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  Mehrdimensionaler Mittelwertsatz |
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ramy69
Aktiv 
Dabei seit: 23.05.2023
Mitteilungen: 197
 |  Themenstart: 2023-06-09
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(a) Konstruieren Sie (für ein Paar $(n, m) \in \mathbb{N}^2$ ) eine differenzierbare Funktion $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^m$ mit der Eigenschaft, dass es $a, b \in \mathbb{R}^n$ gibt, sodass mit $\varphi(t)=a+t(b-a)$ für $t \in[a, b]$ die Identität
$$
f(b)-f(a)=f^{\prime}(c)(b-a)
$$
für kein $c \in \varphi([0,1])$ erfüllt ist.
Kann mir jemand mal an einem Beispiel verdeutlichen, wie das gemeint ist?
So ganz verstehe ich die Funktion $\varphi(t)=a+t(b-a)$ für $t \in[a, b]$ auch noch nicht.
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Wally
Senior 
Dabei seit: 02.11.2004
Mitteilungen: 9774
Wohnort: Dortmund, Old Europe
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-09
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\D}{\displaystyle}\)
Hallo,
such mal ein Beispiel für \( n=1\) und \( m=2\).
Viele Grüße
Wally \(\endgroup\)
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ramy69
Aktiv
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Mitteilungen: 197
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-09
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Könnte vielleicht $f(x)= (x,x^2)$ klappen?
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nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
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Wohnort: Köln
 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-10
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2\\ #3\end{pmatrix}}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}\)
\quoteon(2023-06-09 16:39 - ramy69 im Themenstart)
So ganz verstehe ich die Funktion $\varphi(t)=a+t(b-a)$ für $t \in[a, b]$ auch noch nicht.
\quoteoff
Das ist eine Parametrisierung der Verbindungsstrecke von $a$ und $b$. $\varphi([0,1])$ ist genau diese Verbindungsstrecke. Deutlicher sieht man das, wenn man
$$
a+t(b-a)=a+tb-ta=(1-t)a+tb
$$
schreibt. Für $t=0$ ist $\varphi(0)=a$, für $t=1$ ist $\varphi(1)=b$ und für $0\(\endgroup\)
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-10
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Hi :)
\quoteon(2023-06-09 17:10 - ramy69 in Beitrag No. 2)
Könnte vielleicht $f(x)= (x,x^2)$ klappen?
\quoteoff
Probiere es doch aus:
\[
\begin{bmatrix}b-a\\b^2-a^2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2c\end{bmatrix}(b-a)
\]
ist für $c=\frac 12(a+b) $ erfüllt. Dieser Punkt liegt auf der Verbindungsstrecke. Also ist deins kein Gegenbeispiel.
Es sollte keine der Komponenten einfach nur x sein, da damit keine neue Bedingung an c entsteht. Das Ziel ist es bei jeder Komponente von $f$ eine neue Bedingung an c zu haben, die sich gegenseitig ausschließen.
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ramy69
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Mitteilungen: 197
| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Vielen Dank Nico und Ochen.
Zu Ochen: Sehr gut dann habe ich es richtig überprüft :D. Dann werde ich wohl mal weiter suchen!
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ramy69
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Ich habe es jetzt für $f(x^2,x^3)$ probiert.
Ich bekomme für c einmal $(1/2)*(a+b)$ und die quadratwurzel aus $(b^2+ab+a^2)/3$ Setze ich die beiden gleich kommt a=b raus. Ich bin mir jetzt unsicher, ob das ein Widerspruch ist und ich ein Gegenbeispiel gefunden habe. Aber ich glaueb das ist keiner
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ochen
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-06-10
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Mach es konkreter. Setze beispielsweise $a=0$ und $b=1$. (Für $a=b$ ist die Gleichung $f(b) -f(a) =f'(c) (b-a) $ für alle differenzierbaren Funktionen $f$ und alle $c$ erfüllt.)
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ramy69
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Wenn ich das jetzt für dieselbe Funktion mache, dann erhälte ich $c=0,5$ und c= Wurzel aus $1/3$.
Außer ich missverstehe dich völlig. Entschuldige wenn ich mich so blöd anstelle.
Aber das macht doch auch keinen Sinn. Wähle ich a und b so, dann ist ja phi(t) = t und dann wähle ich t eben als 0,5 und wurzel aus 1/3 . Irgendwas muss ich noch nicht ganz verstehen
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ochen
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Dabei seit: 09.03.2015
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-06-10
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ramy69
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Hm irgendwie komme ich nicht weiter. Hast du vielleicht noch einen Tipp bzw kannst du mir sagen, worin vielleicht mein Denkfehler besteht?
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-06-10
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Du hast doch schon alles gesagt.
Sei $f\colon \mathbb R\to \mathbb R^3$ mit $f(x) =(x^2, x^3) ^T$, dann ist $f'(x)=(2x,3x^2)^T$. Es gibt kein $c\in[0, 1]$ mit
\[
\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=f(1) -f(0) =f'(c) (1-0) =\begin{bmatrix}2c\\3c^2\end{bmatrix},
\]
da die erste Zeile zu $c=\frac 12$ führt, aber $1\neq 3\cdot(\frac 12) ^2$ ist.
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ramy69
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Achso. Oh ich dachte du meinstmein Kommentar danach wäre richtig, dass ich falsch liege. Vielen Dank !!!!!!!!!!!!!!!!!
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