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  Lokales Martingal |
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MalibuRazz
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 |  Themenstart: 2023-06-09
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Hallo, ich soll zeigen, dass ein integrierbares, lokales Martingal $(X_t)_{t=1,...,T}$ ein Martingal ist.
Als Tipp sollte man die Menge $\{\tau_n > t\}$ betrachten. Ich habe paar Bruchstücke gesammelt, aber weiß nicht, wie ich die zu einem Beweis zusammensetzen soll.
Betrachte zunächst eine lokalisierende Folge $(\tau_n)$ zu $X_t$ (also $(\tau_n)$ Stoppzeiten mit $\mathbb{P}(\tau_n=T)\to 1$). Ich muss ja zeigen: $$E(1_A(X_t-X_s))=0, s\leq t, A \in\mathcal{F}_s.$$ Da $X_{t\land\tau_n}$ ein Martingal ist, gilt $$E(1_A(X_{t\land\tau_n}-X_{s\land\tau_n}))=0\ \forall n\in\mathbb{N}, s\leq t, A\in\mathcal{F}_s$$
Wegen $|1_A(X_{t\land\tau_n}-X_{s\land\tau_n})|\leq\max_{i=1,...,T}|X_i|\leq\sum_{i=1}^T|X_i|<\infty$ können wir majorisierte Konvergenz benutzen und den Grenzwert in den Erwartungswert ziehen. Wegen $\{\tau_n>t\}\subset\mathcal{F}_t$ können wir $A=\{\tau_n>t\}\subset\mathcal{F}_t$ wählen.
Aber wenn man die Menge $\{\tau_n>t\}$ betrachtet, gilt dort doch $X_{t\land\tau_n}=X_t$, dann benötige ich doch keine majorisierte Konvergenz, um alles auf die Martingaleigenschaft zurückzuführen, oder?
Vielen Dank für jede Hilfe bei dem Beweis!
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AnnaKath
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-09
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}\)
Huhu MalibuRazz,
bist Du Dir sicher, dass die Aufgabe so korrekt wiedergegeben ist? Ist der betrachtete Prozess wirklich endlich und diskret?
In meinen Augen ergibt die Betrachtung lokaler Eigenschaften für solche Prozesse wenig Sinn.
Im Allgemeinen ist die Aussage im Übrigen falsch. Ragers und Williams geben in "Diffusions, Markov Processes and Martingales (vol. 2)" das folgende Gegenbeispiel an: Zu einer Brownschen Bewegung $B$ betrachte man den Prozess $X_{t} = |B_{1+t}|^{-1}$.
Tatsächlich gilt aber: Ist $M$ ein beschränktes lokales Martingal, so ist M bereits ein Martingal.
lg, AK\(\endgroup\)
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MalibuRazz
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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Hallo AK,
ja ich habe die Aufgabenstellung 1:1 abgetippt. Zusätzlich sollte ich noch sagen, ob die Aussage auch bei einem kontinuierlichen Zeitbereich $[0,\infty)$ gilt.
\quoteon Tatsächlich gilt aber: Ist $M$ ein beschränktes lokales Martingal, so ist M bereits ein Martingal.
\quoteoff
Den Satz hatten wir auch in der Vorlesung! Wir hatten auch den Satz "In diskreter, endlicher Zeit $T$ ist jedes $P$-f.s. nicht-negative lokale Martingal ein Martingal" gezeigt. Jetzt muss ich das für ein integrierbares lokales Martingal zeigen. Die Bruchstücke oben orientieren sich Teils an den Beweis des letzteren Satzes
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AnnaKath
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-09
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}\)
Huhu,
die Zusatzfrage habe ich Dir also schon beantwortet...
Zum Beweis: Ein integrierbares lokales Martingal ist bereits ein Martingal, wenn $\mathbb{E} \, \sup_k \, |M_{t\land \tau_k}| < \infty$ für alle $t$ gilt. Daraus folgt dann nämlich (via dominierter Konvergenz) die Konvergenz $M_{t\land \tau_k} \to M_t$ in $L^1$.
lg, AK\(\endgroup\)
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MalibuRazz
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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\quoteon(2023-06-09 15:08 - AnnaKath in Beitrag No. 3)
Zum Beweis: Ein integrierbares lokales Martingal ist bereits ein Martingal, wenn $\mathbb{E} \, \sup_k \, |M_{t\land \tau_k}| < \infty$ für alle $t$ gilt. Daraus folgt dann nämlich (via dominierter Konvergenz) die Konvergenz $M_{t\land \tau_k} \to M_t$ in $L^1$.
\quoteoff
Hallo AK!
Ich weiß, dass $$E(1_A(X_{t\land\tau_n}-X_{s\land\tau_n}))=0\ \forall n\in\mathbb{N}, s\leq t, A\in\mathcal{F}_s$$ gilt und ich will zeigen $$E(1_A(X_t-X_s))=0, s\leq t, A \in\mathcal{F}_s.$$
Wegen $|1_A(X_{t\land\tau_n}-X_{s\land\tau_n})|\leq\max_{i=1,...,T}|X_i|\leq\sum_{i=1}^T|X_i|<\infty$ hab ich eine integrierbare Majorante. Also mit $A\in\mathcal{F}_{s\land\tau_n}, s\leq t$ $$0= lim_{n\to\infty}E(1_A(X_{t\land\tau_n}-X_{s\land\tau_n}))\overset{\text{dom.Konv.}}{=}E(lim_{n\to\infty}1_A(X_{t\land\tau_n}-X_{s\land\tau_n}))=E(1_A(X_{t\land T}-X_{s\land T}))=E(1_A(X_{t}-X_{s})),$$ was zu zeigen war? Aber wozu sollte ich die Menge $\{\tau_n>t\}$ betrachten?
Vielen Dank für jede weitere Hilfe beim Beweis!
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AnnaKath
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-06-09
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}\)
Huhu,
Du wiederholst nur Deinen Beweisversuch aus dem ersten Beitrag, oder?
Jedenfalls sehe ich nicht, wieso $X_t$ beschränkt sein sollte, wieso also $\sum X_i < \infty$ gelten sollte. Stammt dies aus dem anderen Beweis? Jedenfalls leuchtet das Argument so nicht ein.
Verfolge doch einmal meinen Hinweis, $X_{t\land \tau_k} \to X_t$ zu zeigen, in dem Du $\mathbb{E} \, \sup_k \, |X_{t\land \tau_k}|$ betrachtest.
Grundsätzlich muss man nicht jeden Hinweis zu einer Aufgabe betrachten. Meist führen ja verschiedene Wege nach Rom und man muss nicht denjenigen verfolgen, den der Fragestellende vermutlich einem Buch, in dem eine spezielle Lösung vorgestellt wird, entnommen hat.
Wenn Du das aber unbedingt tun möchtest, dann wäre es sinnvoll, den Beweis auch möglichst elementar aufzuschreiben. Insbesondere wirst Du irgendwo nutzen müssen, dass $X_t$ integrierbar ist. Dies solltest Du dann kenntlich machen. Ausserdem wäre es natürlich hilfreich, wenn irgendwo die definierende Eigenschaft eines Martingals ($\mathbb{E} M_t | \mathcal{F}_s = M_s$) auftauchte.
Nur so wird man Dir helfen können, Deine Schwierigkeiten mit dem Beweis wirklich zu erkennen.
Aber es steht Dir natürlich auch frei, eine konkrete Frage zu einem einzelnen Beweisschritt zu stellen.
lg, AK\(\endgroup\)
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MalibuRazz hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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