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 Lösen einer Gleichung mit komplexer Exponentialfunktion |
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Schulterzwerg
Junior 
Dabei seit: 08.09.2020
Mitteilungen: 18
 |  Themenstart: 2023-09-15
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Hallo, eine einfache Frage:
gibt es nicht numerische,also analytische Lösungen für die einfache Gleichung
y(x)=k*x-e^îx; k\el\ \IR
Danke für jede Antwort.
Schulterzwerg
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
Hallo,
das ist ja so wie oben noch keine sinnvolle Gleichung mit einer Unbekannten. Meinst du vielleicht folgendes:
\[kx-e^{ix}=0\]
?
Probiert habe ich es nicht, halte es aber für denkbar, dass man da mit der LambertW-Funktion etwas machen kann.
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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Schulterzwerg
Junior
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-15
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Danke, Diophant. Ja, ich hatte mich falsch ausgedrückt.Der Ausdruck war als Funktion gemeint, nicht als Gleichung.Aber vielleicht hilft mir Dein Ansatz weiter,danke!
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nzimme10
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 | Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-15
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
ehrlichgesagt habe ich dein Anliegen noch nicht verstanden. Suchst du jetzt Lösungen der Gleichung, die Diophant angegeben hat? Suchst du reelle Lösungen (was die Verwendung von $x$ vielleicht suggerieren will?).
Wenn es das nicht ist, was suchst du?
LG Nico\(\endgroup\)
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Schulterzwerg
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-15
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Hallo nzimme10:
ich suche eine analytische Auflösung von x-Werten zu mir bekannten Funktionswerten ohne Näherrungsmethoden.
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Diophant
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Wohnort: Rosenfeld, BW
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-15
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\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}}
\newcommand{\ea}{\end{aligned}}
\newcommand{\bc}{\begin{cases}}
\newcommand{\ec}{\end{cases}}
\newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}}
\newcommand{\epm}{\end{pmatrix}}
\newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}}
\newcommand{\evm}{\end{vmatrix}}
\newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}}
\newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}}
\newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}}
\newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}}
\newcommand{\on}{\operatorname}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}\)
\quoteon(2023-09-15 17:27 - Schulterzwerg in Beitrag No. 4)
Hallo nzimme10:
ich suche eine analytische Auflösung von x-Werten zu mir bekannten Funktionswerten ohne Näherrungsmethoden.
\quoteoff
Du solltest noch dazusagen, was mit \(y(x)\) gemeint ist:
- ein Funktionsterm (dann hängt die Lösung bzw. die Frage der Lösbarkeit ja von der Beschaffenheit dieses Terms ab)
- eine Konstante.
(Wobei sich meine obige Vermutung allein auf die von mir vermutete nullgesetzte Gleichung bezieht.)
In welchem Zusammenhang tritt das Problem denn auf, also macht es überhaupt Sinn nach einer solchen analytischen Lösung zu suchen? Denn gewonnen ist damit ja nicht viel, denn die Werte der LambertW-Funktion kann man ja nun auch nicht gerade mit dem Schultaschenrechner berechnen...
Gruß, Diophant\(\endgroup\)
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polygamma
Aktiv 
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 | Beitrag No.6, eingetragen 2023-09-15
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Hey, Schulterzwerg :)
Wie bereits von nzimme10 und Diophant angemerkt wurde, ist es natürlich hilfreich, wenn du etwas sauberer definieren würdest, was genau dein Anliegen ist.
Vor allem
\quoteon(2023-09-15 17:31 - Diophant in Beitrag No. 5)
Du solltest noch dazusagen, was mit \(y(x)\) gemeint ist
\quoteoff
Ich schreibe trotzdem ein bisschen was, ggf. kannst du damit noch etwas anfangen. Ich baue auf auf
\quoteon(2023-09-15 13:49 - Diophant in Beitrag No. 1)
Probiert habe ich es nicht, halte es aber für denkbar, dass man da mit der LambertW-Funktion etwas machen kann.
\quoteoff
Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function#Solving_equations
Gegeben seien komplexe Konstanten $a,b,c$ wobei $b$ und $c$ nicht $0$ sind.
Für $$x=a+b\,e^{cx}$$
sind die Lösungen gegeben durch $$x=a-\frac{1}{c}W\left(-bc\,e^{ac}\right)$$
Das, was du geschrieben hast, kann man für $k\neq0$ schreiben als $$x=\frac{y(x)}{k}+\frac{1}{k}\,e^{ix}$$
und somit (wenn $y(x)$ eine Konstante ist) $$x=\frac{y(x)}{k}+W\left(-\frac{i\,e^{\frac{y(x)}{k}i}}{k}\right)i$$
Liebe Grüße
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Schulterzwerg
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| Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-16
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Hallo Polygamma.
