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 Wie die (Wachstums)Ordnung einer meromorphen Funktion berechnen? |
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IVmath
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Hallo,
könnt Ihr mir bitte an einem Beispiel einer nicht konstanten meromorphen Funktion vorrechnen, wie mithilfe der Supremumsnorm die Ordnung der Funktion berechnet wird?
Ich konnte dazu im Internet leider keine Übungsaufgaben oder umfangreichen Rechenbeispiele finden.
Ich habe gefunden: Wikipedia: Entire function - Order and type und Lexikon der Mathematik: ganze Funktion.
Wird in der Formel das Supremum als Konstante benötigt, oder als Funktion des Radius?
(Ich bin kein Mathematiker und kein Student.)
Vielen vielen Dank.
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nzimme10
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-12
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
die von dir zitierten Seiten sprechen doch eindeutig von ganzen Funktionen, i.e. auf ganz $\mathbb C$ holomorphen Funktionen. Eine Anwendung auf meromorphe Funktionen bedarf daher einer neuen Definition.
In der Definition wird quasi die Funktion $s_f\colon (0,\infty)\to \mathbb R, \ r\mapsto \lVert f\rVert_{B_r(0)}$ verwendet und dann
$$
\rho:=\limsup_{r\to\infty} \frac{\ln(\ln(s_f(r)))}{\ln(r)}
$$
gesetzt.
Mit dieser Definition wird man wohl in den wenigsten Fällen die Ordnung berechnen können, es sei denn, man kann $s_f(r)$ explizit bestimmen. In dem Wikipedia Artikel sind aber weitere Formeln gegeben, wenn man z.B. die Potenzreihenentwicklung der jeweiligen Funktion kennt.
LG Nico\(\endgroup\)
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IVmath
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-13
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\quoteon(2023-09-12 22:06 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
die von dir zitierten Seiten sprechen doch eindeutig von ganzen Funktionen, i.e. auf ganz $\mathbb C$ holomorphen Funktionen. Eine Anwendung auf meromorphe Funktionen bedarf daher einer neuen Definition.\quoteoff
Jetzt habe ich eine Formel für die Berechnung der Ordnung meromorpher Funktionen gefunden - mit 3 Funktionen und Integralen. Die scheint mir noch komplizierter als die für ganze Funktionen zu sein.
\quoteon(2023-09-12 22:06 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
In der Definition wird quasi die Funktion $s_f\colon (0,\infty)\to \mathbb R, \ r\mapsto \lVert f\rVert_{B_r(0)}$ verwendet und dann
$$
\rho:=\limsup_{r\to\infty} \frac{\ln(\ln(s_f(r)))}{\ln(r)}
$$
gesetzt.
Mit dieser Definition wird man wohl in den wenigsten Fällen die Ordnung berechnen können, es sei denn, man kann $s_f(r)$ explizit bestimmen. In dem Wikipedia Artikel sind aber weitere Formeln gegeben, wenn man z.B. die Potenzreihenentwicklung der jeweiligen Funktion kennt.\quoteoff
Gibt's sowas überhaupt - eine Maximumfunktion oder Supremumsfunktion für Elementare Funktionen?
Wenn der Radiusvektor an der Stelle $0$ beginnt, dürfte die Maximumfunktion einer monoton wachsenden Funktionen $f$ der Funktionswert von $f$ sein.
\quoteon(2023-09-12 22:06 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
In dem Wikipedia Artikel sind aber weitere Formeln gegeben, wenn man z.B. die Potenzreihenentwicklung der jeweiligen Funktion kennt.\quoteoff
Mein Funktionsterm beinhaltet den Logarithmus, die meromorphe Funktion ist nicht an der Stelle $z=0$ in eine Potenzreihe entwickelbar. Wie sind die Formeln für die Berechnung der Ordnung der Funktion für Potenzreihen an einer Entwicklungsstelle ungleich $0$?
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-13
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
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\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
\quoteon(2023-09-13 19:51 - IVmath in Beitrag No. 2)
Gibt's sowas überhaupt - eine Maximumfunktion oder Supremumsfunktion für Elementare Funktionen?
Wenn der Radiusvektor an der Stelle $0$ beginnt, dürfte die Maximumfunktion einer monoton wachsenden Funktionen $f$ der Funktionswert von $f$ sein.
