| |
| Autor |
  Zeige Mengengleichheit: {a+t(b-a)} = {Ax+By+C=0} |
|
WagW
Aktiv 
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 552
 |  Themenstart: 2023-09-24
|
Hallo,
folgende etwas aufwendige Aufgabe haben wir von unserer Professorin zugeschoben bekommen:
"Seien $a,b\in\mathbb{R}^2$ und $a\neq b$ mit $a={a_1\choose a_2}$ and $b={b_1\choose b_2}$. Zeige, dass
$$
G_{ab}:=\{a+t(b-a)\mid t\in\mathbb{R}\}=\left\{{x\choose y}\in\mathbb{R}^2\mid Ax+By+C=0\right\}=:L,
$$
wobei $A,B,C$ reelle Konstanten sind."
_____
Folgendermaßen bin ich vorgeganegn:
"$G_{ab}\subseteq L$:"
Sei ${x\choose y}\in G_{ab}$, also $
{x\choose y}={a_1\choose a_2}+t\cdot {b_1-a_1\choose b_2-a_2}$.
1.) Falls $a_1=b_1=0$, dann muss $B=0$, $A$ kann beliebig und $C=0$ sein. Wir setzen aber $A\neq 0$, sonst klappt später die Rückrichtung nicht.
2.) Falls $a_1=b_1\neq0$, dann muss $B=0$, $A=\frac{-C}{a_1}$ und $C$ kann beliebig sein. Wir setzen aber $C\neq 0$, sonst klappt später die Rückrichtung nicht.
3.) In den anderen Fällen ergibt sich aus den Bedingungen mittels Koeffizientenvergleich, dass
$\begin{align*}
&t(A(b_1-a_1)+B(b_2-a_2))\overset{!}{=}0\implies A(b_1-a_1)+B(b_2-a_2)=0\text{ und }\\
&Aa_1+Ba_2+C\overset{!}{=}0\\
\end{align*}$
gelten müssen. Daraus folgt
$\begin{align*}
&\implies A=-B\frac{b_2-a_2}{b_1-a_1}\\
&\implies C=B\frac{a_1b_2-b_1a_2}{b_1-a_1}
\end{align*}$
und $B$ beliebig; wobei wir der Einfachheit $B:=b_1-a_1$ setzen. Damit gilt also "$G_{ab}\subseteq L$:"
"$ L\subseteq G_{ab}$:"
Sei nun ${x\choose y} \in L$, wobei die Gleichung mit obigen Konstanten $A,B,C$ bezüglich der unterschiedlichen Fälle bestückt sei.
1.) Falls $a_1=b_1=0$, dann müssen $a_2\neq b_2$, $Ax=0$ und $x=0$ sein. Für $t=\frac{y-a_2}{b_2-a_2}$ gilt damit ${0\choose y}={0\choose a_2}+t{0\choose b_2-a_2}$.
2.) Falls $a_1=b_1\neq0$, dann müssen $a_2\neq b_2$ und ${x\choose y}$ die Gleichung $\frac{-C}{a_1}x+C=0$ erfüllen, was letztlich $x=a_1$ bedeutet. Für $t=\frac{y-a_2}{b_2-a_2}$ sehen wir ${a_1\choose y}={a_1\choose a_2}+t{0\choose b_2-a_2}$.
3.) In den anderen Fällen muss ${x\choose y}$ die Gleichung $-(b_2-a_2)x+(b_1-a_1)y+a_1b_2-b_1a_2=0$ erfüllen. Damit muss $y=\frac{(b_2-a_2)x+a_2b_1-a_1b_2}{(b_1-a_1)}$ sein. Um ein entsprechendes $t$ für
$$
{x\choose \frac{(b_2-a_2)x+a_2b_1-a_1b_2}{(b_1-a_1)}}={a_1\choose a_2}+t{b_1-a_1\choose b_2-a_2}
$$
zu finden, müssen also die beiden Gleichungen $x=a_1+t(b_1-a_1)$ und $\frac{(b_2-a_2)x+a_2b_1-a_1b_2}{(b_1-a_1)}=a_2+t(b_2-a_2)$ erfüllt sein. Wir haben ein überbestimmtes Gleichungssystem, welches sich aber mit $t=\frac{x-a_1}{b_1-a_1}$ zufällig lösen lässt.
Damit gilt $ L\subseteq G_{ab}$. Insgesamt also $G_{ab}=L$.
Das ist irgendwie ein ziemliches Gewurschtel geworden. Ist das überhaupt richtig? Geht das auch einfacher?
Viele Grüße
WagW
|
 Profil
|
nzimme10
Senior 
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2797
Wohnort: Köln
 | Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-24
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
das scheint mir recht kompliziert zu sein, wie du das machst. $G_{ab}$ ist ja einfach eine Gerade und damit ein affiner Untervektorraum der Dimension 1.