Vielen Dank für Deine Hilfe.Ich glaube, das hilft mir sehr weiter. Ich habe ja über Nacht mal nachgedacht 😉 und das Problem präzisiert.Aber bevor ich das hier hin schreibe, möchte ich mir erst Deinen Beitrag ansehen.Ich glaube, das genügt mir dann.
PS: Falls Du eine Danksagung im Paper möchtest, bräuchte ich einen Klarnamen (vielleicht per pm) oder soll ich deinen Ava verwenden?
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Schulterzwerg
Junior
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-20
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So. Ene letzte Frage habe ich noch in diesem Zusammenhang. Kann man einen Faktor in die Lambertsche W-Fktn irgendwie hineinmultiplizeren?
Etwa: a.W(x)=W(a.x) oder ähnlich?
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polygamma
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-09-20
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Bin gerade nur am Smartphone.
Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function#Identities
Die mit $nW(x)$ für $n,\,x>0$ könnte was für dich sein?
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Schulterzwerg
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|  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-20
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Danke, Polygamma.Auf der Seite war ich auch schon Das Problem ist nur, dass der Faktor ein i ist, keine reelle Zahl n.Es läuft nur auf Eines hinaus. Ist W(Im)= Im(?), dann wäre ja i . Im reell. Oder ist W(Im) reell?Oder treten die i's gar nicht mit ein in die Lösungsformel?
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polygamma
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| Beitrag No.11, eingetragen 2023-09-20
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Magst du etwas sauberer formulieren, was du meinst?
Ich kann nicht ganz folgen.
Willst du wissen, wann die Funktionswerte der LambertW Funktion reell sind und wann komplex?
Das hängt ja z.B. davon ab, welchen Zweig du betrachtest.
Ich bin auch nicht sicher, was du mit der Frage "Oder treten die i's gar nicht mit ein in die Lösungsformel?" meinst.
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Schulterzwerg
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| Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-20
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Ich meine Folgendes. Ich erhalte eine Funktion der Form
x=a+ic . W(-ibc.e^(iac))
W ist die Lambertfunktion.Kann ich irgendwie eines der i's nach drinnen oder draußen kriegen? Ist das Ergebnis jetzt reell oder komplex? Alle a,b,c sind reell.
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polygamma
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| Beitrag No.13, eingetragen 2023-09-20
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Ob das Ergebnis reell oder komplex ist, ist schwer zu beantworten.
Das Produkt zweier komplexer Zahlen kann komplex oder reell sein, und die Funktionswerte der LambertW Funktion können auch komplex oder reell sein.
Siehe: https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function#Special_values
Und: Ob du das i jetzt drinnen oder draußen hast, ändert doch am Endergebnis nichts, du suchst doch eine äquivalente Umformung, also letztendlich nur eine andere Darstellung.
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Schulterzwerg
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| Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-20
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Eine andere Darstellung, korrekt.Denn dann könnte ich es vielleicht "sehen", in welchem Raum es nun liegt.
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polygamma
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| Beitrag No.15, eingetragen 2023-09-20
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Ich denke spontan bin ich da leider überfragt, ob man aus deiner konkreten Funktionsform gut Aussagen darüber ableiten kann, wie es um den Imaginärteil des Ergebnisses steht.
Aber vielleicht weiß da wer anders mehr drüber :)
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Schulterzwerg
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|  Beitrag No.16, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-20
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@ Polygamma:Jedenfalls danke ich Dir sehr für Deine Mühen und Dein Interesse, meine Fragen zu beantworten.Ich denke da an ein altes Sprichwort:"Mathematik kann man nie genug lernen.Es beschäftigt den Kopf und hält die Welt zusammen".😄
Ich kann leider viel zu wenig, auch wenn ich mir Mühe gebe aber dauernd stößt man an Grenzen.
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polygamma
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| Beitrag No.17, eingetragen 2023-09-20
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Aber eine Frage noch: Ist z. B. die Klammerung in der Funktion korrekt dargestellt?
Also tatsächlich $a+ic$ und nicht $(a+ic)$?
Wenn man das Problem ernsthaft betrachten möchte, wäre es gut, wenn du noch einmal sicherstellst, dass alles 100% korrekt aufgeschrieben ist, sonst macht man sich ggf. umsonst Mühe.
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.15 begonnen.]