\quoteoff
Was meinst du mit "gibt es das überhaupt"? $f$ ist holomorph und somit $|f|$ stetig. Auf der kompakten Kugel $\overline{B_r(0)}$ für $r>0$ ist $|f|$ folglich beschränkt und daher existiert das Supremum von $|f|$ auf dieser Kugel. Wenn man offene Kugeln nehmen will, dann benutzt man z.B. noch das Maximumprinzip für beschränkte Gebiete (oder einfach eine Ungleichung :D).
\quoteon
Mein Funktionsterm beinhaltet den Logarithmus, die meromorphe Funktion ist nicht an der Stelle $z=0$ in eine Potenzreihe entwickelbar. Wie sind die Formeln für die Berechnung der Ordnung der Funktion für Potenzreihen an einer Entwicklungsstelle ungleich $0$?
\quoteoff
Die Formeln auf Wikipedia gelten, wie gesagt, nur für auf ganz $\mathbb C$ holomorphe Funktionen. Solche haben immer eine Potenzreihenentwicklung um $0$.
LG Nico\(\endgroup\)
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IVmath
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-13
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\quoteon(2023-09-13 19:59 - nzimme10 in Beitrag No. 3)
\quoteon(2023-09-13 19:51 - IVmath in Beitrag No. 2)
Gibt's sowas überhaupt - eine Maximumfunktion oder Supremumsfunktion für Elementare Funktionen?
\quoteoff
Was meinst du mit "gibt es das überhaupt"? $f$ ist holomorph und somit $|f|$ stetig. … und daher existiert das Supremum von $|f|$ ...\quoteoff
Ich meinte, ob es außer für konstante und für monoton wachsende elementare Funktionen überhaupt Maximumsfunktionen gibt, die elementare Funktionen sind. Mir fallen im Moment nur die monoton wachsenden elementaren Funktionen ein.
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-13
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Was hat das jetzt mit elementaren Funktionen zu tun? Nirgendwo in der Definition wird gefordert, dass man $r\mapsto s_f(r)$ mittels elementaren Funktionen ausdrücken können muss. Das hat doch mit dem Thema überhaupt nichts mehr zu tun.
LG Nico\(\endgroup\)
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IVmath
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-13
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\quoteon(2023-09-13 20:55 - nzimme10 in Beitrag No. 5)
Was hat das jetzt mit elementaren Funktionen zu tun? Nirgendwo in der Definition wird gefordert, dass man $r\mapsto s_f(r)$ mittels elementaren Funktionen ausdrücken können muss.\quoteoff
Na, ich kann mir elementare Funktionen einfach am besten vorstellen. Außerdem möchte ich zunächst die Ordnung einiger meromorpher elementarer Funktionen berechnen. (Ich wollte hier nicht mit Funktionen in geschlossener Form kommen, weil dann Fragen zu deren Definition kommen würden.) So wie ich das im Moment aber verstehe, benötigt man für die Berechnung des Grenzwerts der Supremumnorm den Funktionsterm der Funktion, also eine Funktion in geschlossener Form.
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nzimme10
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-09-13
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Ich kann dir dabei leider nicht helfen, weil ich dein Anliegen nicht einordnen kann bzw. mir wohl die Expertise für deine Anliegen fehlt.
Es finden sich vielleicht weitere Mitglieder hier, die wissen, worum es dir geht.
LG Nico
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IVmath
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-14
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Alles gut. Diese meine Frage hier ist beantwortet. Du hast mir sehr geholfen. Ich habe Dich so verstanden, dass die Supremumnorm die hier in der Formel benötigt wird nicht das Supremum ist, sondern das Supremum in Abhängigkeit vom Radius.
Vielen vielen Dank.
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IVmath
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Sei $D=\mathbb{C}\setminus\{x\ |\ (x\in\mathbb{R})\land(x\le 0)\}\setminus\{1\}$.
Sind die Funktionen $f\colon D\to\mathbb{C},z\to\ln(z)$, $g\colon D\to\mathbb{C},z\to\frac{1}{\ln(z)}$ und $h\colon D\to\mathbb{C},z\to e^\frac{1}{\ln(z)}$ meromorphe Funktionen?
Haben alle drei Funktionen endliche (Wachstums)Ordnung?
Wie lässt sich das ermitteln?
