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Analysis » Integration » Integration sin^n(t)
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Universität/Hochschule J Integration sin^n(t)
Suppe_Helme
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  Themenstart: 2023-09-23

Hi, gegeben ist $\int_{-1}^{1} \sqrt{1-x^2}^{n-1} \, dx = I_n$ dann soll durch Substitution von $x=cos(t)$ gezeigt werden, dass gilt, dass: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) \, dt = I_n$ Also über die Substitution komme ich auf: Substituiere \( x = \cos(t) \) Ableiten: \[ \frac{dx}{dt} = -\sin(t) \implies dx = -\sin(t) \, dt \] Grenzen: \[ \begin{aligned} 1 &= \cos(t) \implies t = \arccos(1) = 0 \\ -1 &= \cos(t) \implies t = \arccos(-1) = \pi \end{aligned} \] Einsetzen: \[ I_n = - \int_{0}^{\pi} \sqrt{1-\cos^2(t)}^{n-1} \sin(t) \, dt = -\int_{0}^{\pi} \sin^n(t) \, dt \] Ok, dann kann man zwar bspw. das hier machen: https://www.youtube.com/watch?v=SXXy0nB0c98 Aber wie komme ich denn wieder auf den Kosinus zurück? Ich sehe das gerade leider nicht - habe ich mich in der Substitution vertan?

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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, hier wird einfach ausgenutzt, dass die Graphen von Sinus- und Kosinusfunktion die gleiche Gestalt haben, nur dass sie um \(\pi/2\) gegeneinander (phasen-)verschoben sind. Man muss also nur die Grenzen mitverschieben, und schon hat man aus der Sinus- die Kosinusfunktion gemacht. Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Integration' von Diophant]\(\endgroup\)

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Suppe_Helme
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  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-23

na das hätte man wirklich sehen können, dankeschön für den Hinweis.

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Suppe_Helme
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  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-23

Hallo nochmal, ich glaube es geht zwar schneller wenn man erst $\cos^n(-t+\frac{\pi}{2})$ schreibt, aber ich hab es jetzt so gemacht: $\begin{align*} I_n &= -\int_{0}^{\pi} \sin^n(t) \, dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \sin^n(-t) \, dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \cos^n\left(-t-\frac{\pi}{2}\right) \, dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \cos^n\left(-(t+\frac{\pi}{2})\right) \, dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \cos^n\left(t+\frac{\pi}{2}\right) \, dt \\ &= \int_{0}^{\pi} \cos^n\left(t-\frac{\pi}{2}\right) \, dt \\ &\overset{\text{lineare Integration}}{=} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(x) \, dx \end{align*}$

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Diophant
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  Beitrag No.4, eingetragen 2023-09-23

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, da sind zwischendurch Fehler drin, denn was nicht geht, ist eine der Funktionen um \(\pi\) zu verschieben. Dabei müsste sich ja das Vorzeichen des Integrals gerade wieder umkehren. Diese Idee: \quoteon(2023-09-23 15:23 - Suppe_Helme in Beitrag No. 3) ich glaube es geht zwar schneller wenn man erst $\cos^n(-t+\frac{\pi}{2})$ schreibt... \quoteoff ist doch genau richtig, und dann muss man nur noch die Achsensymmetrie der Kosinusfunktion ausnutzen und landet dort, wo du dann am Ende auch wieder richtigerweise herauskommst. Gruß, Diophant \(\endgroup\)

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zippy
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  Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-23

Wäre es nicht einfacher, gleich mit dem Sinus zu substituieren?$$ \int_{-1}^1\sqrt{1-x^2\,}^{\,n-1}\;\mathrm dx = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\sqrt{1-\sin^2t\,}^{\,n-1}\, \cos t\;\mathrm dt = \int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^nt\;\mathrm dt$$--zippy [Die Antwort wurde vor Beitrag No.4 begonnen.]

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Suppe_Helme
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  Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-23

Danke für die Aufklärung des Fehlers. [Die Antwort wurde nach Beitrag No.4 begonnen.]

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Suppe_Helme
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  Beitrag No.7, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-23

Entschuldigung Zippy, ich hatte gerade auf ok geklickt, als ich deinen Beitrag noch nicht gesehen hatte. Danke für die Idee, das stimmt. Leider ist die Substitution mit dem Kosinus in der Aufgabe gefordert. Ich denke die Aufgabe soll die Beschäftigung mit diesen Umformungen intensiver üben(?).