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Schulterzwerg
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-20
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Es ist korrekt aufgeschrieben.Der erste Term a ist reell, dann +ic mal den Rest der W-Funktion.Keine Klammer um a+ic.Es handelt sich nicht um das Produkt zweier komplexer Zahlen x=(a+ic) * W(...), sondern:
x=a+ic*W(...)
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polygamma
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| Beitrag No.19, eingetragen 2023-09-20
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Eine Anmerkung.
Wir betrachten $$a+ic\,W(-ibc\,e^{iac})$$
Die Frage ist, wann das Ergebnis reell ist, also der Imaginärteil $0$
Das $a+$ ändert offensichtlich nicht den Imaginärteil.
Wir schreiben statt $W(...)$ mal $f+ig$ also geht es um $$ic\left(f+ig\right)=icf-cg$$
Wenn $c=0$ dann ist der ganze Spaß sowieso $0$ also sei $c\neq0$ und dann geht es also darum, ob $f=0$
$f$ ist aber einfach nur der Realteil von $W(-ibc\,e^{iac})$ also geht es um die Frage, wann der Realteil der LambertW Funktion $0$ ist.
Wenn der Realteil der LambertW Funktion $0$ ist, hat dein Ergebnis einen Imaginärteil von $0$ und sonst nicht :)
Man siehe z. B. die folgende Grafik von Wikipedia, die $Re(W_0(x+iy))$ darstellt:
\showon
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/6c/LambertWRe.png/1024px-LambertWRe.png
\showoff
Ich habe mich nicht näher damit beschäftigt, aber es scheint so eine Art "Kreis" zu geben, wo der Fall vorliegt, also dass der Realteil $0$ ist, und sonst wohl nicht.
Das ist doch schonmal ein Anfang.
Vielleicht will mal eine begabter Grafiker des Matheplaneten was Nettes anfertigen?
Die Wikipedia Grafik ist leider nicht so gut für das, was uns interessiert.
Ich würde sonst ggf. auch mal auf MathOverflow oder so nachfragen, was darüber bekannt ist, vorerst warte ich aber noch, und gucke mal, ob ich bei Recherchen was finde, oder alternativ weiß vielleicht sonst jemand vom Matheplaneten etwas darüber, wie man genauer bestimmen kann, wann der Realteil der LambertW Funktion $0$ ist? :)
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polygamma
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| Beitrag No.20, eingetragen 2023-09-20
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Vorerst letzte Anmerkung.
Es lohnt sich ggf. neben einem netten 3D Plot auch auf $Re(W(x+yi))$ zu schauen, jeweils für festes $y$.
Dann kann man schön sehen, wie, wenn sich der Imaginärteil ändert, der Realteil angepasst werden muss, um letztendlich auf $=0$ zu kommen.
Mal 2 Screenshots von Wolfram Alpha dazu.
\showon
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56201_25_1.png
https://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/c/56201_2_2.png
\showoff
Darüber sollte man, wenn man es programmiert, sogar relativ nette, numerische Abschätzungen bekommen, ohne da stringent etwas mathematisch zu beweisen.
Ggf. würden die Abschätzungen, wenn man sie vor sich hat, dann Hinweise geben, um was es da mathematisch geht oder so.
Reicht dann jetzt auch erstmal mit dem Rumspielen ;D
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polygamma
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| Beitrag No.21, eingetragen 2023-09-20
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\quoteon(2023-09-20 16:39 - polygamma in Beitrag No. 20)
Vorerst letzte Anmerkung.
\quoteoff
¯\_(ツ)_/¯
Wenn meine Vermutung stimmt, und man mit dem Betrag der Zahl, die der LambertW Funktion übergeben wird, arbeiten kann (für eine grobe Abschätzung), vereinfacht sich die Problembetrachtung, denn: $$\left|-ibc\,e^{iac}\right|=\left|bc\right|$$
Ich hoffe, dass ich vorerst keine weiteren Ideen mehr habe... ;D
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Schulterzwerg
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-20
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Ich werde auch mal sehen, ob ich was finde.
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
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ThomasRichard
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| Beitrag No.23, eingetragen 2023-09-20
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Hallo,
wenn du eh viel mit der LambertW-Funktion experimentieren möchtest, solltest du dir Maple ansehen. Der folgende Befehl zeigt an, was das System bereits über diese Funktion kennt:
\sourceon Maple
FunctionAdvisor(LambertW);
\sourceoff
Die Sektionen der so generierten Ausgabe lassen sich einzeln auf- und zuklappen.
Falls du kein Maple hast: eine 15-Tage-Evaluation ist hier gratis ladbar.
