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  Untermannigfaltigkeit von R^3 zeigen |
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katze1
Aktiv 
Dabei seit: 22.05.2023
Mitteilungen: 24
 |  Themenstart: 2023-09-20
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Ich soll zeigen, dass die folgende Menge M eine 2-dimensionale C^\inf -Untermannigfaltigkeit von \IR^3 ist:
M = menge(((2+cos\phi2)cos\theta,(2+cos\phi2)sin\theta,sin\phi2)\el\ \IR^3|\phi2,\theta\el\ \IR)
Dazu muss ich ja unter anderem zeigen, dass es zu jedem Punkt a\el\ M eine offene Umgebung U\subset\ \IR^3 von a und eine stetig differenzierbare Funktion f: U\textrightarrow\IR^3 gibt, sodass M\cut\ U=menge(x\el\ U|f(x)=0) gilt.
Wie finde ich aber nun eine derartige Funktion f? Ich stehe gerade total auf dem Schlauch und hoffe, jemand kann mir einen Tipp geben.
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-20
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
$M$ ist ja bereits durch bestimmte Parameter definiert. Da würde sich eher anbieten mit solch einer Charakterisierung von Untermannigfaltigkeiten zu arbeiten. Konkret gilt ja:
$M\subseteq \mathbb R^3$ ist genau dann eine zweidimensionale $C^\infty$-Untermannigfaltigkeit, wenn es für jedes $p\in M$ eine offene Umgebung $U\subseteq \mathbb R^3$ von $p$ und eine offene Menge $V\subseteq \mathbb R^2$ sowie eine glatte Immersion $\varphi\colon V\to \mathbb R^3$ gibt, so dass $\varphi(V)=U\cap M$ gilt und $\varphi\colon V\to \varphi(V)$ ein Homöomorphismus ist.
Wenn man sich $M$ aber mal genauer ansieht, dann könnte man auch bemerken, dass es sich um eine Rotationsfläche handelt. Konkret wird dabei die Kurve
$$
C:=\lbrace (2+\cos(\phi),0,\sin(\phi))\mid \phi\in \mathbb R\rbrace
$$
um die $z$-Achse rotiert. Du könntest also zunächst zeigen, dass $C$ eine eindimensionale glatte Untermannigfaltigkeit ist und dann damit arbeiten, dass $M$ die zugehörige Rotationsfläche ist. Sofern dir ein entsprechendes Resultat nicht schon bekannt ist, ist es dann wohl am einfachsten, wenn man abstrakt zeigt, dass Rotationsflächen von Kurven Untermannigfaltigkeiten sind.
Spätestens an dieser Stelle kann man aber auch mit deiner ursprünglichen Definition arbeiten und eine Gleichung für $M$ finden. $C$ ist ein Kreis in der $xz$-Ebene. Wir können daher zunächst
$$
\tilde C:=\lbrace (r,z)\in \mathbb R^2\mid (r-2)^2+z^2=1\rbrace
$$
betrachten. $\tilde C$ ist praktisch der gleiche Kreis, aber formal haben wir hier die $y$-Achse einfach vergessen. $M$ erhalten wir somit durch
$$
M=\left\lbrace (x,y,z)\in \mathbb R^3\mid \left(\sqrt{x^2+y^2},z\right)\in \tilde C\right\rbrace,
$$
i.e. als die Lösungsmenge der Gleichung
$$
\left(\sqrt{x^2+y^2}-2\right)^2+z^2=1.
$$
LG Nico\(\endgroup\)
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katze1
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|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-22
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Danke, mir ist gar nicht aufgefallen, dass es sich um eine Rotationsfläche handelt!
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nzimme10
Senior
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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Ausgehend von dieser Gleichung gilt es nun natürlich nach wie vor, zu zeigen, dass es sich bei $M$ tatsächlich um eine $C^\infty$-Untermannigfaltigkeit handelt.
LG Nico\(\endgroup\)
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katze1 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
katze1 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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