Wir können einen Vektor $n_{ab}\in \mathbb R^2$ finden, so dass
$$
G_{ab}=\lbrace v\in \mathbb R^2\mid \langle n_{ab},v-a\rangle=0\rbrace
$$
gilt. Dazu können wir einfach $b-a$ um $90^\circ$ drehen, also
$$
n_{ab}=\vec{a_2-b_2}{b_1-a_1}{}
$$
wählen. Die Gleichung $\langle n_{ab},v-a\rangle=0$ hat für $v=(x,y)$ die gewünschte Form. Wenn man die Gleichheit nicht für geometrisch evident ansehen will, dann argumentiert man noch:
$\langle n_{ab},v-a\rangle=0$ bedeutet, dass $v-a$ und $n_{ab}$ senkrecht aufeinander stehen. Nach Konstruktion bedeutet das, dass $v-a$ ein Vielfaches von $b-a$ sein muss und wir sind fertig.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
 | Beitrag No.2, eingetragen 2023-09-24
|
\quoteon(2023-09-24 18:21 - WagW im Themenstart)
Ist das überhaupt richtig?
\quoteoff
Das habe ich nicht nachgerechnet.
\quoteon(2023-09-24 18:21 - WagW im Themenstart)
Geht das auch einfacher?
\quoteoff
Zu $w={u\choose v}\in\mathbb R^2$ sei $w^\perp:={-v\choose u}$. Offenbar stehen $w$ und $w^\perp$ senkrecht aufeinander und es ist$$
z\in\mathbb R\cdot w \iff z\cdot w^\perp=0
$$für $w\ne0$ (das kannst du einfach nachrechnen).
In deiner Aufgabe ist $w:=b-a$, $w^\perp=:{A\choose B}$ und $-w^\perp\cdot a=:C$.
--zippy
[Die Antwort wurde vor Beitrag No.1 begonnen.]
|
Profil
|
WagW
Aktiv
Dabei seit: 15.02.2018
Mitteilungen: 552
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-25
|
Hallo ihr beiden,
was für eine schöne kurze Lösung 😃
Ich denke zippy zielt auf den gleichen Ansatz ab, aber ich kann die Äquivalenz
\quoteon(2023-09-24 18:47 - zippy in Beitrag No. 2)
[...]
Zu $w={u\choose v}\in\mathbb R^2$ sei $w^\perp:={-v\choose u}$. Offenbar stehen $w$ und $w^\perp$ senkrecht aufeinander und es ist$$
z\in\mathbb R\cdot w \iff z\cdot w^\perp=0
$$für $w\ne0$ (das kannst du einfach nachrechnen).
[...]
\quoteoff
nicht so ganz nachvollziehen. Hast Du da einen typo?
|
Profil
|
nzimme10
Senior
Dabei seit: 01.11.2020
Mitteilungen: 2797
Wohnort: Köln
| Beitrag No.4, eingetragen 2023-09-25
|
\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
zippy's Behauptung in Worten ist:
$z$ ist genau dann ein Vielfaches von $w\neq 0$, wenn $z$ senkrecht auf $w^\perp$ steht.
Das ist genau das, was ich am Ende meiner Argumentation auch benutzt habe, wobei bei mir $w=b-a$ und $w^\perp=n_{ab}$.
LG Nico\(\endgroup\)
|
Profil
|
zippy
Senior 
Dabei seit: 24.10.2018
Mitteilungen: 5147
| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-25
|
\quoteon(2023-09-25 16:51 - WagW in Beitrag No. 3)
Ich denke zippy zielt auf den gleichen Ansatz ab, aber ich kann die Äquivalenz [...] nicht so ganz nachvollziehen. Hast Du da einen typo?
\quoteoff
$w$ und $w^\perp$ bilden eine (Orthogonal-)Basis des $\mathbb R^2$. Jeder Vektor $z$ lässt sich daher als $z=t\,w+s\,w^\perp$ mit $t,s\in\mathbb R$ schreiben und sowohl $z\in\mathbb R\cdot w$ als auch $z\cdot w^\perp=0$ sind äquivalent zu $s=0$.
|
Profil
|
WagW hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Das Thema wurde von einem Senior oder Moderator abgehakt. |
|
All logos and trademarks in this site are property of their respective owner. The comments are property of their posters, all the rest © 2001-2023 by Matroids Matheplanet
This web site was originally made with PHP-Nuke, a former web portal system written in PHP that seems no longer to be maintained nor supported. PHP-Nuke is Free Software released under the GNU/GPL license.
Ich distanziere mich von rechtswidrigen oder anstößigen Inhalten, die sich trotz aufmerksamer Prüfung hinter hier verwendeten Links verbergen mögen.
Lesen Sie die
Nutzungsbedingungen,
die Distanzierung,
die Datenschutzerklärung und das Impressum.
[Seitenanfang]
|
Home / Seite ohne Frame
Wie unterstütze ich den Matheplaneten mit Geld?