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polygamma
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| Beitrag No.24, eingetragen 2023-09-21
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Hallo, zusammen :)
Ich wollte noch einmal meine Ergebnisse der oberflächlichen Analyse zusammenfassen.
Die Frage von Schulterzwerg ist, wann $$E:=a+ic\,W(-ibc\,e^{iac})$$ reell ist für reelle $a,b,c$ mit $c\neq0$
$E$ ist im Allgemeinen komplex, hat jedoch einen Imaginärteil von $0$ genau dann, wenn $Re(W(-ibc\,e^{iac}))=0$
Die "Forschungsfrage" kann somit oberflächlich formuliert werden als: Wann haben die Funktionswerte der LambertW Funktionen keinen Realteil?
Eine oberflächliche, grafische Betrachtung der LambertW Funktion (auf dem Hauptzweig!) ergibt, dass es einen stark eingegrenzten Bereich gibt, in dem dieser Fall vorliegt.
Dieser Bereich scheint "grob kreisförmig" zu sein, was impliziert, dass der Betrag von $x+yi$ ausreichend sein könnte, für eine grobe Abschätzung, ob $Re(W(x+yi))=0$
In anderen Worten könnte es möglich sein, Konstanten $C_1$ und $C_2$ festzulegen (jeweils für unterschiedliche Zweige der LambertW Funktion), sodass gilt:
$$\left|x+yi\right|C_2\Longrightarrow Re(W(x+yi))\neq0$$
Im Falle des konkreten Ausdrucks von Schulterzwerg liegt $$\left|-ibc\,e^{iac}\right|=\left|bc\right|$$ vor, sodass man erhält
$$\left|bc\right|C_2\Longrightarrow Re(W(-ibc\,e^{iac}))\neq0$$
Ich mache aber darauf aufmerksam, dass das "grob kreisförmig" wirklich "sehr grob" ist ;D
Ich will vor allem darauf hinaus, dass man vielleicht solche $C_1$ und $C_2$ findet, sodass dann das oben genannte gilt.
Hier einmal ein paar Funktionswerte, damit man grob ein Gefühl dafür bekommt, um welche Bereiche es geht.
$$Re(W_0(0))=0$$
$$Re(W_0(-\frac{\pi}{2}))=0$$
$$Re(W_{-1}(-\frac{\pi}{2}))=0$$
$$Re(W_{-1}(4.7))\approx0$$
Man sieht direkt, dass es nicht irrelevant ist, welcher Zweig der LambertW Funktion betrachtet wird.
Anhand von Beitrag #20 erkennt man, dass man auch darauf schauen kann, wie groß $y$ ist, um darüber dann noch mehr Aussagen treffen zu können, also dann keine Konstanten $C_1$ und $C_2$ zu haben, sondern Funktionen $C_1$ und $C_2$ die von $y$ abhängen.
Es gibt jedenfalls viele Möglichkeiten, trivial scheint nichts davon zu sein ;D
Das Fazit ist jedoch, dass man an dieser Stelle denke ich wenig machen kann, ohne noch mehr im Detail zu wissen, was Schulterzwerg sucht.
Wenn es wirklich um eine binäre Unterscheidung von $Re(...)=0$ und $Re(...)\neq0$ geht, dürfte es sehr, sehr schwer werden, wenn Näherungen reichen, könnte was machbar sein.
Letztendlich ist eine präzise Formulierung des Gesuchten notwendig, vorher lohnt es sich eher nicht, weiterzumachen.
Z. B. wurde nie spezifiziert, welche Zweige der LambertW Funktion überhaupt betrachtet werden sollen.
Im Komplexen, und da bewegen wir uns ja, gibt es unendlich viele Zweige ;D
Weiterhin merke ich an, dass auf jeden Fall meine Kompetenzen überschritten sind, ich hätte prinzipiell Lust, mich tief einzuarbeiten, aber ich denke die Zeit habe ich nicht ;)
Wenn jedoch wirklich sauber formulierte Fragen vorliegen, könnte man da sicher mit an Experten herantreten, ich verweise an dieser Stelle nochmal auf MathOverflow.
Ein bisschen Recherche ergab, dass dort häufiger Forschungsfragen zur LambertW Funktion auftauchen, dort ist das Publikum für solche Fragen also ggf. vorhanden.
