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  Beweis in Fritzsche "Grundkurs Analysis 2" |
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MathR
Junior 
Dabei seit: 21.04.2023
Mitteilungen: 16
 |  Themenstart: 2023-06-10
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Hallo zusammen,
meine Frage bezieht sich auf den Beweis der Trafo-Formel im Buch von Herrn Fritzsche "Grundkurs Analysis 2" (S. 274). In der Mitte der Seite etwa wird behauptet man könne die Abbildung $\varphi$ als Komposition der zwei Funktionen $\varrho$ und $\psi$ durch $\varphi=\varrho\circ\psi$ darstellen; beide Abbildungen der Komposition sind so beschaffen, dass sie eine Komponente festlassen. Das sehe ich ein.
Jetzt wird anschließend gesagt, dass man die Abbildung $\varphi$ auch mithilfe von Permutation durch eine neue - nennen wir sie $\tilde{\varphi}$ - ersetzen dürfe, die die erste Komponente festlässt. Beweist man den Satz für diese ersetzte Abbildung, hat man sie auch für $\varphi$ bewiesen.
Jetzt kommt mein Problem: Sei nämlich $ \pi$ die Permutation, die die Koordinaten $x_1$ und $x_2$ vertauscht und alles andere festlässt, dann könnte man schreiben:
$$\tilde{\varphi} = \varrho\circ (\pi^{-1}\circ\psi\circ \pi)$$
und man erhielte eine Abbildung, die die erste Komponente festlässt. Also beweist man nun zum Abschluss die Trafo-Formel für $\tilde{\varphi}$. Jetzt kommt das Problem, dass sie damit aber nicht für $\varphi$ bewiesen ist: Man könnte zwar jetzt an die Sätze 3.1.6 und 3.1.7 (S.272) denken, aber die liefern nicht das Ergebnis. Hat man nämlich die Aussage für $\tilde{\varphi}$ bewiesen, so gilt sie wegen der Sätze (und des Assoziativgesetzes für Verkettungen) auch für:
$$\tilde{\varphi}\circ \pi^{-1} = \varrho\circ \pi^{-1}\circ\psi.$$
Jetzt ist aber das Problem, dass man die Permutation $\pi^{-1}$ nicht durch Verkettung einer Permutation entfernen kann, sodass man $\varphi=\varrho\circ\psi$ herstellen könnte. Es ist im Allgemeinen nicht möglich eine Permutation nur von rechts oder nur von links an $\varphi$ zu setzen, damit eine Komponente fest bleibt, sodass man die Sätze anwenden kann.
Habe ich vielleicht etwas übersehen oder einen Denkfehler? Ich danke euch ganz herzlich für eure Hilfe!
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zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4998
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-10
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Ich kenne das Buch nicht, daher sagen mir auch die Seitenzahlen und Satznummern nichts.
Wenn ich aber hiervon ausgehe...
\quoteon(2023-06-10 15:46 - MathR im Themenstart)
beide Abbildungen der Komposition sind so beschaffen, dass sie eine Komponente festlassen.
\quoteoff
... dann lautet $\tilde\varphi$ nicht...
\quoteon(2023-06-10 15:46 - MathR im Themenstart)
$$\tilde{\varphi} = \varrho\circ (\pi^{-1}\circ\psi\circ \pi)$$
\quoteoff
... sondern$$
\tilde\varphi =
(\pi^{-1}\circ\varrho\circ\pi)\circ(\pi^{-1}\circ\psi\circ\pi) =
\pi^{-1}\circ\varrho\circ\psi\circ\pi =
\pi^{-1}\circ\varphi\circ\pi \;.
$$--zippy
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MathR
Junior
Dabei seit: 21.04.2023
Mitteilungen: 16
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Lieber Zippy, herzlichen für deine sehr schnelle Antwort. Danke auch, dass du mir geantwortet und darüber nachgedacht hast, auch wenn du sogar das Buch nicht hast. Da du es nicht vorliegen hast, sage ich mal etwas konkreter, wie die Abbildungen aussehen. Die Abbildung $\varphi$ sei wie folgt:
$$\varphi(x) = (\varphi_1(x),\dots,\varphi_n(x)).$$
Und diese Funktion ist so, dass man Funktionen derart definieren kann, dass $\varphi=\varrho\circ \psi$ ist, wobei man
$$\psi(x_1,\dots,x_n) =( \varphi_1(x),x_2,\dots,x_n)$$
und
$$\varrho(y_1,\dots,y_n) = (y_1,\varrho_2(y),\dots,\varrho_n(y))$$
mit $x=(x_1,\dots,x_n)$ hat. Das heißt also, dass $\psi$ alle außer höchstens die erste und $\varrho$ mindestens die erste Komponente festlässt. Für den Beweis soll nun mit Permutationen dafür gesorgt werden, dass eine Abbildung $\tilde{\varphi}$ entsteht, sodass diese die erste Komponente festlässt. Ich glaube, die von dir vorgeschlagene Permutation leistet es nicht, wenn ich mich nicht verrechnet habe. Aber dennoch wäre ihre Gestalt gut, weil man dann die angegebenen Sätze anwenden könnte.
