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  Nichtexistenz holomorpher Logarithmusfunktion |
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katze1
Aktiv 
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 |  Themenstart: 2023-09-24
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Ich stehe vor folgender Aufgabe:
Sei \Omega\=\IC\\ intervall(-1,1)
Zeigen Sie: Auf \Omega existiert keine holomorphe Logarithmusfunktion der Funktion
f: \Omega->\IC, f(z):=1/(z^2-1)
d.h. es gibt keine holomorphe Funktion g: \Omega->\IC mit e^(g(z))=f(z)
für alle z\el\ \Omega .
Hinweis: Betrachten Sie f'/f
Ich habe nun Folgendes durch Einsetzen von e^(g(z))=f(z)
mithilfe der Kettenregel berechnet:
f'/f=g'
Ich weiß nur leider nicht, wie mir das weiterhelfen soll. Kann mir jemand einen Tipp geben?
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nzimme10
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 |  Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-24
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}
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\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\renewcommand{\dd}{\ \mathrm d}
\newcommand{\ddz}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}}
\newcommand{\ddw}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}w}}
\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Hallo,
meinst du $\Omega=\mathbb C\setminus\lbrace -1,1\rbrace$?
Jedenfalls kann man $f'/f$ ja einfach ausrechnen:
$$
\frac{f'(z)}{f(z)}=-\frac{2z}{z^2-1}.
$$
Findest du eine stückweise stetig differenzierbare geschlossene Kurve $\gamma$ in $\Omega$, so dass
$$
\oint_\gamma \frac{f'(z)}{f(z)} \dd z \neq 0
$$
gilt?
LG Nico\(\endgroup\)
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katze1
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-25
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In der Aufgabenstellung stand tatsächlich \IC\\ intervall(-1,1) , aber \IC\\ menge(-1,1) macht in der Tat mehr Sinn.
Nach dem Residuensatz erhalte ich für eine geschlossene Kurve, die die Punkte 1 und -1 umläuft, folgenden Wert:
wegint(f'(z)/f(z),z,\gamma)=-4\pi\ii\ !=0
Nun weiß ich aber gar nicht, wie mir dieser Ansatz weiterhelfen soll.
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nzimme10
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| Beitrag No.3, eingetragen 2023-09-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Du hast ja schon gezeigt, wenn $f=\e^g$ gelten würde, dann wäre $f'/f=g'$. $f'/f$ hätte also eine Stammfunktion. Was folgt daraus für das geschlossene Kurvenintegral?
LG Nico\(\endgroup\)
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katze1
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| Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-25
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Mir ist leider unklar, welchen Zusammenhang die Stammfunktion mit dem Kurvenintegral hat, und auch, wie man aus alledem schließen soll, dass es kein holomorphes g gibt.
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nzimme10
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| Beitrag No.5, eingetragen 2023-09-25
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\newcommand{\ddt}{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}
\newcommand{\opn}{\operatorname}
\newcommand{\rot}{\opn{rot}}
\newcommand{\div}{\opn{div}}
\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Das ist eine der wichtigen Tatsachen der Theorie. Das solltest du dir also nochmal klarmachen. Es ist hier wie im Reellen: Man kann Integrale mit Hilfe einer Stammfunktion ausrechnen, wenn es eine gibt.
Sei $\gamma\colon [a,b]\to \mathbb C$ eine stückweise stetig differenzierbare Parametrisierung einer Kurve in $\Omega$. Sei weiter $H\colon \Omega\to \mathbb C$ holomorph und $h=H'$. Dann ist
$$
\int_\gamma h(z) \dd z=H(\gamma(b))-H(\gamma(a)).
$$
Wenn $\gamma$ geschlossen ist, i.e. $\gamma(a)=\gamma(b)$, dann folgt also, dass das Kurvenintegral über $\gamma$ verschwindet.
Das hat wohlgemerkt auch gar nichts speziell mit Funktionentheorie zu tun. Das gilt allgemein, z.B. im $\mathbb R^n$ (auf jeder hinreichend netten Mannigfaltigkeit). Ist $\gamma\colon [a,b]\to \mathbb R^n$ stückweise stetig differenzierbar und $f\colon \mathbb R^n\to \mathbb R$ stetig differenzierbar, dann gilt
$$
\int_\gamma \d f=f(\gamma(b))-f(\gamma(a)).
$$
Das ist im Prinzip alles der Fundamentalsatz der Analysis bzw. der allgemeine Satz von Stokes.
LG Nico\(\endgroup\)
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katze1
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-25
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Wenn ich das richtig verstehe, dann gilt also
wegint(f'(z)/f(z),z,\gamma)=wegint(g'(z),z,\gamma)=g(\gamma(b))-g(\gamma(a))=0
für jede geschlossene Kurve \gamma ?
Nun ist mir aber noch nicht klar, wieso das beweist, dass es kein holomorphes g gibt.
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nzimme10
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| Beitrag No.7, eingetragen 2023-09-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Zum einen hast du
\quoteon(2023-09-25 02:35 - katze1 in Beitrag No. 2)
Nach dem Residuensatz erhalte ich für eine geschlossene Kurve, die die Punkte 1 und -1 umläuft, folgenden Wert:
wegint(f'(z)/f(z),z,\gamma)=-4\pi\ii\ !=0
\quoteoff
gezeigt. Unter der Annahme $f=\e^g$ hast du nun aber
\quoteon(2023-09-25 23:38 - katze1 in Beitrag No. 6)
wegint(f'(z)/f(z),z,\gamma)=wegint(g'(z),z,\gamma)=g(\gamma(b))-g(\gamma(a))=0
für jede geschlossene Kurve \gamma ?
\quoteoff
gezeigt. Du siehst selbst, dass das ein Widerspruch ist, oder? Dieser Widerspruch lässt sich nur dadurch auflösen, dass die Annahme $f=\e^g$ falsch gewesen sein muss.
LG Nico\(\endgroup\)
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katze1
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| Beitrag No.8, vom Themenstarter, eingetragen 2023-09-25
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Stimmt, eigentlich logisch. Ich dachte wegen dieses Widerspruchs die ganze Zeit, ich hätte die -4\pi\ii\ schlichtweg falsch berechnet. Manchmal übersieht man einfach das offensichtlichste... Danke jedenfalls für deine Hilfe!
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nzimme10
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| Beitrag No.9, eingetragen 2023-09-25
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\(\begingroup\)\(\renewcommand{\i}{\mathrm{i}}
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\let\oldvec=\vec
\renewcommand{\vec}[3]{\begin{pmatrix} #1 \\ #2 \\ #3 \end{pmatrix}}\)
Nein, das hast du schon richtig berechnet. Zusammenfassend kann man also sagen:
Wenn es eine holomorphe Funktion $g\colon \Omega\to \mathbb C$ mit $f=\e^g$ geben würde, dann hätte $f'/f=g'$ eine Stammfunktion (z.B. $g$). Damit würde das Kurvenintegral über $f'/f$ für jede (stückweise stetig differenzierbare) geschlossene Kurve $\gamma$ verschwinden. Die Existenz einer geschlossenen Kurve, für die das nicht der Fall ist, liefert uns einen Widerspruch.
LG Nico\(\endgroup\)
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