine Basis hat).
Liebe Grüße
Mandelblüte
\(\endgroup\)
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Sekorita
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Dabei seit: 26.10.2021
Mitteilungen: 494
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-15
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Hallo,
entschuldige für meine späte Antwort. Leider habe ich es nicht mehr rechtzeitig geschafft, mich mit der Aufgabe auseinanderzusetzen, aber sie wenigstens anschließend in der Übungsgruppe nachvollziehen können
Danke aber trotzdem für die Hilfe
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Sekorita hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Sekorita hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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