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zippy
Senior
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 4998
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-10
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Inzwischen habe ich mir mal das Buch in Form einer dubiosen PDF-Quelle angesehen. Die Argumentation an der betrachteten Stelle verstehe ich etwas anders.
Im Induktionsschritt von $n-1$ auf $n$ wird nacheinander (in der logischen Reihenfolge, nicht in der Reihenfolge des Aufschriebs) gezeigt:
1. Die Behauptung gilt für eine Funktion der Form $
\boldsymbol\varphi(\mathbf x)=(x_1,\varphi_2(\mathbf x),\ldots,
\varphi_n(\mathbf x))$.
2. Jede Funktion $\boldsymbol\varphi$ lässt sich schreiben als $
\boldsymbol\varphi=\widetilde{\boldsymbol\varphi}\circ
\boldsymbol\sigma$ mit einer Permutationsabbildung $
\boldsymbol\sigma(\mathbf x)=(x_{\sigma(1)},\ldots,x_{\sigma(n)})$ und einer Abbildung $\widetilde{\boldsymbol\varphi}
$, die sich schreiben lässt als $
\widetilde{\boldsymbol\varphi}=\boldsymbol\varrho\circ
\boldsymbol\psi$ mit $\boldsymbol\varrho(\mathbf x)=
(x_1,\varrho_2(\mathbf x),\ldots,\varrho_n(\mathbf x))$ und $
\boldsymbol\psi(\mathbf x)=
(\psi_1(\mathbf x),x_2,\ldots,x_n)$.
3. Mit einer weiteren Permutationsabbildung $\boldsymbol\tau$ lässt sich $\boldsymbol\psi$ schreiben als $\boldsymbol\psi=
\boldsymbol\tau^{-1}\circ\widetilde{\boldsymbol\psi}\circ
\boldsymbol\tau$ mit $\widetilde{\boldsymbol\psi}(\mathbf x)=
(x_1,\widetilde\psi_2(\mathbf x),x_3,\ldots,x_n)$.
4. Es sind $\boldsymbol\varrho$ und $\widetilde{\boldsymbol\psi}$ von der im 1. Schritt betrachteten Form. Für sie gilt also die Behauptung.
5. Für die Permutationsabbildungen $\boldsymbol\sigma$ und $\boldsymbol\tau$ gilt die Behauptung gemäß Satz 3.1.6.
6. Die gesamte Funktion $\boldsymbol\varphi$ ist somit ein Produkt aus Funktionen, für die die Behauptung gilt. Gemäß Satz 3.1.7 gilt sie daher auch für $\boldsymbol\varphi$ selbst.
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MathR
Junior
Dabei seit: 21.04.2023
Mitteilungen: 16
|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Wow, vielen, vielen Dank! Ich wäre im Leben nicht darauf gekommen, es so zu verstehen bzw. das herauszulesen. Wie bist du darauf gekommen? Ich habe immer versucht, mit geeigneten Permutationen, die Funktion $\varphi$ umzuändern, sodass sie die entsprechende Form hat. Aber die Aussage am Ende des Beweises auf die von dir eingeführte Funktion $\tilde{\psi}$ anzuwenden, darauf wäre ich nicht gekommen. Du hast es viel strukturierter aufgeschrieben und so ist es sehr deutlich, wie es funktioniert. Ich ärgere mich, dann immer sowas nicht selbst zu erkennen 😐
Du hattest mir kürzlich auch beim Verständnis eines Beweises in Weirs General Integration geholfen, den hattest du griffbereit. Danke für deine Mühen, das PDF zu suchen. Ich habe jetzt gerade festgestellt, dass der Beweis auch im Skript von Herrn Fritzsche auf seiner Webseite steht, die hätte ich jetzt verlinken können - aber nun hat es sich schon erledigt. Nochmals lieben Dank für deine Hilfe! Viele Grüße, MathR
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