Wie lässt sich die (Wachstums)Ordnung der Funktionen $f$, $g$ und $h$ ermitteln?
Ich habe u. a. das Problem, dass sich die Taylorreihen dieser Funktionen nicht in der Maclaurin-Form bilden lassen.
(Ich bin kein Mathematiker und kein Student.)
Vielen vielen Dank.
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nzimme10
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| Beitrag No.10, eingetragen 2023-09-22
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Hallo nochmal,
ich bin mir nicht sicher, warum du jetzt wieder mit meromorphen Funktionen ankommst. Die Definitionen, die du bisher verwendet / angegeben hast, beziehen sich einzig und allein auf ganze Funktionen.
Keine deiner drei Beispielfunktionen ist eine ganze Funktion.
LG Nico
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IVmath
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| Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Beitrag No.9 ist eine vollkommen neue, andere Frage.
(Ich habe sie unter denselben Betreff gestellt, weil wir laut Forumsrichtlinien ähnliche Fragen ja in ein und derselben Diskussion stellen sollen.)
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nzimme10
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| Beitrag No.12, eingetragen 2023-09-22
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Dann gebe bitte eine Definition der Wachstumsordnung für solche Funktionen. Eine Google Suche liefert mir da keine eindeutigen Ergebnisse.
LG Nico
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zippy
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 | Beitrag No.13, eingetragen 2023-09-22
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\quoteon(2023-09-22 22:56 - nzimme10 in Beitrag No. 12)
Dann gebe bitte eine Definition der Wachstumsordnung für solche Funktionen. Eine Google Suche liefert mir da keine eindeutigen Ergebnisse.
\quoteoff
Die Definition steht hier:
\quoteon(2023-09-22 22:09 - IVmath im Themenstart)
Baker, M.: Algebraic values of transcendental functions at algebraic points, 2023
\quoteoff
Definition: An entire function $f$ is said to be of finite order if there exists $\rho > 0$ such that $\log | f(z) | \ll R^\rho$ whenever $|z| \leq R$. The infimum of all such $\rho$ is called the order of $f$. A meromorphic function is said to have order at most $\rho$ if it is the quotient of two entire functions of order at most $\rho$.
--zippy
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nzimme10
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| Beitrag No.14, eingetragen 2023-09-22
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Wenn ich die Definition, die zippy nochmal zitiert hat, richtig verstehe, dann lässt sich diese ebenfalls nicht auf die drei Beispiele anwenden.
LG Nico
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IVmath
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-23
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Könnt Ihr denn bestätigen, dass meine Funktionen $f$, $g$ und $h$ meromorphe Funktionen sind? Ich bin mir noch nicht ganz sicher.
Eure Antwort würde mir bereits sehr weiterhelfen.
Ich habe jetzt die Stelle $1$ aus dem Definitionsbereich herausgenommen, da die Funktion $h$ dort eine Singularität hat, die kein Pol ist.
Die Graphen der Funktionen kann man sich z. B. bei Wolfram Alpha ansehen.
Definitionen der Ordnung meromorpher Funktionen:
a)
Gibt's für die Ordnung einer meromorphen Funktion auch eine Definition über die Glieder der Taylorreihe?
Wie geht man vor, wenn die Taylorreihe nicht in der Maclaurin-Form vorliegt?
b)
Definition:
An entire function $f$ is said to be of finite order if there exists $\rho>0$ such that $\log|f(z)|\ll R^\rho$ whenever $|z|\leq R$. The infimum of all such $\rho$ is called the order of $f$. A meromorphic function is said to have order at most $\rho$ if it is the quotient of two entire functions of order at most $\rho$.
Wie kann ich die beiden ganzen Funktionen finden, deren Quotient eine gegebene elementare Funktion ist?
c)
$T(r,f)$: charakteristische Funktion einer meromorphen Funktion $f$
Definition:
The order of a meromorphic function $f(z)$ is defined by
$$σ(f)=\varlimsup_{r\to\infty}\log\frac{T(r,f)}{\log r}.$$
siehe dazu weiter:
Bergweiler, W.: Lecture Notes - Entire and Meromorphic Functions 2017/18
siehe dort: T(
Gelten die oben genannten Definitionen der (Wachstums)Ordnung auch für stückweise definierte meromorphe Funktionen?
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