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  Jordan-Chevalley-Zerlegung und darstellende Matrix |
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ramy69
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Mitteilungen: 197
 |  Themenstart: 2023-06-10
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Es sei \( V=\mathfrak{s l}(2, \mathbb{C})=\{A \in \operatorname{Mat}(2 ; \mathbb{C}) \mid \) spur \( (A)=0\} \). Zu einer beliebigen matrix \( X=\left(\begin{array}{cc}a & b \\ c & -a\end{array}\right) \in V \) assoziieren wir die lineare Abbildung \( \phi_{X}: V \rightarrow V, A \mapsto \phi_{X}(A):=[X, A] \) (aus der Zusatzaufgabe.(c) folgt \( [X, A] \in V \) für alle \( X, A \in V) \).
(a) Bestimmen Sie eine Basis \( B \) von \( V \) und stellen Sie die Darstellungsmatrix \( M:=\mathcal{M}_{B}\left(\phi_{X}\right) \) auf.Problem/Ansatz:Wäre eine mögliche Basis
((1 0 (0 1 (0 0
0 -1) 0 0) 1 0)) ?Aber irgendwie kommt mir das komisch vor. und wie ich jetzt weiter machen soll, ist mir auch nicht ganz klar.
Ich hab jetzt mit meiner Basis dort oben für jeden dieser Basis Elemente die gegebene Abbildung benutzt. $AX-XA$ Dann habe ich aus diesen die darstellende Matrix erstellt
( (4b^2+4c^2) -4ab -4ac
-4ab (2c^2+4a^2) -2bc
-4ac -2bc (2b^2+4a^2) )
Kann das richtig sein?
Aber jetzt is t mein Problem, sollte das die Matrix sein, dann weiß ich nicht für welche a,b,c aus den komplexen Zahlen, das eine Nilpotente Matrix werden soll, um die Jordan Chevalley Zerlegung zu bekommen.
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Mandelbluete
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\newcommand{\F}{\mathbb{F}}
\newcommand{\K}{\mathbb{K}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\i}{\mathrm{i}}
\newcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\theta}{\vartheta}
\newcommand{\fuer}{\quad\text{fuer}\quad}
\newcommand{\Sp}{\operatorname{Sp}} \)
Hallo, Ramy!
Daran ist nichts komisch; allerdings kommt mir Dein Ergebnis falsch vor. Nennen wir die Vektoren der Basis $B$, die hier Matrizen sind, in Deiner Reihenfolge $e_1$, $e_2$, $e_3$, dann mußt Du $\phi_X(e_i)$ als Vektor in dieser Basis schreiben, und das ist dann die $i$-te Spalte der Matrix, zum Beispiel
\[
\phi_X(e_1) = Xe_1 - e_1X = \begin{pmatrix}0 & -2b \\ 2c & 0\end{pmatrix} = -2be_2 + 2ce_3 = \begin{pmatrix}0 \\ -2b \\ 2c\end{pmatrix}_{\!\!B}\!\!.
\]
Übrigens ist die Lie-Algebra $\mathfrak{sl}(2,\C)$ halbeinfach.
Liebe Grüße
Mandelblüte\(\endgroup\)
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ramy69
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Aber wieso muss ich das noch so umschreiben? Bis $\begin{pmatrix}0 & -2b \\ 2c & 0\end{pmatrix}$ dahin hatte ich es auch für alle 3 gemacht und Vielen Dank.
Also muss ich das noch für die anderen beiden machen und dann aus den zusammengesetzten 3x1 Vektoren ergibt sich die darstellende matrix ?
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Mandelbluete
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-10
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\D}{\mathrm{D}}
\newcommand{\eps}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\theta}{\vartheta}
\newcommand{\fuer}{\quad\text{fuer}\quad}
\newcommand{\Sp}{\operatorname{Sp}} \)
Das ist einfach stur angewendete lineare Algebra: man will die Koordinatenvektoren bzgl. $B$ der Bilder der Basisvektoren. Glücklicherweise bekommt man diese einfach durch Hinsehen. 🙂
\quoteon(ramy69)
Also muss ich das noch für die anderen beiden machen und dann aus den zusammengesetzten 3x1 Vektoren ergibt sich die darstellende matrix ?
\quoteoff
So ist es.
Liebe Grüße
Mandelblüte\(\endgroup\)
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ramy69
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Ah ich verstehe. Ich hab irgendwie vergessen den Basiswechsel zu machen. Vielen Dank.
$\begin{pmatrix}0 & -c & b \\ -2b & 2a & 0 \\ 2c & 0 & -2a\end{pmatrix}$
Ist das die richtige?
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ramy69
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Ich verzweifel auf jeden Fall daran die Chevalley Zerlegung zu finden.
Ich hab die Eigenwerte bestimmt mit 0, -2a, 2a
Dann bei 0 den Eigenraum (a,b,c) gefunden und bei -2a und 2a keinen einzigen
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Mandelbluete
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-11
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
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\newcommand{\fuer}{\quad\text{fuer}\quad}
\newcommand{\Sp}{\operatorname{Sp}} \)
Hallo, Ramy!
Die Matrix ist korrekt. Und von dieser sollst Du nun die Jordan-Chevalley-Zerlegung finden?
Sei $M$ diese Matrix.
Das charakteristische Polynom ist $\chi_M(x) = 4(a^2 + bc)x - x^3$. Man muß zwei Fälle unterscheiden:
1. $a^2 + bc \neq 0$. Sei $\lambda$ eine Wurzel von $a^2 + bc$. Dann haben wir die drei einfachen Eigenwerte $0$, $\pm 2\lambda$ mit notwendigerweise eindimensionalen Eigenräumen; also ist $M$ diagonalisierbar/halbeinfach, $M_h = M$, $M_n = 0$.
2. $a^2 + bc = 0$. Dann ist Null der einzige Eigenwert; also ist $M$ nilpotent, $M_h = 0$, $M_n = M$.
Liebe Grüße
Mandelblüte\(\endgroup\)
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ramy69
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-11
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Vielen Dank! So hatte ich es auch. Aber ich dachte man müsste eine Allgemeine für a,b,c angeben. Vielen Dank!
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