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 Uneigentliches Integral |
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Erdbeere99
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 |  Themenstart: 2023-06-10
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Existieren die folgenden uneigentlichen Integrale? Wenn ja, geben Sie ihren Wert an.
(a) \( \int \limits_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^{2}} d x \),
(b) \( \int \limits_{0}^{\infty} \frac{\ln x}{1+x^{2}} d x \).
Bei a) habe ich, dass es divergiert.
Bei b) scheitere ich aber schon beim Integrieren. Der Integralrechner sagt, dass man den Nenner mit (1+i) (1-i) faktorisieren soll und dann kommt noch der Polylogarithmus rein. Aber wir hatten das nie gehabt (weder VL noch Übung). Hat jemand eine alternative Idee, wie man das Integral lösen kann?
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Wauzi
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-06-10
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Hallo,
zu b) Ersetze das Innere des Integrals für kleine x durch log(x)*geometrische Reihe und schätze dann geeignet ab.
Du willst ja kein Ergebnis sondern nur die Existenz
Die Existenz für große x ist trivial
Gruß Wauzi
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Erdbeere99
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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\quoteon(2023-06-10 20:10 - Wauzi in Beitrag No. 1)
Hallo,
zu b) Ersetze das Innere des Integrals durch log(x)*geometrische Reihe und schätze dann geeignet ab.
Du willst ja kein Ergebnis sondern nur die Existenz
Gruß Wauzi
\quoteoff
Wenn ich die Existenz vorhanden ist, brauche ich das Ergebnis
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Squire
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-06-10
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Teile das Integral bei x=1 und substituiere in einem der beiden Teile u=1/x.
Grüße Squire
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Wauzi
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| Beitrag No.4, eingetragen 2023-06-10
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Den zweiten Teil habe ich übersehen. Die Idee mit der Zerlegung geht so:
1/(1+x^2)=1/2i*(1/(x-i)-1/(x+i))
Dann wieder geom. Reihe
Das entstehende Integral ist bekannt
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
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Erdbeere99
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| Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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\quoteon(2023-06-10 20:18 - Wauzi in Beitrag No. 4)
Den zweiten Teil habe ich übersehen. Die Idee mit der Zerlegung geht so:
1/(1+x^2)=1/2i*(1/(x-i)-1/(x+i))
Dann wieder geom. Reihe
Das entstehende Integral ist bekannt
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.1 begonnen.]
\quoteoff
Wie meinst du das mit der geometrischen Reihe?
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Wauzi
Senior
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| Beitrag No.6, eingetragen 2023-06-10
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1/(x-i)=-1/i*1/(1-x/i)=i*sum((x/i)^k,k=0,\inf )
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Erdbeere99
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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\quoteon(2023-06-10 21:36 - Wauzi in Beitrag No. 6)
1/(x-i)=-1/i*1/(1-x/i)=i*sum((x/i)^k,k=0,\inf )
\quoteoff
Und was mach ich jetzt damit?
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Erdbeere99
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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\quoteon(2023-06-10 21:36 - Wauzi in Beitrag No. 6)
1/(x-i)=-1/i*1/(1-x/i)=i*sum((x/i)^k,k=0,\inf )
\quoteoff
Aber nur mal so: Das Gilt doch nur, wenn |x/i| < 1. Das ist ja nicht zwingend gegeben
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Wauzi
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-06-10
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Für x>1 klammerst Du aus dem Nenner x aus. Deine Reihe läuft dann über i/x
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Erdbeere99
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| Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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\quoteon(2023-06-10 21:54 - Wauzi in Beitrag No. 9)
Für x>1 klammerst Du aus dem Nenner x aus. Deine Reihe läuft dann über i/x
\quoteoff
Das geht auch.
Aber was mache ich dann mit dem Produkt zweier Summen
bzw. wie schreibe ich das auf?
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Wauzi
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-06-10
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Du hast doch kein Produkt zweier Summen
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Erdbeere99
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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\quoteon(2023-06-10 22:24 - Wauzi in Beitrag No. 11)
Du hast doch kein Produkt zweier Summen
\quoteoff
Ich war grad doof...
Ich habe zwei Summen, die ich zusammenfassen kann.
Dann habe ich aber nach wie vor ein Integral über ln(x) mal eine Summe. Wie soll das gehen?
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Wauzi
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-06-10
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Indem Du
1. den log in die Summe ziehst und
2. Integral und Summe vertauscht.
Dann ergibt sich etwas in der Art
xr*log(x) mit r positiv oder negativ.
Dieses Integral ist bekannt
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Erdbeere99
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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Das kann man dann ja partiell integrieren.
Und wie unterscheidet man das mit x<1, x=1 und x>1?
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Wauzi
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-06-10
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Indem Du das Integral aufspaltest: von 0 bis 1 und von 1 bis unendlich.
X=1 mußt Du bei der Auswertung gesondert betrachten, evtl die Grenze 1-a wählen und dann a->0 betrachten.
Du kannst Dir die ganze Reihenentwickling auch sparen, wenn Du wolfram benutzt, da gibt es das gesuchte Integral direkt oder indem Du im Komplexen integrierst oder Dir etwas einfallen läßt mit substituieren wie squire vorgeschlagen hat. Meine Methode mit den Reihen ist vermutlich umständlicher, ich bevorzuge sie deshalb, weil man nicht viel überlegen muß
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Erdbeere99
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| Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-10
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\quoteon(2023-06-10 20:14 - Squire in Beitrag No. 3)
Teile das Integral bei x=1 und substituiere in einem der beiden Teile u=1/x.
Grüße Squire
\quoteoff
Aber dann ist doch die Stammfunktion immer noch die selbe, oder?
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Wauzi
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| Beitrag No.17, eingetragen 2023-06-10
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Erdbeere99
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2023-06-12
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\quoteon(2023-06-10 23:07 - Wauzi in Beitrag No. 17)
ja
\quoteoff
Was ja diese Stammfunktion nach wie vor bescheiden aussehen lässt...
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Squire
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| Beitrag No.19, eingetragen 2023-06-12
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@Erdbeere99: hast du versucht, meinen Tipp umzusetzen? Was war dein Resultat?
Grüße Squire
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