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Suppe_Helme
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  Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-23

Hallo noch einmal, ich poste das jetzt wieder hier rein, weil ich denke ein neuer Thread wäre unpassend (sonst kann ein Moderator ja glaube ich das hier auch abspalten). Wenn ich jetzt noch für $\forall n>2$ zeigen will, dass $I_n =\frac{n-1}{n}T_{n-2}gilt. $ Kann ich dann ruhigen Gewissens direkt sagen: $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^n(t) \, dt = \frac{n-1}{n} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-2}(t) \, dt + \frac{1}{n} \cos^{n-1}(t) \sin(t) \Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{n-1}{n} \left( \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^{n-2}(t) \, dt + \frac{1}{n-1} + \cos^{n-1}(t) \sin(t) \Bigg|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \right)= \frac{n-1}{n} \cdot T_{n-2} $ Oder ist diese Integralverwurstung hier gerade mal schön in die Hose gegangen?

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Diophant
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  Beitrag No.9, eingetragen 2023-09-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, man muss das hier IMO nicht abspalten (man könnte ggf. den Thread-Titel anpassen). Aber könntest du einmal zwei Dinge erläutern: - was hast du hier gerechnet? - was ist in diesem Kontext \(T_n\) ? Gruß, Diophant\(\endgroup\)

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Suppe_Helme
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  Beitrag No.10, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24

ja, natürlich, mein Fehler. 1) Also zu der Integrationsrechnung: $\begin{align*} \int \cos^n(t) \, dt &= \int \cos^{n-1}(t) \cos(t) \, dt \\ &= \cos^{n-1}(t) \sin(t) - \int \sin(t) (-(n-1)) \cos^{n-2}(t) \sin(t) \, dt \\ &= \cos^{n-1}(t) \sin(t) + (n-1) \int \cos^{n-2}(t) \sin^2(t) \, dt \\ &= \cos^{n-1}(t) \sin(t) + (n-1) \int \cos^{n-2}(t) (1 - \cos^2(t)) \, dt \\ &= \cos^{n-1}(t) \sin(t) + (n-1) \int \cos^{n-2}(t) \, dt - (n-1) \int \cos^n(t) \, dt \\ \end{align*} $ dann subtrahiere ich wieder das ursprügliche Integral was jetzt wegen der doppelten Produktintegration wieder erschienen ist, also bringe es auf die linke Seite und dividiere dann durch \(n\). Das ergibt dann, wenn ich hier in der Rechnung nichts falsch gemacht habe, das von mir behauptete Endergebnis (man beachte dann noch das ich in der Aufgabe noch Integrationsgrenzen habe und dann der eine Teil bereits mit seiner Stammfunktion und den Integrationsgrenzen ausgewertet wird und eine reelle Zahl darstellt, wenn ich nicht mal wieder Stuss erzähle). 2) \(T_{n-2}\) wird in der Aufgabe selbst leider nicht näher spezifiziert. Wegen ähnlichen Aufgaben vermute ich aber, dass das eine Polynomfunktion vom Grad $n-2$ sein soll. LG

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Diophant
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  Beitrag No.11, eingetragen 2023-09-24

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, ok, so wird es nachvollziehbarer. Also ich habe das jetzt überflogen und dabei mit der Old-School-Methode "Papier und Stift" mitgerechnet, und konnte dabei keinen Fehler entdecken. Zum Rest, also der Frage nach der Bedeutung dieses \(T_n\), kann ich nichts beitragen. Gruß, Diophant\(\endgroup\)

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Suppe_Helme
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  Beitrag No.12, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-24

dankeschön. Wäre denn, wenn man jetzt sagt \(T_{n-2}\) ist eine Polynomfunktion (n-2)-ten Grades, mein Beweisversuch gelungen? LG

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nzimme10
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  Beitrag No.13, eingetragen 2023-09-25

\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}} \renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}} \renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \renewcommand{\dd}{\ \mathrm d} \newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}} \newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}} \newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}} \newcommand{\opn}{\operatorname} \newcommand{\rot}{\opn{rot}} \newcommand{\div}{\opn{div}} \let\oldvec=\vec \renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\) Hallo, das $T_{n-2}$ soll wohl ein $I_{n-2}$ sein. Für $n\geq 2$ gilt jedenfalls $$ I_n=\frac{n-1}{n} I_{n-2}. $$ LG Nico\(\endgroup\)

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Suppe_Helme
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  Beitrag No.14, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-25

achso, es soll also hier dann einfach die Potenzreduktion (wie oben) gezeigt werden, wenn ich das richtig verstehe?

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Suppe_Helme hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Suppe_Helme hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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