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Analysis » Folgen und Reihen » Minorantenkriterium Reihe cos(1/n)/n
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Universität/Hochschule J Minorantenkriterium Reihe cos(1/n)/n
Kohlenstoffderivat
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  Themenstart: 2023-09-25

Hallo, $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{\cos\left(\frac{1}{k}\right)}{k}$ also ich will die (absolute) Konvergenz untersuchen und würde gerne noch ein paar Fragen loswerden: 1) also meines Ermessens nach, kann man hier zwar $ |\frac{\cos\left(\frac{1}{k}\right)}{k}| ≥ |\frac{1}{k}| $ abschätzen, was aber nur die Divergenz der Absolutbeträge der Reihe sichern würde. 2) Für die gewöhnliche Konvergenz kann man so nicht argumentieren und wird erst für große $n$ einer Abschätzung fündig, da $ \cos(\frac{1}{n}) $ stetig ist und $cos(0)=1 $ gilt damit dann ein $n_0 $ existiert, ab dem $\cos(\frac{1}{n})≥\frac{1}{2}$ wobei die 1/2 natürlich beispielhaft gewählt sind. Ergo ist dann wieder nach unten auf $\frac{1}{2k} $ abgeschätzt, womit die gewöhnliche Divergenz bewiesen wäre. meine Frage ist, ob ich hier etwas übersehen habe und ob man ja vielleicht doch direkt eine andere Abschätzung für alle $n$ findet bspw., oder ob es hier wirklich darum geht diesen Grenzwert der Terme, aus denen die zur Reihe zugehörige Folge besteht abzutasten und im Blick zu haben - insbesondere natürlich auch das Stetigkeitsargument zu bringen?


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Diophant
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  Beitrag No.1, eingetragen 2023-09-25

\(\begingroup\)\(\newcommand{\ba}{\begin{aligned}} \newcommand{\ea}{\end{aligned}} \newcommand{\bc}{\begin{cases}} \newcommand{\ec}{\end{cases}} \newcommand{\bpm}{\begin{pmatrix}} \newcommand{\epm}{\end{pmatrix}} \newcommand{\bvm}{\begin{vmatrix}} \newcommand{\evm}{\end{vmatrix}} \newcommand{\mb}[1]{\mathbb{#1}} \newcommand{\mc}[1]{\mathcal{#1}} \newcommand{\mf}[1]{\mathfrak{#1}} \newcommand{\ms}[1]{\mathscr{#1}} \newcommand{\on}{\operatorname} \newcommand{\ds}{\displaystyle}\) Hallo, \quoteon(2023-09-25 14:56 - Kohlenstoffderivat im Themenstart) 1) also meines Ermessens nach, kann man hier zwar $ |\frac{\cos\left(\frac{1}{k}\right)}{k}| ≥ |\frac{1}{k}| $ abschätzen, was aber nur die Divergenz der Absolutbeträge der Reihe sichern würde. \quoteoff Wie soll das gehen? Dazu müsste die Kosinusfunktion entweder konstant gleich ±1 sein oder betragsmäßig Werte größer als 1 annehmen... Gruß, Diophant [Verschoben aus Forum 'Analysis' in Forum 'Folgen und Reihen' von Diophant]\(\endgroup\)


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nzimme10
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  Beitrag No.2, eingetragen 2023-09-25

Diese Frage wurde neulich erst in https://matheplanet.de/matheplanet/nuke/html/viewtopic.php?topic=263452 besprochen. Daher an dieser Stelle auch der Hinweis auf die Suchfunktion des Forums. LG Nico


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Kohlenstoffderivat hat die Antworten auf ihre/seine Frage gesehen.
Kohlenstoffderivat hat selbst das Ok-Häkchen gesetzt.

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