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| Autor |
  Wie berechnet man das Restglied eines Taylorpolynoms? |
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magnolie88
Aktiv 
Dabei seit: 09.09.2023
Mitteilungen: 35
 |  Themenstart: 2023-09-22
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Hallo, ich hatte letztes Semester eine Matheaufgabe, bei der ich die Taylorformel mit Zentrum in (1,1) und das Restglied der Ordnung k=3 für die Funktion
\[f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \quad, \qquad f(x,y) = \frac{x-y}{x+y} \]
aufstellen sollte. Das Taylorpolynom ohne Restglied war kein Problem, nur beim Restglied selbst bin ich dann gescheitert.🤯
Als Formel habe ich
\[f(y) =\sum_{|\alpha| \leq 2} \frac{1}{\alpha !} \frac{\partial^{|\alpha|} f}{\partial x^{\alpha}}(x)(y-x)^{\alpha} + \sum_{|\alpha| = 3} \frac{1}{\alpha !} \frac{\partial^{3} f}{\partial x^{\alpha}}(\xi)(y-x)^{\alpha} \]
verwendet, wobei ich nicht weiß, wie ich die hintere Summe, also das Restglied berechnen soll.
Ich bin sehr dankbar um jede Hilfe!🤗
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 Profil
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nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2791
Wohnort: Köln
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-22
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
wenn das Taylor-Polynom kein Problem war, woran scheitert es dann beim Restglied?
Beachten solltest du noch, dass dein $f$ so nicht auf $\mathbb R^2$ definiert sein kann. Für $x=-y$ verschwindet der Nenner.
LG Nico\(\endgroup\)
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magnolie88
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2023
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-23
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\quoteon(2023-09-22 16:14 - nzimme10 in Beitrag No. 1)
Hallo,
wenn das Taylor-Polynom kein Problem war, woran scheitert es dann beim Restglied?
Beachten solltest du noch, dass dein $f$ so nicht auf $\mathbb R^2$ definiert sein kann. Für $x=-y$ verschwindet der Nenner.
LG Nico
\quoteoff
Hallo Nico,
ich weiß nicht ganz was ich mit dem \(\xi\) machen soll. Bleibt das dann einfach stehen, also wird die Funktion an dieser Stelle nicht ausgewertet oder setze ich für meine beiden Variablen dann einfach \(\xi_1\) und \(\xi_2\) ein und sage, dass diese \(\xi_1\) und \(\xi_2\) beliebig sind?
Also wahrscheinlich nicht ganz beliebig, aber wie das \(\xi\) definiert sein soll verstehe ich auch nicht...
Die Funktion stand genau so auf unserem Übungszettel, kann vielleicht sein, dass mein Ansatz falsch ist.
LG magnolie88
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3870
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-23
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Hallo, die Bezeichnungen sind etwas ungünstig gewählt. In der Formel für das Taylorpolynom sind $x$ und $y$ Vektoren und in der Funktion sind sie Komponenten eines Vektors.
In der Funktion benenne ich $x$ zu $x_1$ und $y$ zu $x_2$ um.
$\alpha$ ist ein Multi-Index und besteht wie auch $\xi$ aus zwei Komponenten.
Vielleicht könnte es so aufgeschrieben werden
\[
\sum_{\alpha_1+\alpha_2=3}\frac{1}{\alpha_1!}\cdot\frac{1}{\alpha_2!}\cdot\frac{\partial^3f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}}(\xi_1, \xi_2) \cdot (x_1-1) ^{\alpha_1} (x_2-1) ^{\alpha_2}
\]
Das $\xi$ ist nicht beliebig, aber es hängt von $x_1$ und $x_2$ ab.
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magnolie88
Aktiv
Dabei seit: 09.09.2023
Mitteilungen: 35
| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-23
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\quoteon(2023-09-23 13:17 - ochen in Beitrag No. 3)
Hallo, die Bezeichnungen sind etwas ungünstig gewählt. In der Formel für das Taylorpolynom sind $x$ und $y$ Vektoren und in der Funktion sind sie Komponenten eines Vektors.
In der Funktion benenne ich $x$ zu $x_1$ und $y$ zu $x_2$ um.
$\alpha$ ist ein Multi-Index und besteht wie auch $\xi$ aus zwei Komponenten.
Vielleicht könnte es so aufgeschrieben werden
\[
\sum_{\alpha_1+\alpha_2=3}\frac{1}{\alpha_1!}\cdot\frac{1}{\alpha_2!}\cdot\frac{\partial^3f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}}(\xi_1, \xi_2) \cdot (x_1-1) ^{\alpha_1} (x_2-1) ^{\alpha_2}
\]
Das $\xi$ ist nicht beliebig, aber es hängt von $x_1$ und $x_2$ ab.
\quoteoff
Hallo ochen,
so hätte ich mir das jetzt auch vorgestellt. Aber man könnte ja dann schon noch die Ableitungen bilden und das \(\xi_1\) und \(xi_2\) einsetzen, nicht?
LG magnolie88
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ochen
Senior
Dabei seit: 09.03.2015
Mitteilungen: 3870
Wohnort: der Nähe von Schwerin
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-23
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Ja, ich denke, die konkreten Ableitungen sollten sogar gebildet werden und es sollten auch alle vier Summanden explizit aufgeschrieben werden.
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magnolie88 hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
magnolie88 hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt. |
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