Liebe Grüße
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MontyPythagoras
Senior 
Dabei seit: 13.05.2014
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Wohnort: Werne
 | Beitrag No.25, eingetragen 2023-09-28
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Hallo zusammen,
\quoteon(2023-09-21 15:48 - polygamma in Beitrag No. 24)
Die Frage von Schulterzwerg ist, wann $$E:=a+ic\,W(-ibc\,e^{iac})$$ reell ist für reelle $a,b,c$ mit $c\neq0$
$E$ ist im Allgemeinen komplex, hat jedoch einen Imaginärteil von $0$ genau dann, wenn $Re(W(-ibc\,e^{iac}))=0$
\quoteoff
Eigentlich war die Frage doch, ob
$$y=kx-e^{ix}$$lösbar ist mit $k,x,y\in\mathbb R$. Wenn man $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ verwendet, folgt doch direkt die Frage, ob unter den Annahmen
$$y=kx-\cos x-i\sin x$$lösbar ist, was offenkundig nur gelten kann, wenn $\sin x=0$, also $x=n\pi$ mit $n\in\mathbb Z$ ist. Dann gilt $\cos x=(-1)^n$ und die einzigen Lösungspaare mit reellen $x,y$ lauten
$$(x,y)=\left(n\pi,kn\pi-(-1)^n\right)$$Der Umweg über LambertW ist hier also nicht zielführend. Aber auch die zitierte Fragestellung lässt sich beantworten:
$$-i\frac{E-a}{c}=W(-ibc\,e^{iac})\tag1$$$$\exp\left(-i\frac{E-a}{c}\right)=\exp\left(W(-ibc\,e^{iac})\right)\tag2$$Obige Gleichungen miteinander multiplizieren:
$$-i\frac{E-a}{c}\exp\left(-i\frac{E-a}{c}\right)=W(-ibc\,e^{iac})\exp\left(W(-ibc\,e^{iac})\right)\tag3$$$$-i\frac{E-a}{c}\exp\left(-i\frac{E-a}{c}\right)=-ibc\,e^{iac}\tag4$$$$\frac{E-a}{c}=bc\,e^{i\left(ac+\frac{E-a}{c}\right)}\tag5$$Auf der rechten Seite ist die e-Funktion reell, wenn $ac+\frac{E-a}{c}=n\pi$ ist, genau wie oben. Wir unterscheiden in gerade und ungerade Vielfache von $\pi$:
1. $ac+\frac{E-a}{c}=2n\pi$:
Aus (5) folgt:
$$\frac{E-a}{c}=bc\tag6$$Das eingesetzt in die Voraussetzung liefert als Bedingung $ac+bc=2n\pi$.
2. $ac+\frac{E-a}{c}=(2n+1)\pi$:
Damit folgt aus (5):
$$\frac{E-a}{c}=-bc\tag7$$Das eingesetzt in die Voraussetzung liefert als Bedingung $ac-bc=(2n+1)\pi$.
Zusammenfassend kann man sagen, dass
\quoteon
$$E:=a+ic\,W(-ibc\,e^{iac})$$ reell ist für reelle $a,b,c$ mit $c\neq0$
\quoteoff
wenn entweder $ac+bc=2n\pi$ oder $ac-bc=(2n+1)\pi$ ist mit $n\in\mathbb Z$.
Ciao,
Thomas
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polygamma
Aktiv
Dabei seit: 18.02.2023
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Wohnort: Kiel
| Beitrag No.26, eingetragen 2023-09-28
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\quoteon(2023-09-28 10:36 - MontyPythagoras in Beitrag No. 25)
Zusammenfassend kann man sagen, dass
\quoteon
$$E:=a+ic\,W(-ibc\,e^{iac})$$ reell ist für reelle $a,b,c$ mit $c\neq0$
\quoteoff
wenn entweder $ac+bc=2n\pi$ oder $ac-bc=(2n+1)\pi$ ist mit $n\in\mathbb Z$.
\quoteoff
Sei $a=\frac{1}{3}$ sei $b=\frac{1}{5}$ und sei $c=\frac{15}{4}\pi$ dann ist $ac+bc=2\pi$ und $ac-bc=\frac{\pi}{2}$ aber $E$ ist nicht reell: https://www.wolframalpha.com/input?i=1%2F3%2Bi*%2815%2F4*pi%29*LambertW%28-i*1%2F5*%2815%2F4*pi%29*e%5E%28i*1%2F3*%2815%2F4*pi%29%29%29
\quoteon(2023-09-28 10:36 - MontyPythagoras in Beitrag No. 25)
Eigentlich war die Frage doch, ob
$$y=kx-e^{ix}$$lösbar ist mit $k,x,y\in\mathbb R$.
\quoteoff
Wo hat Schulterzwerg geschrieben, dass $x,\,y\in\IR$ sind?
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